Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Начертательная геометрия

.pdf
Скачиваний:
55
Добавлен:
26.03.2016
Размер:
10.1 Mб
Скачать

Проведение плоскости

 

частного

 

положения

через

прямую общего положения ( заключение прямой линии

в плоскость частного положения)

 

 

 

 

 

 

 

 

Очень часто для решения различных задач требуется провести через

прямую общего положения плоскость частного положения. Это графическое

действие называется «заключить» прямую в плоскость частного положе-

ния (проецирующую или уровня). На рис. 3.12, а, б показано графическое

оформление этого действия.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D" У

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

βV

 

 

 

 

 

 

 

βV

 

 

 

 

 

δ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B"

 

 

 

 

 

B"

 

Знак

 

 

 

Т

 

B β

 

 

 

 

 

включения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C"

 

 

 

 

 

A"

 

 

AB β

 

 

 

A"

 

 

 

x

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B'

 

 

 

 

 

 

A

B'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Н CD δ

 

 

 

 

 

 

β

 

Б

 

 

 

 

H

A'

 

 

 

A'

 

 

 

 

 

D'

δH

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

й

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

б

 

 

в

 

 

 

 

 

 

 

Р с. 3.12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

На рис. 3.12, а прямая бщего п л жения АВ(A"B", A'B') заключена во

 

 

 

 

р

Это означает, что прямая теперь

фронтально-проецирующую пл ск сть β.

лежит в этой плоскости ,

 

 

ельно, фронтальный след плоскости β(βV)

 

 

следова

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

совпадает с фронтальной проекцией АВ(А"В") прямой; графически это дей-

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ствие оформляется продолжением фронтальной проекции прямой с обозна-

чением следа надп сью βV (р с. 3.12, б).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!!! Г риз нтальная проекция плоскости β не оформляется на чертеже, но

подразумеваетсяз(п казана ограниченным тонкой волнистой линией отсеком

произвольн й ф рмы, так как плоскость в пространстве не имеет границ).

На рисо. 3.12, в прямая общего положения CD(C"D", C'D') заключена

в горизонтально-проецирующую плоскость δ и это действие оформлено обо-

п

 

на продолжении горизонтальной проекции

знач ни м следа надписью δh

заданной прямой (рассуждения аналогичны).

 

 

 

 

 

 

 

 

е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Структуризация материала третьей лекции в рассмотренном объеме

схематически представлена на рис. 3.13 (лист 1). На последующих листах

Р2 и 3 компактно приведены иллюстрации к этой схеме для визуального

закрепления

основной части

 

изученного

материала

 

при

повторении

(рис. 3.14 и 3.15).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

40

Проекции плоскости. Задание плоскости на чертеже. Следы плоскости.

 

 

Положение плоскости относительно плоскостей проекций

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

 

 

Ðèñ. 3.14, à

 

 

 

Ðèñ. 3.14, â, ã, ä

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ðèñ. 3.15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Н

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Б

 

 

 

 

Ðèñ. 3.14, á

 

 

 

 

 

й

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ðèñ. 3.14, â

 

 

Ðèñ. 3.15, à

 

 

 

Ðèñ. 3.14, á

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

Ðèñ. 3.15, á

 

 

 

 

 

 

Ðèñ. 3.14, ã

 

 

 

 

 

 

Ðèñ. 3.14, â, ã, ä

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

з

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ðèñ. 3.15, â

 

 

 

 

 

 

Ðèñ. 3.14, ä

 

 

 

 

Р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3.13

 

 

 

Ëèñò 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

41

 

 

1. Плоскость общего положения. Задание плоскости на чертеже.

 

 

 

Прямой и точкой

 

 

 

Пересекающимися прямыми

 

Паралельными прямыми

Замкнутым отсеком

 

 

 

 

 

 

m'

 

 

 

 

A"

m''

 

n''

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s''

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t''

 

 

 

 

 

 

 

C"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n'

 

 

 

 

 

s'

 

 

 

 

A'

 

 

 

C'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m'

 

 

 

 

 

 

 

Рис.à3.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(m;A)

 

 

 

 

 

(mnn)

 

 

 

 

 

 

 

 

(s//t)

 

 

 

(ABC)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПлоскостиПлоскостичастногочастногоположенияположения- проецирующие

 

 

Характерные линии плоскости

2. Горизонтально-проецирующая плоскость:

H

yС

У

 

 

 

 

 

 

m''

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f"

B" искаж-я

yВ

B'''

 

 

 

 

 

 

D'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f''

2"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

A"

 

 

велич.

