2.2. Коэффициент детерминации

Коэффициент детерминации равен квадрату коэффициента корреляции и вычисляется по формуле:

(2.2.1)

Этот коэффициент используется для анализа множественной корреляции.

Если исследуется связь между несколькими признаками, то корреляцию называют множественной. В простейшем случае число признаков равно трем: X,Y,Z. В этом случае возникают задачи:

1) оценить тесноту связи между Zи обоими признаками Х и У,

2) оценить тесноту связи между Zи Х при постоянном значенииY,

3) оценить тесноту связи между ZиYпри постоянном значении Х.

Теснота признака Zс признакамиXиYоценивается выборочным коэффициентом корреляции по формуле:

, (2.2.2)

причем 0 R1.

Теснота связи между признаками Zи Х при постоянном значении признакаY, между признакамиZиYпри постоянном значении признака Х оценивается частными выборочными коэффициентами корреляции:

(2.2.3)

(2.2.4)

Эти коэффициенты имеют те же свойства и тот же смысл, что и обыкновенный выборочный коэффициент корреляции, т. е. служат для оценки линейной связи между признаками.

,

2.3. Статистическая оценка значимости коэффициентов корреляции.

Под значимостью (или надежностью) понимается вероятность того, что значение проверяемого параметра не равно нулю, не включают в себя значения противоположных знаков.

Вероятностная оценка параметров корреляции производится по общим правилам проверки статистических гипотез.

1) Выдвигается гипотеза H₀: Коэффициент корреляцииrxy -не значим (илиrxy=0), а признакиXиYне коррелированны, т.е. не связаны линейной зависимостью. Выдвигается также альтернативная гипотеза Н₁: Коэффициент корреляции значим (не равен 0), следовательноXиYкоррелированны, т.е. связаны линейной зависимостью .

2) В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину:

(2.3.1.)

Величина Т при справедливости нулевой гипотезы имеет распределение Стьюдента с k=n-2 степенями свободы. Обозначим значение критерия , вычисленное по данным наблюдениямTнабл., тогда

(2.3.2.)

3) По таблице критических точек распределения Стьюдента Т по заданному уровню значимости и числу степеней свободыk= n - 2находим критическую точкуt_кр(,k).

4) Если t_кр > Т_набл., то нулевая гипотеза Н₀ принимается. ) Еслиt_кр < Т_набл., то нулевая гипотезаН₀ отвергается.

Замечание.Для вычисления критического значения критерия Стьюдента можно воспользоваться таблицей критических значений критерия Стьюдента (см. справочник)

2.4. Интервальные оценки для значимых парных коэффициентов корреляции.

Для каждого значимого коэффициента корреляции построим интервальные оценки. Для этого воспользуемся Z- преобразованием Фишера (2.4.1):

Z=0,5ln. (2.4.1)

Из математической статистики известно, что при небольших n распределение величины Z хорошо приближается нормальному распределению с математическим ожиданием равным

(2. 4. 2)

и дисперсией , откуда следует, что стандартное отклонение равно

. (2.4.3)

Вычислим критическое значение критерия Стьюдента tдля заданного уровня значимостипо статистическим таблицам или с помощью встроенной функции электронных таблиц.

Тогда доверительный интервал для коэффициента корреляции принимает вид:

( M [r] - t; M [r] +t), или(2.4.4)