Г л а в а 6. Поверхностные плазмоны

6.1. Поверхностные плазменные колебания

Из изложенного выше следует, что структура электромагнитного поля на границе раздела сред с различными диэлектрическими проницаемостями играет важную роль в распространении электромагнитных колебаний. На поверхности раздела этих сред возникает новый тип плазменных колебаний – так называемые поверхностные плазмоны (ПП), которые могут возбуждаться полем электромагнитной волны, падающей на поверхность раздела [10].

Колебания на плоской границе

Предположим, что металлическая поверхность является бесконечной плоскостью z = 0. Сам металл заполняет полупространство z > 0 (рис. 6.1).

Рис. 6.1. Плоская граница раздела металл–диэлектрик

Исследуем поверхностные плазменные колебания, распространяющиеся вдоль поверхности металла (например, в направлении x). Вглубь металла и вдали от его поверхности вне металла они быстро затухают. Электростатический скалярный потенциал, удовлетворяющий уравнению Лапласа, выберем в форме

(6.1)

В действительности, скалярный потенциал не является статическим и должен удовлетворять не уравнению Лапласа, а волновому уравнению:

(6.2)

Пренебречь временной производной в этом уравнении можно при условии , которое мы будем предполагать далее. Это условие и означает, что затухание поверхностного колебания вглубь металла или вдаль от его поверхности наружу происходит на расстояниях, малых по сравнению с длинойc/. Итак, удовлетворяется уравнение Максвелла:

(6.3)

Уравнение Максвелла оценочно записывается в виде. Отсюда следует, что в рассматриваемом случае магнитное поле мало по сравнению с электрическим полем,H << E.

Следующее уравнение Максвелла:

(6.4)

удовлетворяется приближенно за счет малости магнитного поля, указанной выше. Отличное от нуля магнитное поле приводит к малой добавке к электрическому полю, определяемому по скалярному потенциалу соотношением и мы этой малой добавкой далее пренебрегаем.

Приведенный выше скалярный электростатический потенциал непрерывен на границе металла. Автоматически будет непрерывна и тангенциальная компонента напряженности электрического поля

Вычислим теперь нормальную компоненту индукции электрического поля:

(6.5)

Она должна быть непрерывна на границе металла z = 0, т.е.  = – 1. Таким образом, частота поверхностных плазменных колебаний на плоской металлической поверхности равна

(6.6)

Мы видим, что она меньше частоты объемных плазменных колебаний.

Колебания Ми

В отличие от объемных плазменных колебаний, частота поверхностных плазменных колебаний зависит от формы поверхности. В предыдущем разделе это была плоская поверхность металла. В данном разделе мы рассмотрим собственные поверхностные колебания электронного газа в металлическом шарике малого радиуса а (снова по сравнению с величиной c/). Эта задача была впервые решена Г. Ми в 1908 году. При таких колебаниях электронное облако как целое смещается то в одну, то в другую сторону относительно положительного заряда (без изменения концентрации, в отличие от объемных плазменных колебаний).

В указанных условиях волновое уравнение для скалярного потенциала снова сводится к уравнению Лапласа, как и в предыдущем разделе. Его решение внутри шарика ищем в простом виде:

(6.7)

Этот вид соответствует однородному электрическому полю внутри шарика, направленному вдоль некоторой оси, которую мы и выбираем за ось Z. Итак,

(6.8)

Как и в предыдущем разделе, из уравнения Максвелла:

(6.9)

следует, что магнитное поле мало по сравнению с электрическим, а именно, Далее мы пренебрегаем магнитным полем аналогично тому, как это было сделано в предыдущем разделе.

Снаружи шарика потенциал представляет собой потенциал дипольного момента p = a³E: величина а³ есть поляризуемость металлического шарика, которая следует из поляризуемости диэлектрического шарика, если устремить диэлектрическую проницаемость к бесконечности (см. конец раздела 2.2). Этот потенциал равен

(6.10)

Здесь  – угол между направлением плазменных колебаний и направлением в точку наблюдения. Видно, что потенциал непрерывен на границе шарика r = a. Вместе с ним является непрерывной и тангенциальная компонента напряженности электрического поля.

Теперь мы обратимся к условию непрерывности нормальной составляющей индукции электрического поля на границе шарика. Получаем

(6.11)

Отсюда находим:  = – 2. Так как то окончательно частота поверхностных плазменных колебаний электронного газа маленького металлического шарика (частота Ми) равна

(6.12)

Она резонансно возбуждается при поглощении маленьким металлическим шариком электромагнитного излучения с частотой, близкой к частоте Ми.