 

 

искаж-я

 

 

 

C"

A"

 

 

1"

 

h"//x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h" A'''

 

велич.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

горизонталь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

Т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3"

 

E"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f H

 

 

 

C"'

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

НyB С

 

 

 

 

C'

 

 

 

3'

 

 

 

 

 

 

A'

 

B'

 

 

C'

 

A'

f'

B'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f'//x

 

 

 

 

 

E'

горизонтальный

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

фронталь 2'

 

A'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C'

 

 

 

 

 

 

1'

 

h'

 

след плоскости

 

h

 

 

 

( ABC) H

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(линия пересечения

 

 

 

 

 

 

v

 

 

m-линия

 

 

 

D'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Б

 

=h'

 

 

 

m'

 

 

 

 

 

с плоскостью

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.â 3.3

 

 

 

 

 

наибольшего

 

m'

h'

 

 

 

проекций H)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ската

Рис.á3.2

 

 

3.Фронтально-проецирующая плоскость:

TV

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

й

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф онтальный след

 

 

 

v=f"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

пе есечения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

линия

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

с плоскостью

 

 

 

 

 

 

 

n'''

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

екции V)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

пр

 

 

 

"

 

 

 

m'''

 

 

искаж-я

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

велич.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

=

 

h''

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m"=n"

 

 

 

h 1''

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

h V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(m//h) V

 

и y

искаж-я

 

 

 

 

 

 

 

m'

 

 

 

(m//n) V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

велич.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

з

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f'

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. ã3.4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h'

n'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.Профильно-проецирующая плоскость: TW

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

 

C''

 

 

 

v

 

C'''

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C'''

 

 

 

 

 

D"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

искаж-е

 

 

 

 

 

D'''

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

велич.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е

 

 

 

 

 

 

 

D

D'''

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yE

E'''

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E'''

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

C'

 

 

 

 

 

 

h

 

Профильный

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( CDE) W

 

 

 

 

 

yE

 

 

 

 

 

 

 

 

W

 

след

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Профильный

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W

 

 

 

E'

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

след

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ä

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3.14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ëèñò 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

42

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Плоскости частного положения - уровня

 

 

 

 

 

 

5.

Горизонтальная плоскость уровня: //H( T V u

T W)

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

A"

 

B"

С" A'''

(C''')

 

 

У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B"

 

 

 

x

 

 

 

//H

 

x

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А'

 

 

С'

Натуральная

 

 

 

 

//H

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

величина

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B'

 

(ABC)//H

Т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3.6

à

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Н

 

 

 

 

6.

Фронтальная плоскость уровня:

//V( TH u

TW)

 

 

 

 

 

 

 

//V

 

 

 

 

 

 

 

Б

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Натуральная

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вел ч на

 

 

 

E'''

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

й

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D"

 

 

F"

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

и

 

 

0

D'''

(F''')

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р

v

D'

E'

 

F'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

v(DEF)//V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ртс. 3.7

á

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

 

 

плоскость уровня:

//W( TH u

TV)

 

 

 

 

 

 

 

Профильная

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

//W

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Натуральная

 

 

 

 

з

 

 

 

 

B''=(A'') z

 

 

 

величина

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B'''

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A'''

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С'''

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

C''=(D''')

D'''

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е

 

 

 

 

 

 

 

D'

(F')

 

 

 

 

 

 

 

 

Р

//W

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

B'

 

(C')

 

y

 

 

 

(ABCD)//W

 

 

 

 

 

 

 

 

 

â

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3.15

 

 

 

 

 

 

Ëèñò 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

43

Лекция 4

ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ, ПРЯМОЙ ЛИНИИ И ПЛОСКОСТИ

Плоскости в пространстве могут быть параллельными или пересекающимися.

Плоскости параллельные Из геометрии известно: если две пересекающиеся прямые одной плос-

кости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой

плоскости, то эти плоскости параллельны. Следовательно, на чертеже у па-

раллельных плоскостей должны быть соответственно параллельны

одноименные

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

проекции двух пересекающихся прямых, лежащих

в каждой из плоскостей. Этот признак параллельных плоскостей использу-

ется для определения на чертеже параллельности

Т

двух заданных плоско-

стей и построения параллельных плоскостей.

