- •1.Функция двух переменных. Определение. Геометрическое изображение.
- •2.Частные производные первого порядка функции двух переменных. Геометрический смысл.
- •3.Частные производные высших порядков функции двух переменных.
- •4.Экстремум функции двух переменных.
- •5.Наименьшее и наибольшее значения функции двух переменных в замкнутой области.
- •6.Двойной интеграл. Основные понятия. Геометрический смысл двойного интеграла.
- •7.Физический смысл двойного интеграла. Свойства двойного интеграла.
- •8. Вычисление двойного интеграла.
- •9.Замена переменных в двойном интеграле. Переход к полярным координатам.
- •10.Геометрические и физические приложения двойного интеграла.
- •11.Тройной интеграл. Основные понятия, свойства тройного интеграла.
- •12.Вычисление тройного интеграла.
- •13.Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрические координаты.
- •14.Дифференциальные уравнения I порядка. Основные понятия. Задача Коши.
- •15.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные Дифференциальные уравнения.
- •16.Линейные Дифференциальные уравнения I порядка. Решение методом Бернулли.
- •17.Линейные ду I порядка. Решение методом вариации произвольной постоянной.
- •18.Дифференциальные уравнения I порядка Бернулли. Дифференциальные уравнения высших порядков. Основные понятия. Задача Коши.
- •19.Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка (3 типа).
- •20.Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Решение для случая действительных различных корней.
- •21.Решение линейных однородных дифференциальных уравнений для случая комплексных и кратных корней.
- •22.Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами. Структура общего решения.
- •23.Нахождение частного решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами по специальному виду правой части.
- •24.Знакоположительные числовые ряды. Ряд геометрической прогрессии.
- •25.Свойства числовых рядов. Необходимые условия сходимости ряда.
- •26.Достаточные признаки сходимости: признак Даламбера, радикальный признак Коши.
- •27.Достаточный признак сходимости: интегральный признак Коши. Сходимость обобщённого гармонического ряда.
- •28.Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.
- •29.Функциональные ряды. Область сходимости. Сходимость ряда .
- •30.Степенные ряды . Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.
- •31.Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена.
- •32.Разложение в ряд Маклорена функций еx , sin X.
- •35.Тригонометрический ряд Фурье. 2п – периодическая функция. Теорема Дирихле.
- •36.Разложение в ряд Фурье чётных и не чётных функций.
- •37.Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода.
15.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные Дифференциальные уравнения.
ДУ с разделяющими переменными y'=f(x)*g(y) – общий вид dy/dx=f(x)*g(x) – умножим на дробь dx/g(x);
dy/dx*dx/g(xy)=f(x)*g(y)*dx/g(y)
dy/g(y)=f(x)*dx – интегрируем обе части этого равенства и получим общее решение.
∫dy/g(y)=∫f(x)dx, dy – может быть представив в дифференциальной форме ДУ с разделив переменные. M
(x, y) dx + N(x, y) dy=0;
Пр. Решить ДУ. xdy-2ydx=0; xdy=2ydx разделить 1/x*y, x≠0, y≠0;
dy/y=2*dx/x; ∫dy/y=2∫dx/x; ln|y|=2ln|x|+ln|C|; ln|y|=ln|x²*C|
y=C*x² - параболы их множества.
Одинарные ДУ – функция f(x,Y) наз. однородной функцией нулевого измерения если при умножении аргументов z и y, на произвольный параметре t, значение функции не измениться. Однородное функция может быть записана в виде f(x,y)=φ(1;y/x)
Пр. Дана функция f(x,y)=x+y/x-y умножим x и y на t. f(tx,ty)=tx+ty/tx-ty=t(x+y)/t(x-y)=x+y/x-y – это однородная функция однородного измерения. Разделим числитель и знаменатель на х. f(x,y)=(x+y/x)/(x-y/x)=(1+y/x)/(1-y/x)=φ(1;y/x).
