Задачи с решениями по сопромату

М B y

0,

МC

q l 2

8 0,82

2,56кН м.

y

2

2

Участок СD:

МC y

0,

M Dy q l l 8 0,8 0,8 5,12кН м.

У

Т

Н

Б

й

о

и

т

Рис. 6.10. Эпюра изгибающих рм ментов от действия силы F.

и

з

о

п

е

Р

У

Т

Н

Рис. 6.12. Эпюра изгибающих моментов от действия равномерно

распределенной нагрузки q.

Б

Просуммируем изгибающие моменты от всех видов нагрузки.

й

и

р

о

т

и

з

о

п

ис. 6.13. Суммарная эпюра изгибающих моментов от действия

видов нагрузки.

всех

Построим эпюру крутящих моментов.

Р

T

F l

6 0,8

4,8кН м.

Участок СD:

T

q l

l

8 0,8

0,8

2,56кН м.

2

2

У

Т

Н

Б

Рис. 6.14. Эпюра крутящих моментов.

й

р

Установим вид сопротивлен я для каждого участка системы,

о

который определяется по эпю ам. и

йствует

На участке АВ де

п пе ечная сила Qx и изгибающий мо-

мент My (поперечный изгиб).

На участке ВС дейс вует поперечная сила Qx , Qy , крутящий

момент Т и

изгибающ

е моменты Mx и My (косой изгиб с кручени-

ем).

На участке СDидействует поперечная сила Qx, крутящий момент

п

Т , изгибающие м менты Mx, My и продольная сила N (косой изгиб

с кручением и сжатием).

О р долим максимальные напряжения в опасном сечeнии каж-

дого участка от внутренних усилий Mx,My,T,N (касательными

Р

напряж ниями от поперечных сил Qx и Qy можно пренебречь).

еУчасток АВ:

М

4,8 103

48,9МПа,

В

Wи

98,13 10 6

W

d 3

3,14 103

98,13см3.

и

32

32

У

Участок ВС:

Опасная точка С. Qy = 6кН, Qx = 6,1кН, Mx =8,8кН·м,

My=2,56кН ·м,

Т=4,8кН ·м.

Определим суммарный изгибающий момент:

Н

М и

М x2

М y2

8,82

2,562

9,16кН м,

Б

Т

М и

9,16 103

93,35МПа.

Wи

98,13 10 6

При кручении круглого стержня возникают касательные напря-

жения:

T

2,56 103

13,04МПа,

max

W

196,26 10 6

р

й

W

2Wи

2 98,13

196,26см3

и

Участок СD:

Опасная точка D.

Qx=6,4кН, Mx=8,8кН· м, My=9,92кН· м,

и

о

N=6кН, Т=2,56кН· м.

з

т

N

6 103

A

о

4

0,764МПа,

78,5 10

п

3,14 102

А

d

2

78,5см

2

,

4

4

М

и

M 2

M

2

8,82

9,922

13,26кН м,

Р

x

y

М и

13,26 103

е

135,14МПа,

98,13 10

6

Wи

Т

2,56 103

13,04МПа.

m ax

W

196,26 10 6

2

4

2 .

У

Участок АВ:

Т

0,

2

48,9МПа 210МПа.

Участок ВС:

Н

2

2

93,352

4 13,042

4

96,92МПа 210МПа.

Участок СD:

N

M и

0,764 135,14 135,9МПа,

A

Wи

й

Б

2

2

2

2

4

135,9

и

4 13,04

138,38МПа 210МПа.

Прочность стержней системы на всех участках обеспечена.

р

о

т

и

з

о

п

е

Р

продольной упругости Е=200ГПа.

Требуется:

Т

1) подобрать размеры поперечного сечения стержня из условия

устойчивости;

Н

2) определить значение коэффициента запаса устойчивостиУ.

й

F=210кН;

и

Б l=1,7 м;

µ=1.

р

о

т

и

з

о

Рис.7.1. Схема стержня и его поперечное сечение.

Решение.

п

Размеры

перечного сечения определим исходя из условий

устойчивости:

Р

F

где

A

R,

- коэффициент снижения расчетного сопротивления ма-

териала при продольном изгибе.

В расчетной формуле имеются две неизвестные величины – ко-

эффициент

и искомая площадь А. Поэтому при подборе сече-

Imin

вh3

a4

3a 2a 3

a

4

1,95a4 ;

12

64

12

64

тогда площадь поперечного сечения:

а2

Т

А

3а 2а

4

5,21а2

;

У

imin

I

min

1,95a4

0,61a.

A

5,21a2

Приближение 1. В первом приближении коэффициент изгиба

принимают

1

0,5

тогда

Н

А

F

210 103

2,1 10 3 м2 ;

Б

1

R

0,5 200 106

й2,01см;

1

р

а

0,44

2,1 10 3 0,0201м

1

и0,0123м.

imin1

0,61a

0,61 0,0201

стержня

Расчетная гибкость

:

l

1 1,7

1

и

138,21;

imin

0,0123о

1

з

По таблице (Пр ложен е 5) определяем значение коэффициента

'

о

138,21

соответствующего гибкости

1

:

1

130

0,425,

е

140

0,376.

Пут м линейной интерполяции получим:

п'

0,425 0,376

1

0,425

8,21

0,385.

10

Проверим выполнение условия устойчивости в первом прибли-

жении:

Р

F

210 103

100 106 Па

100МПа ,

1

A1

2,1 10 3

1'

R

0,385 200

77МПа .

Перенапряжение составляет

100

77

100

29,8% , что недо-

77

пустимо. Необходимо уточнение размеров.

Приближение 2. За новое значение коэффициента 2 прини-

маем среднее арифметическое первых двух:

У

'

0,5

0,385

Т

2

1

1

0,443,

2

2