2.Частные производные первого порядка функции двух переменных. Геометрический смысл.

Пусть задана функция z=f(x, y), дадим независимой переменной х. приращение Δx, сохраняя значение у неизменным, тогда z, получим приращение, которое наз. частным приращением z по x. Обозначим Δ_xz; Δ_xz=(x+Δx, y)-f(x,y). Аналогично приращение по у: Δ_уz; Δ_уz=(x+нx, y)-f(x,y). Полное приращение Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y). Если сущ. предел lim _Δx→0 Δ_уz/Δx= lim _Δx→0 f(x+Δx,y)-f(x,y), то он наз. частной производной функции z=f(x, y), по переменной х. Обозначается z_x', ðz/ðx, f_x'(x, y). Аналогично определяется частное по у (производная). Обозначается z_у', ðz/ðу…Частные производные функции z находятся как производные функции одной переменной при условии, что другая переменная остается константой. Частные производные находятся по формулам и правилам для функции одной переменной. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных. Графиком функции z=f(x,y) явл. некоторая поверхность. Графиком функции z=f(x,y₀) – есть линия пересечения этой поверхностью с плоскостью, которая || плоскости ох z. Исходя из геометрического смысла производны для функции одной переменной f_x'(x₀, y₀)=tg L, где L угол между осью ox и касательной проведённой у кривой z=f(x,y₀) в (x₀, y₀, z₀)M₀.

Аналогично f_y'(x₀, y₀)=tg β.

Пр. Найти частное производное.

z=3y-e^x²-y+1; z'_x(y=const)=0- e^x²-y(x²-y)'_x+0=- e^x²-y*2x;

z'_y(x=const)=3- e^x²-y(x²-y)'_y+0=3- e^x²-y*(-1)= 3+ e^x²-y;

Пр. z=ln(x²-y³);

z'_x(y=const)=(1/ x²-y³)*2x;

z'_y(x=const)= )=(1/ x²-y³)*(-3y²).

3.Частные производные высших порядков функции двух переменных.

Частные производные z_x', z_y' – первого порядка. Частные производные второго порядка

ð/ðx (ðz/ðx)=ð²z/ðx²=z''_xx

ð/ðy (ðz/ðy)=ð²z/ðy²=z''_yy

ð/ðx (ðz/ðx)=ð²z/ðxðy=z''_xy

ð/ðx (ðz/ðy)=ð²z/ðyðx=z''_yx

z''_xy, z''_yx – наз. смешанные.

Аналогично определяются производные частные более высоких порядков.

Пр. ð/ðy(ð²z/ðx²) = z''_xxy. Если частные производные непрерывны то смеси произв. отличающиеся порядка дифференциалы равны между собой.

Пр. Найти частное производное 2 порядка.

z=e^xy² (xy²)_x' =y²*x' = y²*1;

z _x' =e^xy² *y²; z _xx'' = (e^xy² *y²)_x'= y²* e^xy²*y²= y⁴* e^xy²;

z _y' =e^xy² *x2y; z _yy'' = (e^xy² *x2y)_y'= (e^xy²)_y'*2xy+ e^xy²*(2xy)_y'=

= e^xy²*2xy*2xy+ e^xy²*2x = 2xe^xy² (2xy²+1);

z'_xy = e^xy²*2xy³+ e^xy²*2y; z'_xy = e^xy²*2xy³+ e^xy²*2y;

Полный дифференциал – функция двух переменных. Полным приращением функции двух переменных называется величина Δf=f(x+Δx, y+Δy)-f(x,y) (1)

Главная часть немного приращение линейно зависящая от величины Δx, Δy, называется полным дифференциалом. df=ðf/ðx*dx+ðf/ðy*dy (2)

Полный дифференциал используется для приближенных вычислений, так как Δf≈df (3)

Пр. (1.02)^3,01 f(x,e)=x^y; x₀=1, y₀=3; f(x₀,y₀)= 1³=1

f( x,y)≈ f(x₀,y₀)+ ðf(x₀,y₀)/ðx*x-x₀+ðf(x₀,y₀)/ðy*y-y

dx=1,02-1=0,02; dy=3,01-3=0,01;

ðf/ðx=yx^y-1|x=x₀, y=y_0;=3*1^3-1=3; ðf/ðx=x^ylim x|x=1, y=3;=0;

f(1,02; 3,01)≈1+3*0,02=0,06