Г л а в а 2. Плазменные возбуждения в объеме. Плазмоны и поляритоны

2.1. Квазичастицы в плазме

Простейшим примером электрон-фотонного возбуждения в объеме вещества является плазмон, который представляет собой связанное колебание электронного заряда и продольного электрического поля. Под продольным полем понимается поле, волновой вектор в котором параллелен вектору напряженности.

В продольной электромагнитной волне магнитное поле отсутствует, так что остается только электрическое.

Как следует из уравнений Максвелла, закон дисперсии продольной электрической волны в веществе определяется уравнением [1]

, (2.1)

где – продольная часть диэлектрической проницаемости среды на частотеи волновом векторе. Напомним, что законом дисперсии называется связь между частотой волны и ее волновым вектором:. Эта связь, которая может быть получена на основании решения уравнения (2.1), определяет основные характеристики волны, в частности ее фазовую: и групповую:скорости. Таким образом, для определения основных свойств плазмонов необходимо знать явный вид функции.

В случае максвелловской изотропной плазмы функция при(высокочастотный предел) дается выражением

(2.2)

где – электронная плазменная частота (,– концентрация и масса электрона),– тепловая скорость электронов (– электронная температура в энергетических единицах). Мнимая часть диэлектрической проницаемости (2.2) описывает затухание электрического поля, она мала в пределеВ силу изотропии плазмы правая часть равенства (2.2) зависит только от модуля волнового вектора:.

В нулевом приближении по отношению равенство (2.2) сводится к формуле, известной из элементарного курса общей физики. Подставляя это выражение в уравнение (3.1), получаем простой закон дисперсии:

, (2.3)

т.е. в рассматриваемом приближении частота плазмона вообще не зависит от волнового вектора и соответственно групповая скорость продольного колебания электрического поля равна нулю.

В следующем приближении по вкладу волнового вектора находим

(2.4)

где – электронный дебаевский радиус, определяющий пространственный масштаб экранировки электрического поля в плазме. В равенстве (2.4) по-прежнему предполагается, что, так как в противном случае плазмон быстро затухает. Поскольку, имеется следующее ограничение сверху на модуль волнового вектора плазмона:. При больших значениях модуля волнового вектораплазмон «разваливается» на индивидуальные возбуждения электронного заряда в плазме, иными словами, не является хорошо определенной квазичастицей.

Соотношение (2.4) определяет квадратичный закон дисперсии плазменного колебания. Для групповой скорости плазмона из (2.4) имеем: . Отсюда можно получить эффективную «массу» плазмона, если определить ее равенством. Тогда имеем:, т.е. эффективная масса плазмона может быть больше или меньше массы электрона в зависимости от величины отношения. Это отношение велико для вырожденной электронной плазмы в металле и мало в случае невырожденной идеальной плазмы. Величина энергии плазмонов в металлах, когда продольное электрическое поле связано с электронами проводимости, изменяется в пределах от 4 (у калия) до 18,9 эВ (у бериллия).

В низкочастотном пределе продольная часть диэлектрической проницаемости в первом приближении имеет вид

. (2.5)

Видно, что в низкочастотном пределе диэлектрическая проницаемость (в первом приближении) не зависит от частоты, она определяет статическую экранировку поля внешнего заряда в плазме. Как следует из равенства (2.5), эта экранировка существенна () для, т.е. для длинноволновых статических полей. Это тот же самый диапазон волновых векторов, в котором плазмоны являются хорошо определенными квазичастицами.

Помимо колебаний электронного заряда в плазме существуют и колебания ионной компоненты, характеризующиеся ионной плазменной частотой: (,– концентрация и масса ионов). Поскольку, ясно, что ионная плазменная частота существенно меньше электронной. То же справедливо и для тепловой скорости ионов:(– ионная температура в энергетических единицах, которая не всегда совпадает с электронной температурой). Ионный радиус Дебая равен

. Поскольку в электронейтральной плазме (– зарядовое число иона), то в случае равенства электронной и ионной температур радиусы Дебая электронной и ионной компонент равны друг другу с точностью до множителя

Рассмотрим частотный диапазон , который для электронной подсистемы плазмы является низкочастотным.

В нем продольная диэлектрическая проницаемость плазмы, учитывающая ионный вклад, имеет вид

. (2.6)

Здесь второе слагаемое описывает вклад электронной компоненты, а третье – ионной компоненты. В правой части равенства (2.6) опущено мнимое слагаемое, отвечающее затуханию волн, что справедливо при выполнении условия . С использованием диэлектрической проницаемости (2.6) уравнение (2.1) дает следующий закон дисперсии:

, (2.7)

описывающий ионно-звуковую волну. Это еще один тип плазменных колебаний, включающий в себя осцилляции заряда и продольного электрического поля. Для малых модулей волнового вектора равенство (2.7) дает

, (2.8)

т.е. имеем линейный закон дисперсии (рис. 2.1), характерный для звуковых волн, причем величина играет роль скорости звука. Ясно, что всегда выполняется неравенство:, поэтому ионно-звуковая волна не поглощается плазменными электронами. Отметим, что обмен энергией между волной и частицей эффективен только в случае, если фазовая скорость волны равняется скорости частицы. Поэтому, чтобы не было поглощения ионно-звуковой волны на плазменных ионах, необходимо выполнение неравенства, т.е. должно быть.

Для коротковолновых ионно-звуковых волн из (2.7) следует простое равенство, т.е. исчезает зависимость частоты от волнового вектора (горизонтальный участок нижней кривой, рис. 2.1). Для больших значений волнового вектораионно-звуковая волна сильно затухает, переставая быть хорошо определенной квазичастицей.

Рис. 2.1. Дисперсионные зависимости для плазмона (верхняя кривая) и для ионно-звуковой волны (нижняя кривая)