Задачи с решениями по сопромату

.

Знак «минус» показывает, что направление реакции

необ-

ходимо заменить на противоположное.

ΣX=0, следовательно,

XA=0.

Рассмотрим жесткий элемент II

(рис.1.6), приложив к нему

У

нормальную силу N1, взятую с обратным знаком. Рассечем стержень

2, приложив к нему усилие N2.

Т

Н

Б

й

и

р

Рис.1.6. Схема жесткого элемента II.

о

2

Cоставим уравнение равн весия:

M B 0

,

F 4a

N1

3a q2

a 2,5a

N2

sin

2a

0 ,

и

0 ,

20 4 0,8

32 3 0,8 10 0,8 2,5 0,8 N

sin

2 0,8

з

N2

sin

28,8

.т

Определим sin

. Дл на стержня 2 равна:

о2

12

1,62

l2

b2

2a2

1,89м,

sin

b

1

0,529,

l

1,89

Р

птогда N2

0,529 28,8кН ,

N2

28,8

54,44кН .

0,529

еПодберём диаметр сечения для стержней по расчетному со-

противлению R:

N

R , A

N

.

A

R

A

N1

32 103

1,524 10 4 м2 1,524см2 ,

1

210 106

R

A

d 2

, d

4 A

, d

4 1,524

1,393см

1,4см.

4

1

3,14

Для второго стержня:

A

N 2

54,47 103

2,59 10

4

м

2

2,59см

2

,

2

R

210 106

Т

У

d2

4

2,59

1,816см 1,9см.

3,14

Определим опорные реакции YB

и XB , составив уравнения

равновесия:

Б

ΣY=0, F – N1 – q2·a + N2·sinα + YB = 0,

YB = -20 + 32 + 10·0,8 + 54,44·0,529 = - 8,79 кНН.

й

ΣX=0, XB + N2·cosα = 0, XB = - N2·cosα,

=

и

Для проведения расчёта на жёсткость, определим удлинение

т

р

стержней 1 и 2 (рис.1.7):

N1 l1

32 103 2 4

D' D" l1

о

0,002м 2мм ,

EA1

210 109

3,14 0,0142

з

54,47 103

N2l2

1,89 4

что

К ' К"

l2

EA

9

2

0,0017м

1,7мм.

п

и2 210 10

3,14 0,019

С ставим схему перемещений элементов стержней системы,

пред ол жив,

жёсткие брусья будут поворачиваться относи-

тельно

своих опор, оставаясь прямыми (рис.1.7).

Из-за малости перемещений будем полагать, что точки D, E и

K, п р м стятся соответственно в точки D'',E' и K',

т.е. перемеще-

ния абсолютно жёстких брусьев будет происходить вертикально.

Определим перемещение точки D:

Р DD'

D' D"

,

D' D"

l2 ,

sin

DD'

l2

1,7

3,21м м.

sin

0,52

У

Т

Н

Б

Из подобия треугольников BEE'стержневойBDD' определим переме-

и

системы.

Рис. 1.7. Схема перемещений

щение точки Е:

о

EE'

DD'

BE DD'

2,4

0,002

т

BD ,

BE

EE'

BDр

1,6

0,003м 3мм,

и

KK '

EE' 3мм,

KK"

KK ' K' K",

K' K"

l2

1,7мм , KK" 3 1,7 4,7мм.

з,

Из подоб я треугольников АСС'' и АKK'' определим переме-

щение точки С:

СС"

KK"

п

AC

AK

AC KK"

3,2 0,0047

CC"

о

0,0188м

18,8мм.

Р

AK

0,8

СС

18,8

20мм.

Жёсткостье

конструкции обеспечена.

превышать 20 мм.

F=20 кН, а=1 м,

У

q=12 кН/м, b=1,5м, [δ] = 20 мм.

Т

Н

Б

й

и

ержнях

о

Решение.

Рис. 1.8. схема сте жневой системы.

Определим усилия в с

,

мысленно разделив стержне-

вую систему на 2 сос авляющих. Рассмотрим жёсткий элемент I

(рис.1.9).

и

з

Приложим к стержню1 неизвестную нормальную силу N1 и

определим ее начен е, составив уравнение равновесия:

о

Mc

0,

N1 2a

F a

0,

п

N1

2a

F a,

е

N1

20 1

10кН.

Р

2 1

Определим

реакцию

в

шарнире

YC:

Y

0, Yc

N1

20

0,

Yc

10кН.

У

Т

Н

Б

й

Рис. 1.10. Схема жесткого элемента II.

Рассекаем стержень 2 и прикладываем к нему усилие N2.

Cоставим уравнение равновесия:

р

M B 0,

о

и

q 4a 2a N2

sin

2a 0,

q 4a 2a

т

2

N2 sin

10 4 1 40,

2a

и

sin

b

1,5

0,6 тогда

N

40

66,67кН ,

l2

2,5

0,6

где

о

П дберёмздиаметр сечения для стержней по расчётному со-

противлению R:

е

N

N

Р

п

R, A

.

A

R

Для первого стержня:

A

N1

10 103

0,476 10

4

0,475см

2

,

1

R

210 106

A

d 2

, d

4 A

,

4

d1

4

0,476

0,78см 0,8см.

3,14

Т

Для второго стержня:

Н

У

N 2

66,67 103

A

3,17 10

4

м

2

3,17см

2

,

2

R

210 106

d2

4

3,17

2,0см.

3,14

й

B

Определим опорные реакции XВ и YВ, составив уравнение

равновесия:

и

Б

ΣY=0, YB - q·4a + N2·sinα + RC

= 0,

Y

12 4 1 66,67 0,6

10

20кН ,

ΣX=0, -XB

+ N2·cosα = 0,

о

XB = 66,67·0,8=53,34 кН.

Для проведения расчётарна жёсткость, определим удли-

DD'

3,1

рис

нение стержня 2 (

.1.11):

N2l 2

66,67 103 2,5 4

l2

D' D"

т

0,0031м

3,1мм,

EA

3,14 0,0182

210 109

2

DD"

о

5,2мм.

п

з0,6

sin

е

П р мещение точки С в положении С' определяется только

удлин ни м стержня 2. Из подобия треугольников BCC' и BDD'':

Р

BC DD"

4 0,0052

CC'

DD"

, CC'

0,0104м

10,4мм.

BC

BD

BD

2

У

Т

Н

Рис. 1.11. Схема перемещений стержней системы.

CC' [ ]; 10,4мм 20мм. Жёсткость конструкции обеспечена.

большой

З а д а ч а 1.4.

Б

Система, состоящая из элементов

жёсткости и двух

расчётной

стальных стержней, загружена

нагрузкой (рис.1.12). Рас-

чётное сопротивление материала сте жней R=210 МПа.

о

иТребуется:

проверить