5.2. Зависимость от расстояния до источника полей в дальней и ближней зонах

Напряженности электрического и магнитного полей связаны со скалярным и векторным потенциалами соотношениями

. (5.12)

Конкретные вычисления зависимостей этих полей от расстояний основаны на взятии пространственных производных (градиентов) с помощью общих формул векторного анализа (детали расчетов содержатся в [5]). Особенно простыми оказываются производные векторного потенциала по времени, непосредственно следующие из формулы (5.10):

. (5.13)

Складывая все члены, возникающие при дифференцировании в формуле (5.12), можно получить разложение напряженностей полей по обратным степеням расстояния от излучающего объекта до точки наблюдения. Члены этого разложения удобно представить в виде суммы быстро и медленно спадающих с расстоянием. Первые из них формируют поле в ближней (N – nearest) зоне, тогда как вторые – в дальней (F – far) зоне. Таким образом, указанное разложение имеет вид

(5.14)

Здесь медленно спадающие с расстоянием члены ответственны за формирование поля в дальней (волновой) зоне:

. (5.15)

Члены, более быстро спадающие с расстоянием, определяют поле в ближней зоне:

(5.16)

Часть ближнего поля определяется первой производной дипольного момента по времени и исчезает в стационарном случае.

Уход энергии из излучающей системы определяется величинами полей на больших расстояниях и связан, очевидно, с дальним волновым полем. Вектор Умова–Пойтинга дальнего поля равен

. (5.17)

Интегрируя это выражение по сфере, окружающей излучающую систему, найдем

(5.18)

т.е. известное выражение для интенсивности дипольного излучения системы.

Это дальнее поле формирует свет, исходящий от излучающей системы (например, конца кварцевой иглы). Такое поле отвечает стандартному дифракционному пределу, не позволяющему выйти в пространственном разрешении за рамки длины световой волны.

Возможность такого выхода целиком обусловлена существованием ближнего поля. Это поле не вносит вклада в поток энергии излучающей системы на больших расстояниях ввиду его резкого спада с расстоянием. Однако именно оно ответственно за возбуждение нанообъектов, находящихся на расстояниях от источника излучения, меньших длины световой волны.

Сравним величину напряженностей электрических полей ближнего и дальнего полей. Оценивая временные производные и величину дипольного момента, осциллирующего с частотой , с помощью соотношений

(5.19)

получим оценки для напряженностей полей в дальней и ближней зонах

(5.20)

Их отношение определяется выражением

. (5.21)

Видно, что на расстояниях, малых по сравнению с длиной световой волны (внутри волновой зоны), ближнее поле существенно превышает дальнее. Именно это обстоятельство лежит, как отмечалось выше, в основе спектроскопии ближнего поля.

Как следует из формулы (5.21), отношение напряженностей полей определяется квадратом отношения длины волны к расстоянию до возбуждаемого объекта. Если возбуждение объекта происходит резонансным образом, то вероятности возбуждения пропорциональны квадратам напряженности, т.е. интенсивности, полей. Таким образом, отношение вероятностей процессов в полях ближней и дальней интенсивностей соотносится как четвертая степень отношения (5.21). В действительности существуют процессы более высокого порядка по интенсивности излучения (рамановское рассеяние и др.), которые содержат, таким образом, еще более высокие степени отношения (5.21), что позволяет достичь чрезвычайно большого возрастания вероятностей в таких процессах (на 10 и более порядков величины).