Бомбы 2006 by @rav

Государственный квалификационный экзамен на степень бакалавра

Вопросы госэкзамена по математике (МФТИ, 2006г.)

1.Теорема Больцано--Вейерштрасса и критерий Коши для числовой последовательности.

2.Два определения предела функции одной переменной и их эквивалентность.

3.Свойства функций одного переменного, непрерывных на отрезке: ограниченность, достижимость точных граней. Теорема о промежуточных значениях.

4.Теоремы о среднем для дифференцируемых функций: Ролля, Лагранжа и Коши.

5.Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано.

6.Теорема о равномерной непрерывности функции, непрерывной на компакте.

7.Дифференцируемость функции нескольких переменных. Достаточные условия дифференцируемости.

8.Исследование функции одного переменного с помощью производных: возрастание (убывание), экстремумы.

9.Теорема о неявных функциях, заданных одним уравнением.

10.Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимые условия, достаточные условия.

11.Условный экстремум функций нескольких переменных. Метод множителей Лагранжа (необходимые условия экстремума).

12.Определённый интеграл. Свойства интеграла с переменным верхним пределом: непрерывность, дифференцируемость. Формула Ньютона- Лейбница.

13.Несобственные интегралы. Абсолютно и условно сходящиеся интегралы. Критерий Коши. Признак сравнения.

14.Числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Критерий Коши.

15.Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса.

16.Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов (непрерывность, интегрируемость, дифференцируемость).

17.Степенные ряды. Теоремы Абеля. Радиус сходимости. Свойства степенных рядов. Ряд Тейлора.

18.Криволинейные интегралы. Формула Грина.

19.Поверхностные интегралы. Формула Остроградского--Гаусса.

20.Формула Стокса.

21.Тригонометрический ряд Фурье. Достаточные условия сходимости ряда Фурье в точке.

22.Равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье.

23.Ряд Фурье по ортогональной системе. Неравенство Бесселя, равенство Парсеваля, сходимость ряда Фурье по норме $L_2$ (то есть в смысле среднего квадратичного).

24.Преобразование Фурье. Формула обращения. Непрерывность преобразования Фурье.

25.Преобразование Фурье производной и производная преобразования Фурье.

26.Различные способы задания прямой и плоскости. Углы между прямыми и плоскостями. Формулы расстояния от точки до прямой и плоскости.

27.Кривые второго порядка. Эллипс, парабола, гипербола и их свойства.

28.Системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-- Капелли. Общее решение системы алгебраических уравнений.

29.Линейное отображение в конечномерных пространствах, его матрица. Собственные векторы и собственные значения линейных преобразований, их свойства.

30.Евклидово пространство. Самосопряжённые преобразования, свойства их собственных векторов и собственных значений.

31.Ортогональные преобразования в евклидовом пространстве.

32.Билинейные формы. Квадратичные формы, и их приведение к каноническому виду.

33.Теорема существования и единственности решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.

34.Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и системы таких уравнений. Методы их решения, использование матричных формул.

35.Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами. Фундаментальная система решений. Метод вариации постоянных. Определитель Вронского, формула Лиувилля--Остроградского.

36.Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера.

37.Задача вариационного исчисления со свободными концами. Необходимые условия экстремума.

38.Изопериметрическая задача вариационного исчисления. Необходимые условия экстремума.

39.Вероятностное пространство. Независимые события. Теорема сложения. Условная вероятность. Полная система событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

40.Случайная величина и её функция распределения.

41.Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, их свойства.

42.Испытания Бернулли. Неравенство Чебышева и закон больших чисел. Теорема Муавра--Лапласа и предельная теорема Пуассона.