 

 

 

 

 

На рис. 4.1 показано построение плоскости β, проведеннойНчерез за-

данную точку А(A"'A'), параллельно заданной плоскости α(m//n).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для

 

 

 

задачиБследует выполнить

 

h" 1"

2"

 

 

 

 

b"

 

следующ е граф ческие действия:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1-е действ е. В заданной плоскости α, по-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m"

 

 

 

 

 

 

 

β

 

 

 

 

 

 

й

 

 

n"

 

 

 

A"

d"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

строить вспомогательную прямую, например,

 

 

 

n'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h(h"h'), то есть создать в плоско-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

решения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сти пе есекающиеся прямые.

 

 

m'

2'

 

 

 

 

b'

 

 

2-е действие. Через заданную точку А(A"'A')

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р

 

 

 

 

h'

 

1'

A'

 

 

 

β

 

пр вести две пересекающиеся прямые b и d,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

параллельные двум пересекающимся прямым

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d'

 

горизонталь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m и h заданной плоскости α:

 

 

α(m // n); β(a b) // α

т

– прямую

b(b",b')

параллельно прямой

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.1

 

 

 

m(m"m') (или n(n"n');

 

 

 

 

и

– прямую d(d",d') параллельно вспомога-

 

 

 

 

 

 

 

з

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тельной прямой h(h"h').

 

 

 

 

Постр енная пл скость β(b d) будет параллельна заданной плоско-

сти α(m//n)о, так как две пресекающиеся прямые m и h плоскости α соот-

в тств нно

араллельны двум пересекающимся прямым b и d построенной

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

плоскости β.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

еПараллельность прямой и плоскости

Р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из геометрии известно: прямая параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, на чертеже (рис. 4.1) прямая, например, b параллельна плоскости α(m//n), так как проекции прямой b проведены параллельно одноименным проекциям прямой m(m",m'), лежащей в этой плоскости.

44

 

П л о с к о с т и пересекающиеся

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Общим элементом пересечения двух плоскостей является прямая ли-

ния, принадлежащая обеим плоскостям.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Плоскости, как известно, могут занимать частные и общее положения

относительно плоскостей проекций, и поэтому при пересечении двух плос-

костей возможны три случая:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1-й случай – обе плоскости занимают частное положение относитель-

но плоскостей проекций. В этом случае искомой линией пересечения явля-

ется проецирующая прямая, проекция которой, вырожденная в точку, ле-

жит на пересечении вырожденных в прямые проекциях плоскостей.

 

На рис. 4.2 изобра-

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

αУV

жены две

пересекаю-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

βV

 

щиеся фронтально-про-

 

V

 

 

 

αH

 

 

 

 

 

 

 

m"

 

ецирующие

плоскости

 

 

βV

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

 

 

m"

 

 

 

 

 

 

 

α и β, элементом пере-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сечения которых являет-

 

 

 

 

 

 

 

α

 

 

x

 

 

 

 

ся фронтально-проеци- x

 

 

 

 

β

m

 

 

 

Н

 

рующая прямая m (со-

 

 

 

 

 

 

 

 

Б

 

β

 

α

ответственно,

горизон-

 

 

 

 

H

 

 

 

 

m'

тально-проецирующие

 

 

 

 

 

й

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α V; β V

плоскости пересекаются

 

 

 

 

 

 

 

 

по горизонтально-про-

 

 

 

 

 

 

 

α(αV) β(βV) → m V

 

 

 

 

 

иа

 

 

ецирующей

 

прямой).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б

 

Фронтальная

m(m") и

 

 

 

р

 

 

Рис. 4.2

 

 

 

 

вырожденная

в точку

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

проекция линии пересечения лежит на пересечении фронтальных, вырож-

денных в прямые, проекц яхо(следах) плоскостей, а горизонтальная m(m')

проекция линии пересечен я – прямая, перпендикулярная оси x.

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2-й случай – только одна из плос-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

костей занимает частное положение от-

 

 

 

 

B"

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

M"

 

 

 

M"N"

носительно

 

зск стей проекций. В этом

 

 

A"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

построена

случае одна из

р екций искомой линии

 

 

 

 

N"

 

 

 

 

пересечения с впадает с вырожденной

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C"

 

про кци й

лоскости частного положе-

 

 

 

 

 

 

 

 

ния, аплдругую проекцию линии пересе-

 

 

A'

 

 

 

αH

 

α H

ч ния тр буется построить.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На рис. 4.3 изображены две пере-

 

 

 

 

 

 

 

C'

 

е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M'

 

 

 

 

секающиеся плоскости, из которых плос-

 

 

 

 

 

 

 

кость α, заданная своим горизонталь-

 

 

M'N'

 

 

 

 

Плоскость

Р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

совпадает

 

 

общего положения

ным следом αh, является горизонтально-

 

со следом

B'

проецирующей, а другая плоскость, за-

 

 

 

 

плоскости α(αH)

 

 

 

 

 

данная треугольником ABC, – плоскость

Рис. 4.3

 

 

общего положения. Горизонтальная про-

 

 

 

 

 

 

екция MN(M'N') искомой линии пересе-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

45

чения плоскостей в этом случае совпадает со следом αh плоскости α, а фронтальная проекция M"N" линии пересечения построена по принадлежности точек M и N сторонам треугольника ABC.

