6.5. Отсеивающие эксперименты и дисперсионный анализ

Если и после ранжирования число оставшихся значимых факторов очень велико, или опрос специалистов вообще неэффективен ввиду отсутствия в отрасли достаточного опыта работы над изделиями, подлежащими разработке, проводятся, так называемые «отсеивающие эксперименты».

При этом все факторы варьируются на двух уровнях. Нижний и верхний уровень каждого фактора выбирается из технологических соображений и предыдущего опыта. Согласно правилам проведения экспериментов общее число опытов должно быть не меньше числа исследуемых факторов. Комбинация уровней факторов определяется «матрицей планирования».

«Матрица планирования» - это таблица, показывающая, на каком уровне устанавливается каждый конкретный фактор в каждом опыте. В этой таблице «+1» (или просто «+») означает, что фактор берется на верхнем уровне, «-1» (или «-») - на нижнем (для качественных факторов эти понятия условны, например, «буферный газ» на нижнем уровне может быть ксенон, на верхнем – гелий; важно, чтобы отличие между уровнями было как можно больше в рамках допустимых пределов работоспособности изделия).

В каждом конкретном опыте уровни факторов в отсеивающем эксперименте должны быть выбраны так, чтобы матрица планирования обладала следующими свойствами: сумма чисел в каждом столбце равнялась 0 и сумма произведений элементов, относящихся к одному опыту, для двух любых столбцов равнялась нулю, т. е. если обозначить Х_ji- элемент матрицы в j-й строке в i-м столбце, то

(i=1,2,3,…,n) (6.5.1)

(i,k =1,2,3,…,n, при ik ) (6.5.2)

Пример матрицы планирования при исследовании семи факторов приведен в табл. 6.5.1.

Таблица 6.5.1.

Матрица планирования отсеивающего 7-факторного эксперимента.

№ опыта	Ф а к т о р ы								Результат Опыта
	0	1	2	3	4	5	6	7
1	+	+	+	+	+	+	+	+	95
2	+	-	+	-	+	-	+	-	98
3	+	+	-	-	+	+	-	-	87
4	+	-	-	+	+	-	-	+	105
5	+	+	+	+	-	-	-	-	83
6	+	-	+	-	-	+	-	+	81
7	+	+	-	-	-	-	+	+	91
8	+	-	-	+	-	+	+	-	85
Si+		356	357	368	385	348	369	372
Si-		369	368	357	340	377	356	353
i		13	11	11	45	29	13	19
ранг		4,5	6,7	6,7	1	2	4,5	3

В качестве факторов взяты первые семь факторов из списка факторов таблица 6.5.1; измерялась световая отдача экспериментальных горелок (в относительных единицах).

Столбец с обозначением «0» не отвечает никакому фактору, он появился вследствие «правила формирования матрицы», которое поясняется ниже; кроме того, что эта же матрица планирования годится для вычисления коэффициентов линейной модели (см. разд. 4), где с помощью этого столбца определяется первый коэффициент.

План эксперимента содержится в залитой серым части таблицы. Его надо понимать так: в опыте 5 первые 3 фактора должны быть на верхнем уровне, остальные – на нижнем.

Матрицу, обладающую свойствами ортогональности (6.5.1), (6.5.2) можно построить по следующему алгоритму.

За основу берутся так называемые матрицы Адамара. Матрица Адамара размерности 2*2 строится из матриц размерности * по правилу:

,. (6.5.3)

В случае, представленном в таблице 6.5.1, матрица планирования образована матрицей Н₈, отсюда - столбец с номером 0. Видно, что с такой матрицей можно проверить влияние не более, чем 7 факторов. Если проверяемых факторов больше (от 8 до 15), то следует строить матрицуН₁₆. Число опытов в этом случае 16, а если факторов меньше 15, то просто отбрасываются последние столбцы матрицыН₁₆.

После выполнения эксперимента по данному плану анализируем его результат следующим образом:

- выбираем все опыты, где i-й фактор был на верхнем уровне и находим сумму значений параметра в этих опытах S_i+,

- находим сумму значений параметра в опытах, где этот фактор был на нижнем уровне S_i-

- вычисляем разность _i= |(S_i+)-(S_i-)|.

Проделываем это для всех семи факторов и вносим результаты в соответствующие столбцы таблицы.

Выделяем группу факторов, для которых абсолютная величина разности имеет заметно большее, чем для остальных факторов, значение. Это и будут наиболее сильно влияющие факторы. Ранг фактора по этому признаку внесен в последнюю строку таблицы 6.5.1.

Однако такое предположение нуждается в проверке, поскольку это «влияние» может быть вызвано и случайным сочетанием уровней других факторов. Кроме того, не исключено, что максимальное влияние фактора проявляется, когда он не на верхнем и не на нижнем, а на каком-то промежуточном уровне.

Наиболее надежный способ решения вопроса, влияет ли данный фактор на параметр, состоит в проведении дисперсионного анализа (см. разд. 6.4).