Задачи с решениями по сопромату

M A

m

q

c

cos450

(

b

a)

cos450

2

q

c

sin 450 (

c

d )

m

F

a q

a2

0

2

cos45

2

16

10

2,2

0,707 (1,1

4,2)

У

0,707

Т

2,2

4,22

10

0,707 (1,1

4,2)

20 4,2

16

10

M A

0.

0,707

2

Н

Y

0,

Б

c

cos450 F q a

Y

q

10 2,2 20

10 4,2

У A 0,

cos450

YA

84кН ;

X

0,

и

X

Х A

q

c

sin 450

0,

й

cos450

Х A

10 2,2

22кН .

о

Построим эпюру продольных сил (

ис.4.10):

Участок DE: NE

ND

0,

р

Участок CD:

c

зc

0

ND

q

cos450

sin150т10 2,2

22кН , (растяжение).

и

о

Участок АС:

п

22кН , (растяжение).

NC

N B

N A

q

cos450

cos45

е

Построим э юры поперечных сил (рис 4.11):

Р

Участок DE:

QE

0,

QD

10

2,2

31,12кН .

0,707

У

Т

Н

Б

й

и

р

о

т

Рис. 4.10. Схема рамы и эпюра продольных сил.

о

и

Участок CD:

QD

10

2,2з

22кН.

0,707 22кН , QC

е

0,707

Участок BC:

Р

п2,2

QB 22кН.

QC

10

0,707 22кН ,

0,707

Участок АВ:

QB

22 20

42кН,QA 42

10 4,2

84кН.

Построим эпюры изгибающих моментов (рис.4.11):

У

Т

Н

Б

й

и

р

о

з

т

Рис. 4.11. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Участок ED:

M E

о

16кН м, (растянутыеи

волокна слева),

п

2,2

1,1

M D

16

10

64,42кН м, (растянутые волокна сле-

е

0,707

0,707

ва).

Участок СD

Р

М D

64,42кН м : (растянутые волокна слева),

М С

16 10

2,2

0,707 5,3 132,6кН м (растянутые волок-

0,707

MC

132,6 16

116,6кН

м, (растянутые волокна снизу),

M B

116,6кН м, (растянутые волокна снизу).

Участок ВА: МВ = 116,6 кН·м, (растянутые волокна снизуУ).

M А

16

10

2,2

0,707

(1,1 4,2)

16 10

2,2

0,707Т(1,1 4,2)

0,707

0,707

20 4,2

10 4,2

4,2

172,2кН м

(растянутыеНволокна).

Задача 4.10

2

и

Б

Требуется:

нагрузкой

Балка нагружена расчетной

й. Материал балки – сталь с

расчетными сопротивлениями R=210МПа, RC

130МПа и моду-

о

лем продольной упругости Е=200ГПа.

лить напряжения сечениеσ τ на уровне примыкания полки к стенке и про-

1)

подобрать

дву авр вого профиля и проверить

прочность в уче ом собственного веса;

2) в одном

тй балки, имеющем одновременно большие

о

значения поперечной лы Q и изгибающего момента M, опреде-

пр

верить

чн зсть используя энергетическую теорию прочности; для

сравнения вы

лнить проверку прочности по третьей теории проч-

середине

пролета и на конце консоли, построить эпюру прогибов бал-

ности; выделить вокруг указанной точки элемент балки и показать

3)

используя один из известных методов, определить прогибы по-

ки;

Р4)

проверить жесткость балки при допустимом относительном

а=2 м,

b=3 м,

Т

с=2 м,

У

d=4 м,

кН

F=20

,

M=10 к

м,

Б

q=12кН/м.

Рис. 4.12. Схема балки.

Определим опорные реакции в балке и построим эпюры попереч-

ных сил и изгибающих моментов.

и

Составим уравнение равновесия:

й

М А

0 ;

р

М А

F (a в с d ) YD (a в с)

D

в с

о

F (a в) q(в с)(

а) m 0;

т

2

Y 7

и

20 11

20 5

12 5 4,5

10

0,

160

22,857кН .

D

7

о

2

М D

0;

з

(в

с)

2

М

D

Y (a в с) m q

F c F d 0

A

260

YA

п37,143кН.

7

Осуществляеме

проверку правильности определения опорных реак-

ций:

Y

0;

РY

YA

YB

q(в

с)

F

F

22,857

37,143 12 5

20

20 0.

QC( левее)

QA q в

37,143 36

1,143кН;

QC(правее)

QC( левее)

F

1,143

20

18,857кН;

QD( левее)

QC(правее)

q c

18,857

12 2

42,857кН;

У

QD(правее)

QD( левее)

YD

42,857

22,857

20кН ;

Т

QK 20кН.

Н

Б

й

и

р

о

т

и

з

о

п

е

Р

У

Т

Н

Б

й

и

р

о

т

и

з

о

Рис.4.12. Схема балки. Эпюры поперечных сил и изгибаю-

п

щих мом нтов

е

Р

У

Т

Н

и

Б

Рис.4.13. Эпюры попе ечных с лйзгибающих моментов от

собственного веса балки.

о

т

Строим эпюру изгибающих м рментов (рис 4.13):

М А

m 10кН

м,

М В

YA

и

m

a

10

37,143 2

84,286кН

м,

з

2

2

12 32

.

М

m

о

q в

10

37,143 5

141,715кН м,

С

A

2

2

М D

m R(a в с) q

(в с)

F c

2

п37,143 7

Р

12 52

10

20 2

80кН

м,

Ме0.

2

К

Подберем сечение балки в виде двутавра, используя следующее

условие прочности:

M max

R;

откуда требуемый момент

WX

M max

141,715 103

3

3

3

WX

0,674 10 м

674см

;

R

210 106

WX

743см3;

I X

13380см4 ;

Sxотс

423см3;

У

q 486Н / м (собственный вес балки);

в

7,5мм;

А 61,9см2 .

Проверим прочность балки с учетом собственного веса.

2

Н

Определим опорные реакции от действия собственного веса балки

(q=0,486кН).

Т

М

0;

М

Y (a в с) q

(a

в

с

d )2

0;

А