4.2. Некоторые нелинейные модели, сводящиеся к линейным

Существуют два вида нелинейности регрессионных моделей. Нелинейные относительно независимых переменных, например,

(4.2.1.)

В этом случае необходимо просто сделать замену переменных:

_(4.2.2.)

Нелинейные относительно параметров регрессии, например,

_(4.2.3.)

Выполним функциональное преобразование:

_(4.2.4.)

К сожалению, не всегда можно функциональными преобразованиями от нелинейных моделей перейти к линейным. Кроме того, нужно иметь в виду, что при вычислении параметров по методу МНК минимизируется сумма квадратов отклонений преобразованных, а не исходных данных.

4.3. Проверка предпосылок регрессионного анализа

1. Проверка нормальности закона распределения ошибок

Анализ ошибок проводится по следующей схеме. Предполагаем, что , тогда. Тогда, если модель правильна, то дисперсия остатков, характеризующая качество аппроксимации результатов наблюдений

_(4.3.1.)

  служит оценкой величины – дисперсии ошибок наблюдений, гдесреднее значение отклонений. Случайная величинапредставляет собой единичные нормальные отклонения. Если эти отклонения будут находиться в интервале [-2; 2] , то, следовательно, наше предположение о том, чтоне ошибочно.

2. Проверка на однородность случайных ошибок

Для проверки на однородность дисперсии D(ε)=const. Целесообразно воспользоваться методом Гольфельда. Последовательность значений случайной величины Y разбивается на две последовательности объемом n₁ и n₂(n₁+n₂=n). Для каждой последовательности вычисляются дисперсии воспроизводимости и . Тогда отношение

_(4.3.2.)

при < будет иметь распределение Фишера со степенями свободы f₁= ;

f₂= . Если значение F превышает табличное, то гипотеза об однородности дисперсии отклоняется. Чувствительность критерия увеличивается, если исключить средние наблюдения.

В случае, если дисперсии оказались неоднородными, часто оказывается полезным изменение масштаба для выходной переменной. Вводится некоторая функция от выходной переменной, например или.

3. Проверка на автокорреляцию случайных ошибок

Наличие автокорреляции ошибок можно проверить с помощью критерия Дарбина -Уотсона:

_(4.3.3.)

Критерий Дарбина - Уотсона изменяется в диапазоне 0 ≤ DW ≤ 4.При отсутствии автокорреляции DW=2. Нижние и верхние границы критерияdниdв для степеней свободыf₁=n; f₂=kследует выбирать из таблицы. Если0≤ DW ≤ dн, есть положительная автокорреляция, а4–dн ≤ DW ≤ 4, есть отрицательная автокорреляция, илиdв≤ DW ≤ 4–dв - автокорреляция отсутствует, еслиdн < DW < dвили4–dв ≤ DW ≤ 4–dн ,нужны дополнительные исследования.

Замечание.Желательно область неопределенности подключить к области отклонения гипотезы об отсутствии автокорреляции.

Подводя итог этому разделу, перечислим основные этапы решения задачи методом наименьших квадратов:

1 этап. Формулируем модель, т.е. вид зависимости параметра от факторов.

2 этап. Выбираем диапазон варьирования факторов (область плана эксперимента).

3 этап. В этой области выбираем экспериментальные точки, т.е. те значения уровней факторов, при которых ставится эксперимент. При этом желательно придерживаться следующих правил:

- обязательно делать опыты на границах варьирования факторов;

- обязательно делать опыты в центре плана (за исключением случая, когда мы уверены, что в модель входят только линейные по факторам члены, и это не нуждается в экспериментальной проверке);

- располагать экспериментальные точки симметрично относительно центра плана. В общем случае, имея в своем распоряжении ЭВМ, можно всегда подобрать набор экспериментальных точек, обеспечивающих максимальное значение определителя матрицы (A^ТA), что в свою очередь, минимизирует в совокупности [(A^ТA)^-1]_ii, при всех i.

Расчет по формулам даст правильные результаты и в том случае, если параметр не является нормально распределенной случайной величиной, т.к. при выводе этих формул такое предположение не иcпользовалось, а вот проверки значимости коэффициентов и адекватности модели при "не нормальном" распределении параметра выполнить нельзя, поскольку в этих проверках используются критерии, распределенные по законам, "производным от нормального.

4 этап. Проверяем значимость коэффициентов по t-критерию.

5 этап. Проверяем адекватность модели по F-критерию.