- •1.Функция двух переменных. Определение. Геометрическое изображение.
- •2.Частные производные первого порядка функции двух переменных. Геометрический смысл.
- •3.Частные производные высших порядков функции двух переменных.
- •4.Экстремум функции двух переменных.
- •5.Наименьшее и наибольшее значения функции двух переменных в замкнутой области.
- •6.Двойной интеграл. Основные понятия. Геометрический смысл двойного интеграла.
- •7.Физический смысл двойного интеграла. Свойства двойного интеграла.
- •8. Вычисление двойного интеграла.
- •9.Замена переменных в двойном интеграле. Переход к полярным координатам.
- •10.Геометрические и физические приложения двойного интеграла.
- •11.Тройной интеграл. Основные понятия, свойства тройного интеграла.
- •12.Вычисление тройного интеграла.
- •13.Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрические координаты.
- •14.Дифференциальные уравнения I порядка. Основные понятия. Задача Коши.
- •15.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные Дифференциальные уравнения.
- •16.Линейные Дифференциальные уравнения I порядка. Решение методом Бернулли.
- •17.Линейные ду I порядка. Решение методом вариации произвольной постоянной.
- •18.Дифференциальные уравнения I порядка Бернулли. Дифференциальные уравнения высших порядков. Основные понятия. Задача Коши.
- •19.Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка (3 типа).
- •20.Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Решение для случая действительных различных корней.
- •21.Решение линейных однородных дифференциальных уравнений для случая комплексных и кратных корней.
- •22.Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами. Структура общего решения.
- •23.Нахождение частного решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами по специальному виду правой части.
- •24.Знакоположительные числовые ряды. Ряд геометрической прогрессии.
- •25.Свойства числовых рядов. Необходимые условия сходимости ряда.
- •26.Достаточные признаки сходимости: признак Даламбера, радикальный признак Коши.
- •27.Достаточный признак сходимости: интегральный признак Коши. Сходимость обобщённого гармонического ряда.
- •28.Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.
- •29.Функциональные ряды. Область сходимости. Сходимость ряда .
- •30.Степенные ряды . Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.
- •31.Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена.
- •32.Разложение в ряд Маклорена функций еx , sin X.
- •35.Тригонометрический ряд Фурье. 2п – периодическая функция. Теорема Дирихле.
- •36.Разложение в ряд Фурье чётных и не чётных функций.
- •37.Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода.
24.Знакоположительные числовые ряды. Ряд геометрической прогрессии.
Числовые ряды – рассмотрим числовую последовательность: un – числа.
Составим суммы: ;
;
…………………..
;
Выражение: – называется числовым рядом (1)
Числа - называются членами ряда. Если они положительны, то ряд называется знакоположительным.
- называется n-ый член ряда или общий член ряда.
- частичные суммы.
Числовой ряд (1) называется сходящимся, если последовательность частичных сумм сходится к некоторому числу S, которое называется суммой ряда, т.е. ряд сходится если существует предел: . Если предел не существует или равен бесконечности, то ряд называетсярасходящимся. Ряд может быть задан перечислением нескольких членов или в виде формулы общего члена ряда.
Ряд геометрической прогрессии – Исследуем на сходимость ряд: Этот ряд называетсярядом (2)
геометрической прогрессии. Сумму первых n-членов ряда геометрической прогрессии находим по формуле: ,
Найдем
Рассмотрим следующие случаи:
1), тогда , поэтому – ряд сходится;
2), тогда , и - ряд расходится;
3), тогда ряд (2) имеет вид: , его сумма,- ряд расходится;
Вывод: ряд геометрической прогрессии (2) сходится, при иего и расходится, при.
25.Свойства числовых рядов. Необходимые условия сходимости ряда.
Простейшие свойства числовых рядов:
1.Суммой двух рядов иназывается ряд;
2.Произведением ряда на действительное число α называется ряд: ;
3.Сходимость ряда не нарушается, если произвольно изменить (переставить, добавить или отбросить) конечное число членов. Сумма может измениться;
4.Сходящийся ряд можно почленно умножать на любой множитель α, и если сумма ряда равна , то сумма;
5.Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать: ; ,то ;
Необходимое условие сходимости ряда:
Теорема: Если ряд сходится, то его общий член, т.е. (1)
Доказательство: Если ряд , .Запишем: и найдем его предел ч.т.д.
Если условие (1) не выполняется, то ряд расходится. Условие (1) не является достаточным условием сходимости ряда, т.е. из выполнения равенства не обязательно вытекает сходимость ряда.
26.Достаточные признаки сходимости: признак Даламбера, радикальный признак Коши.
Необходимый признак сходимости не дает, вообще говоря, о том сходится ряд или нет. Сходимость и расходимость ряда можно установить с помощью достаточных признаков.
Признак Даламбера – пусть дан ряд знакоположительный и существует предел отношения последнего члена ряда к предыдущему, т.е.:, тогда, если.
Радикальный признак Коши – дан знакоположительный ряд , если существует предел, тогда если.
27.Достаточный признак сходимости: интегральный признак Коши. Сходимость обобщённого гармонического ряда.
Необходимый признак сходимости не дает, вообще говоря, о том сходится ряд или нет. Сходимость и расходимость ряда можно установить с помощью достаточных признаков.
Интегральный признак Коши – дан знакоположительный ряд , пусть его члены могут быть представлены как числовые значения некоторой функцииf(x), которая убывает на промежутке [1;+∞), т.е.: ;
;
…………..
;
тогда: 1.Если несобственный интеграл: сходится, то и ряд сходится;
2.Если несобственный интеграл: расходится, то и ряд расходится;
Замечание (о сходимости несобственного интеграла): интеграл сходится, еслиlim = ∞, или не существует, интеграл расходится.
Обобщенный гармонический ряд:
, где p>0 – действительное число (1)
Ряд (1) называется рядом Дирихле. Исследуем ряд на сходимость по интегральному признаку. Рассмотрим функцию , это функция убывает на интервале (1; ).
Вывод: ряд Дирихле
при
Этот ряд удобно использовать в признаках сравнения.