12.Вычисление тройного интеграла.
Сводиться к вычислению 3 определенных интегралов. Пусть областью интегрирования V явл. тело ограниченное снизу поверхностью z=z1*(x, y), с верху z=z2*(x, y), причём z2> z1 проекции тела V на плоскость хоу явл. областью Д.
V
– правильная в направление оси oz,
тогда для любой непрерывно функции
Vx,y,z,
заданно в области V
имеет место формула. ∫∫∫Vf(x,
y,
z)dxdydz=∫∫Д(∫z1(x,y)
z2(x,y)f(x,
y,
z)
dz)
dxdy
(2)
Если область Д ограничена линиями x=a, x=b, y=φ1x, y=φ2x, (φ2(x)≥φ1(x)), то формула (2) имеет вид.
∫∫∫V f(x, y, z)dxdydz=∫abdx∫φ1(x) φ2(x)dy∫z1(x,y)z2(x,y) f(x,y,z)dy (3)
Тройной интеграл свели к повторным
Замечание: 1)Если область V – сложное, то её надо разбить на конечное число просто правильных областей.
2)Порядок интегрирования в формуле (3) может быть любым.
13.Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрические координаты.
Часто применяют метод подстановка. Пусть производиться подстановка x = φ(u, v,ω), y=Ψ(u,v,ω), z=&(u,v,ω), составим якобиан.
J = |ðx/ðu ðx/ðv ðx/ðω ≠ 0
ðy/ðu ðy/ðv ðy/ðω
ðz/ðu ðz/ðv ðz/ðω
Справедлива формула замены переменных ∫∫∫Vf(x, y, z)dxdydz= ∫∫∫Vf(u, v, ω)*|J|dudvdω;
Наибольшее удобно переходить к цилиндрическим координатам. Положение (·) М (x, y, z) в пространстве oxyz, можно определить заданием 3 чисел r, φ, z, где r – длина проекции радиуса вектора (·) M на плоскость xoy. φ – угол образований этой проекции с осью ох. z – опликата (·) М.
Числа r, φ, z называется цилиндрическими координатами. Цилиндрические и декартовые координаты связаны по формулам: x=r *Cos φ; y = r*Sin φ; z = z
r≥0, 0≤φ≤2π; z Є R Составим Якобиан для цилиндрических координат
J = |Cos φ - r sin φ 0 = cos φ - r sin φ= r* Cos ²φ+r*Sin²φ=2
Sin φ r cosφ 0 sin φ r cos φ
0 0 1|
Замечании: К цилиндрическим координатам удобно переходить когда область определение цилиндрическая поверхность.
14.Дифференциальные уравнения I порядка. Основные понятия. Задача Коши.
Основные понятия: Соотношение (F(x, y,y'…yⁿ)=0 (1)
Связываем x, y и производные y' – наз. ДУ. Если уравнение (1) можно записать в форме yⁿ=f(x, y, y',…yn-1) (2) говорят, что ДУ решено относительно старшей производной или ДУ в нормальной форме. ДУ в катаром функции у зависит от одной переменной наз. обыкновенной (ОДУ). Если ДУ зависит от нескольких переменных, то имеет диф. уравнений в частных производными. Мы будем расм. ОДУ. Порядок ДУ определяется наивысшей производной входящей в ДУ. Решение или интегралом ДУ наз. такая функции y=y(x), что при подстановке в уравнении (1) вместе с производными получаем тождество. Всякому решение ДУ на плоскости соответствует некоторая кривая y=y(x),которая наз. интегральной кривой. Процесс нахождения решения ДУ наз. интегрированием ДУ. ДУ имеет бесчисленное множество решений.
ДУ I первого порядка. Общий вид F (x, y, y')=0 (3)
В нормальной форме y'=f(x,y) (4)
Общим решением уравнения (3) наз. функция y=y(x, C) удовлетворяющая условия: 1) y(x, C) – непрерывная дифференцируема на (a, b). 2). y'=f(x, C) – при подстановке y и y' в уравнении получаем тождество.
Уравнение (3) или (4) имеет бесчисленнее количество решений, что бы выделить одно, частное решение надо задать начальное условие y(x0)=y0 (5) или условие Каши.
Задача Коши: найти частное решение ДУ (4), удовлетворяющие начальному условию (5). С геометрической (·) зрения общее решение y=y(x, c) есть семейство интегральных кривых на плоскости xoy. Частное решение y=y(x, C0) одна из кривых проходящая через заданную (·)(x0, y0).