Функции f(x,y) наз. однородной функции n – измерение если, при замене x и y на х→tx; y→ty, получается тоже функция умноженная на tⁿ, то есть f(tx,ty)=tⁿf(x,y)
Уравнение вида y'=φ(1; y/x) (6) или M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (7)
наз. однородными, где M и N однородные функции одного измерения. Уравнение (6) и (7) приводиться к уравнению с разделяющимися переменной заменой. y/x=u(x); y=u(x)*x; y'=u'(x)*x+u(x)
y и y' подставляется в уравнении (6).
Замечание: Иногда однородное уравнения удобно интегрировать считая х, функцией от у, тогда производиться замена x/y=u(y).
16.Линейные Дифференциальные уравнения I порядка. Решение методом Бернулли.
Линейные ДУ I порядка. Общий вид такого уравнения y'+P(x)*y=Q(x) (8). Это уравнение линейное относится y и y'. Если Q(x)=0, то уравнение (8) наз. линейное однородное уравнение. y'+P(x)*y=0 (9) – уравнение с разделяющими переменными, если Q(x)≠0, то линейное уравнение не однородное. Сущ. несколько методов решения уравнения (8).
Один из методов метод подстановки Бернулли. Он закл. в том, что решение уравнения (8) запишем в виде y=u(x)*v(x), где u и v непрерывные дифференцируемые функции. y'=u'v+uv'. Подставим y и y' в уравнение (8) u'v+uv'+P(x)*u*v=G(x) сгруппируем
uv'+v(u'+P(x)v)=Q(x) (*)
В качестве функции u от x возьмём решение уравнения
u'+P(x)v=0 – уравнение с разделяющимися переменными.
du/dx=-P(x)*u разделить dx/u; du/u=-P(x)dx интегрируем обе части ∫du/u=-P(x)dx; ln|u|=-∫P(x)dx+C1.
Здесь в качестве C1=0, для упрощения вычисления в дальнейшем Выразим (u) проинтегрируем обе части.
u =e -∫P(x)dx. Подставим в уравнение (*)
e -∫P(x)dx.*v=Q(x);
e -∫P(x)dx.*dv/dx=Q(x) | dx*e -∫P(x)dx
dv=Q(x)* e -∫P(x)dx dx интегрируем обе части
v=∫Q(x) e -∫P(x)dx dx +C
Общее решение неоднородного уравнения (yон) yон= u(x)*v(x)= e -∫P(x)dx (Q(x) e ∫P(x)dx dx+C)
17.Линейные ду I порядка. Решение методом вариации произвольной постоянной.
Линейные ДУ I порядка. Общий вид такого уравнения y'+P(x)*y=Q(x) (8). Это уравнение линейное относится y и y'. Если Q(x)=0, то уравнение (8) наз. линейное однородное уравнение. y'+P(x)*y=0 (9) – уравнение с разделяющими переменными, если Q(x)≠0, то линейное уравнение не однородное. Сущ. несколько методов решения уравнения (8).
Один из методов метод вариации постоянной (Метод Лагранжа): суть метода находим общее решение линейного однородного уравнения.
y'+P(x)y=0
d/dx=-P(x)y;
dy/y=-P(x)dx;
-ln|C|+ln|y|=-∫P(x)dx;
ln|y/c|=-∫P(x)dx;
y/c= e -∫P(x)dx;
y0=C* e ∫P(x)dx – решение однородного уравнения. Заменим С на функцию С(х) и yон=С(х)*e ∫P(x)dx .
Чтобы найти С(х) подставим yон в у равнение y'он=С'(х)* e ∫P(x)dx + С(х)* e ∫P(x)dx (-Рх))=Q(x)
(∫f(x)dx)'=f(x);
С'(х)* e ∫P(x)dx - P(x) * С(х)* e ∫P(x)dx +P(x)*C(x)* e -P(x)dx ;
C'(x)* e -P(x)dx =Q(x);
C'(x) = Q(x)* e ∫P(x)dx ;
dc/dx=Q(x)* e ∫P(x)dx ;
C(x)=∫Q(x)*e∫P(x) dx+C1.
Подставим С(х) в уон и получим решение.