Задачи с решениями по сопромату

Рис. 2.1. Схема сечения.

У

Решение.

Н

Предварительно

рассчитаем

и

выпишем из сортамента

(Приложение 1) геометрические характеристики профилейТ, состав-

ляющих сечение.

Б

Геометрические характеристики листа (фигура 1):

A

22 2

44 см2,

й

1

3

22 2

3

I x

bh

14,67см4 ,

12

12

1

р4

3

2

3

I y

hb

2 22

1774,67см4.

4

1

12

12

о

и

Геометрические характе истики уголка (фигура 2):

A2

16см

,

т

48,8см

,

Imin

и

2

I x

2

83см

,

yc

2

1,84см,

I

y

256см4 ,

x

4,05см.

c

2

2

Уг л к в с ставном сечении повернут на 90

о

, поэтому момен-

Опрделим

положение центра тяжести сечения, предвари-

ты инерции иззс ртамента меняются местами.

Геометрические характеристики двутавра (фигура 3):

е

о

2

,

I x

1290см

4

,

I y

4

.

A3

23,4см

82,6см

Р

2

2

У

Т

Н

Б

й

и

р

о

т

и

з

Рис. 2.2. Схема составного сечения с положением главных

центральных осей (размеры даны в см).

yc

Sx

44 0

16 2,84

23,4 10

188,56

2,26см,

оA

е

44 16 23,4

83,4

Р

i

пS y

44 0

16 2,55

23,4 6,5

111,3

xc

1,33см.

Ai

44 16

23,4

83,4

b1

1,33см,

b2

2,55

1,33

3,88см,

b3

6,5 1,33

5,17см.

Определим осевые моменты инерции составного сечения от-

носительно центральных осей:

I x

I x

A1

a12

I x

A2

a22

I x

A3 a32

14,67 44 2,262

83

c

1

2

3

16 0,582

1290

23,4 (

12,26)2

5134,97см4 ,

I

y

I

y

A

b2

I

y

A

b2

I

y

A

b2

1774,67 44 1,332

c

1

1

2

2

2

3

3

У

1

3

256

16 3,882

82,6

23,4 (

5,17)2

3057,43см4 .

Т

уголка:

Н

I x y

(I x

Imin

2

)(I y

Imin

)

2

2

2

2

2

Б

(83

48,8)(256

48,8)

84,18см4.

Перед корнем принят знак «минус», т.к. ось Imin уголка повернута по

отношению к оси y

2

против часовой

.

й

Центробежный момент ине ц

всего сечения:

Ix y

Ix y

A1

a1b1

Ix y

A2

стрелки

A3

a3b3

a2b2

Ix y

с с

1

1

2

2

3

3

0 44 2,26 1,33

84,18

16 0,58р3,88

0

23,4 (

12,26) (

5,17)

1495,26см4.

о

I x y

0,

I x y

0, .к. фигуры имеют оси симметрии.

1

1

3

3

т

Определим положен е главных центральных осей сечения:

2I x

y

и

tg2

c

c

2 1495,26

1,439,

I x

з

5134,97

3057,43

c

I y

c

о

o

o

55 12',

27 42'.

2

Угол

откладывает

от

оси

x

по

ходу

часовой

стрелки

п

c

(рис.2.2).

е

Определим значение главной центральных осей составного се-

чения:

Р

I

I xc

I xc

(I

I

)

2

4I

2

max

x

y

x

y

c

2

c

c

c

5134,97

3057,43

(5134,97

3057,43)2

4 1495,262

2

4096,2

3641,34.

Imax

4096,2

3641,34

7737,54см4 ,

Imin

4096,2

3641,34

454,86см4.

У

Проверим правильность вычисления: Ix

I y

Imax

Imin

,

c

c

Т

5134,97+3057,43=7737,54+454,86.

Н

3.КРУЧЕНИЕ.

Задача 3.1.

Б

Стальной вал круглого поперечного сечения нагружен скручи-

вающими моментами. Расчётное сопротивление материала вала на

й

сдвиг Rc=130 МПа, а модуль сдвига G=80 ГПа.

Требуется:

и

1)

подобрать диаметр вала;

2)

построить эпюру крутящ х моментов и напряжений;

р

3)

построить эпюру углов зак уч ван я;

о

4) построить эпюру относительных углов закручивания.

т

и

з

е

о

Рис. 3.1 Схема вала.

а=1м, в=0,8м,

с=1,2м,

Р

Т

12кН м,

Т

2

21кН м,

Т

3

8кН м;

п1

Т4

16кН м,

2 .

У

Т

Н

Б

й

и

р

о

т

и

з

о

Рис 3.2.Э юры крутящих моментов, касательных напряжений, уг-

е

лов закручивания и относительных углов закручивания.

Р

Построимпэпюру крутящих моментов.

Участок АВ:

Т AB

12кН м.

Участок ВС:

Т BC

12 21 9кН м.

Участок СD:

ТCD

9

8

1кН м.

Участок DE:

Т DE

1

16

17кН м.

Тmax

17кН м.

Определим диаметр вала из условия прочности.

Т

max

Т max

16Т max

Rc ;

У

W

d 3

Н

W

d

3

Б

где

16 ;

16 Tmax

3

d

3

16 17 10

й

3

Rc

3,14 130 106

0,0873м.

и

р

Определим диаметры вала из услов я жесткости.

Т max

,

где I

d 4

,

G I

32

2

0,0548

рад.

180

и

о

32 Т max

,

т

о

G d

4

d 4

32 Т maxз

32 17 103

0,0792м.

4

G

80 109 3,14 0,0548

е

Из двух значений диаметров выбираем большее, округлив до

Р

пd

3 3,14 0.093

143.07 10 6

м3 .

0,09м: W

16

16

Участок АВ.

Т AB

12 103

6

АВ

83,88 10

Па=83,88МПа.

W

143,07 10 6

Участок ВС:

Т BC

9 103

6

У

ВС

62,91 10

Па=-62,91МПа.

W

143,07 10 6