6.6. Рандомизация эксперимента

При выполнении отсеивающих экспериментов и дисперсионного анализа (если он не ведется как обработка «пассивного» эксперимента) сначала составляется план эксперимента, т. е. выбирается, сколько факторов и на каком количестве уровней будет варьироваться и сколько раз будет повторен опыт при каждом сочетании уровней факторов. Чтобы уменьшить влияние неконтролируемых факторов, эксперимент должен быть «рандомизирован», т. е. запланированные опыты должны выполняться в случайном порядке.

Поясним это требование: допустим, что при разработке опытного образца нового типа лампы нужно исследовать влияние сорта кварца на срок службы горелки, для этого решено изготовить 3 серии горелок (по 10 штук в каждой) из трех разных сортов кварца. Если рабочий сначала изготовить все 10 горелок первой серии, потом - второй и т. д., то дисперсионный анализ может обнаружить влияние фактора на параметр (срок службы), но этот результат может быть ошибочным. Наблюдаемый рост срока службы может объясняться не влиянием сорта кварца, а постепенным повышением качества изделия в результате освоения рабочим технологии в ходе изготовления всей опытной партии.

При «рандомизации» мы перенумеровываем все запланированные опыты, а затем определяем порядок их выполнения с помощью таблиц случайных чисел или генераторов случайных чисел на ЭВМ.

Рассмотрим пример плана трехфакторного дисперсионного анализа. Буквами условно обозначены уровни факторов: малые буквы - первый фактор, большие буквы - второй, греческие - третий. Числа в табл. 6.6.1.определяют порядок выполнения опытов (они получены с помощью генератора случайных чисел на ЭВМ).

Таблица 6.6.1

План эксперимента при трехфакторном дисперсионном анализе

Фактор 1	Фактор 2
	A	B	C	D
a	 15	 13	 7	 1
b	 10	 12	 5	 11
c	 6	 9	 4	 16
D	 14	 8	 2	 3

Здесь приведен пример плана, в котором 3 фактора варьируются на 4-х уровнях каждый. Так, например, в опыте 9 (c, B, ) первый фактор взят на третьем уровне, второй фактор - на втором уровне, третий фактор - на четвертом уровне.

6.7. Определение аналитического вида зависимости параметра от факторов.

6.7.1. Матрица планирования

После того, как выявлены основные факторы, влияющие на параметр, и определен диапазон варьирования факторов (так называемая область плана эксперимента), задачу оптимизации (нахождения комбинации факторов, обеспечивающих требуемый экстремум параметра) можно решить, найдя аналитический вида зависимости параметра от факторов, и затем экстремум найденной функции. Если искомая зависимость может быть описана линейной моделью, то ее коэффициенты находятся методом наименьших квадратов, описанным в главе 4.

Выбор числа и расположения экспериментальных точек в области плана эксперимента, обеспечивающий минимизацию погрешности коэффициентов модели при фиксированном числе опытов и погрешности измеряемой величины, составляет предмет математической теории планирования эксперимента.

Значительное упрощение расчетов и одновременно минимизацию погрешности b обеспечивают так называемые «ортогональные планы». В «ортогональном плане» уровни факторов выбираются так, чтобы матрица A удовлетворяла условиям (6.5.1), (6.5.2). В этом случае A^ТA является диагональной, на диагонали будут стоять суммы квадратов элементов соответствующих столбцов.

«Обращение» диагональной матрицы состоит в замене каждого ее элемента на обратную величину. Вычисление i-го элемента произведения (A^Тy) осуществляется простым суммированием произведений элементовi-го столбца матрицыA^Тна соответствующие значенияy_j.

Ортогональные планы легко построить, если предполагается линейная зависимость параметра от нескольких факторов, что часто бывает разумно на начальных этапах поиска, или если в модель входят только линейные члены и произведения факторов (как в ранее рассмотренном примере). В этом случае план будет ортогональным, если расположить экспериментальные точки симметрично относительно центра плана, т.е. точки, в которой значения всех факторов х_iравны_iполуразности максимальногоx_i^maxи минимальногоx_i^minзначения фактора _i=(x_i^max- x_i^min)/2,а затем перейти к новым переменным.

, (6.7.1)

где h_i выбирается произвольно, но так, чтобы значения z были равны одной или нескольким единицам.

При варьировании факторов только на двух уровнях удобно строить матрицу планирования на основе матрицы Адамара (6.5.3) , тогда h _i = x_i^max- _i.

Если нет сомнений в линейности зависимости параметра от факторов, то наименьшая погрешность коэффициентов модели получится, если все опыты делать только на границах варьирования факторов. В этом легко убедиться простым сравнением диагональных элементов A^ТA^-1 в двух вариантах плана эксперимента из четырех опытов в моделиy=b₁+b₂z.

Вариант 1. Два опыта приz = -1Вариант 2:z ⁽¹⁾ =-1 , z ⁽²⁾ =-0.5,

и два опыта при z = +1 z ⁽³⁾ =0.5, z ⁽⁴⁾ =1

Если же предполагается, что зависимость имеет вид полинома степени m, то экспериментальные точки в области отz=-1 до z=+1рекомендуется располагать в точкахz_i=cos[i/m], i=0,1…m.Правда, при этом не будет возможности проверить адекватность модели. Если такая проверка нужна, можно строить план для полинома степени большей, чемm, например,m+1 (z_i=cos[i/(m+1)], i=0,1…m+1)илиm+2(z_i=cos[i/(m+2)], i=0,1…m+2),а модель записать в виде полинома степени m.

В случае зависимости параметра от нескольких (k)переменных область варьирования факторов представляет собойk-мерный куб. Рекомендуется обязательно выполнять эксперименты во всех вершинах куба (все переменные равны+1или–1) и в центре плана ( все переменные равны0). Если этого недостаточно для определения коэффициентов и проверки адекватности, то - в центрах граней куба (одна переменная равна1, остальные0), в центрах ребер куба (одна переменная равна0, остальные1). Если и этого недостаточно, следует располагать экспериментальные точки внутри куба симметрично относительно центра плана.