7.Физический смысл двойного интеграла. Свойства двойного интеграла.
Масса плоской пластинки требуется найти массу М пластинки Д зная, что поверхностная плотность γ=γ(x,y) –непрерывная функция.
Произведём действия из первого пункта. Произведение γ(xi, yi)*S(Дi), есть масса элементарной области mi, тогда m=lim n→∞Σmi; m= Σn i=1mi= lim n→∞ γ(xi, yi)*S(Дi)=∫∫д f(x, y)dxdy (3).Вывод: двойной интеграл от плотности γ(x,y), численно равен массе пластинки Д - физ. смысл.
Основные свойства двойного интеграла:
Пусть функция z1= f(x, y), z2= g(x, y) интегрируемы в области Д тогда:
1)∫∫Д c*f(x,y)dxdy=c∫∫Д f(x,y)dxdy, c=const;
2)∫∫[f(x,y)±g(x,y)]dxdy=∫∫Д f(x,y)dxdy± ∫∫Д g(x,y)dxdy
3)Если f(x, y)≥ ∫∫(x,y)dxdy∫≥0
4)Если область Д состоит из двух областей Д=Д1UД2, тогда ∫∫ Д f(x,y)dxdy =∫∫ Д1 f(x,y)dxdy+∫∫ Д2 f(x,y)dxdy
5)∫∫dxdy=S(Д) – одиночная функция
6)Если S – площадь области Д, то в этой области найдется (·)(x0,y0) токая, что ∫∫ Д f(x,y)dxdy=f(x0,y0)*S(Д)
f0(x0,y0) –наз.средним значением функции f(x,y) в области Д.
8. Вычисление двойного интеграла.
Требуется
вычислить двойной интеграл ∫∫Д
f(x,y)dxdy,
f(x,y)≥0.
Пусть область Д ограничена вертикальными
прямыми x=a,
x=b,
вертикальными y=φ1(x),
y=φ2(x),
причём y=φ2(x)>
y=φ1(x).
Пусть любая прямая || оси оу пересекает
область Д не более чем в двух точках,
такая область наз. правильная в направлении
оси оу, тогда справедлива формула:
∫∫Д f(x,y)dxdy = ∫ab dx ∫ φ2(x) φ1(x). f(x, y) dy (4) – формула для вычисления двойного интеграла.
В начале интегрируем f(x,y) по переменной у, считая x=const, а затем результат по переменной х, на отрезке [а,b].
Правая часть формулы (4) наз. повторным интегралом, от функции f(x,y).
∫ φ2(x)
φ1(x).
f(x,
y)
dy
–
наз. внутренним интегралом. ∫ab
dx
– наз.
внешним интегралом. Фактически вычисление
двойного интеграла сводиться к определению
двух определенных интегралов. Если
область Д ограничена прямыми y=c,
y=d,
функциям x=Ψ1(y),
c=Ψ2(y)
и область Д явл. правильной в направлении
оси ох. 
∫∫Д f(x,y)dxdy = ∫dc dy ∫ Ψ2(y) Ψ1(y). f(x, y) dx (5)
Здесь
при вычислении внутреннего интеграла
считаем у – постоянным. Замечание:
Пример неправильной области. Следует
разбить на конечное число правильных
областей проинтегрировать. Может быть,
что область Д такова, что одна из функций
задается двумя аналогичными выражениями.
То есть 
Тогда двойной интеграл ∫∫ Д=∫∫Д1+∫∫Д2. ∫∫Д f(x,y)dxdy =∫ca dx∫f(x,y)dy+∫bc dx
∫ φ2(y) φ1(y). f(x, y) dy.
Замечание:
1.Формулы (4) и (5) справедлива и для f(x,y)≤0;
2.Если область Д правильная в обоих направлениях то двойной интеграл можно вычислить по формуле (4) и по формуле (5) результат один и тот же.
3.Если область Д неправильная, то её надо разбить на части правильные в направлении оси ox или оси oy.
4.Внешние приделы в повторном интеграле всегда постоянные, а внутренние переменные или постоянные, зависит от области.
Пр. Вычислить двойной интеграл. ∫∫Д (x²+y)dxdy; Д: y=x²; x=y²