3-й случай – пересечение двух плоскостей общего положения, проекции которых в пределах чертежа накладываются, рассмотрим ниже.

!!! Если пересекаются три плоскости, то элементом их пересечения

является точка!

У

П е р е с е ч е н и е п р я м о й с п л о с к о с т ь ю

 

Общим элементом пересечения прямой с плоскостью является точка,

 

Т

принадлежащая и прямой и плоскости. Поскольку и прямая и плоскость могут занимать различные положения относительно плоскостей проекций, то при их пересечении также возможны три случая:

1-й случай – и прямая и плоскость занимают частное положение относительно плоскостей проекций. В этом случае проекцииБискомой точки

пересечения определяются на характерных (вырожденных) проекциях пря-

мой и плоскости.

Н

 

й

На рис. 4.4, а изображена горизонтальная плоскость уровня α(m//n),

пересекающаяся с горизонтально-проецирующей прямой k(k"k'). Фронтальная проекция O(О") точки их пересечения совпадает с фронтальным сле-

дом плоскости αV, а горизонтальная проекц

я O(O') точки их пересечения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m"

 

 

 

 

 

 

совпадает с вырожденной в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B"

 

 

точку

горизонтальной k(k')

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1"

 

иk" ≡ O" проекцией прямой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n"

≡ m"

 

 

 

 

 

 

αV

 

A"

 

 

 

р

 

2-й случай – только один

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O" α(m // n) V

 

 

 

 

элемент (или прямая или

 

 

 

 

о

 

C"

 

 

 

 

 

k(k"k') H

 

 

плоскость)

занимает частное

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m'

 

 

 

 

 

 

 

положение

относительно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

k' k V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

плоскостей проекций. В этом

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k'≡O'

 

 

 

 

A'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

C'

случае одна из проекций точ-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n'

 

 

 

 

 

 

 

O'

 

 

ки

пересечения

совпадает

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

з

m'

1'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с

характерной

(вырожден-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ной)

проекцией

элемента

 

α(m // n) ∩ K → O

 

α(ABC) ∩ k → O

 

 

 

 

частного положения, а дру-

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

б

 

 

 

 

гую проекцию точки пересе-

 

п

 

 

Рис. 4.4

 

 

 

 

 

 

 

чения требуется построить.

 

На рис. 4.4, б изображены пересекающиеся фронтально-проецирую-

е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

щая прямая k(k",k') и плоскость общего положения, заданная треугольни-

ком АВС. В этом случае фронтальная проекция точки пересечения O(O")

Рсовпадает с вырожденной в точку проекцией прямой, а горизонтальная

проекция O(O') точки пересечения построена по принадлежности точки О

плоскости АВС с помощью вспомогательной прямой m.

3-й случай – оба пересекающихся элемента занимают общее положение относительно плоскостей проекций, то есть пересекается плоскость

46

общего положения с прямой общего положения. В этом самом сложном для решения случае для построения точки пересечения элементов следует

применить

вспомогательные построе-

 

 

β H

 

 

 

 

 

 

Линия

ния, чтобы привести условие

 

задачи

 

 

 

 

 

 

β

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

пересечения

к более легкому для решения 2-му слу-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

чаю (см. рис. 4.4), то есть прямую об-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

щего положения

заменить элементом

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

частного положения, «заключив» эту

 

 

 

 

α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

прямую в плоскость частного положе-

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ния (см. рис. 3.12 б, в).

 

 

 

 

 

A'

 

 

 

 

1

 

B'

O'

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На рис. 4.5 показана наглядная кар-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1'

 

 

 

 

 

 

 

2'

 

 

 

 

H

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тина этого действия. Прямая общего по-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k'

 

C'

У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ложения k пересекается с плоскостью

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

общего положения α(ABC). Для решения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

задачи

через прямую проведена

неко-

 

 

 

 

 

 

 

 

Вспомогательная плоскость

 

 

 

 

1. k β( H)

 

 

 

 

 

 

торая вспомогательная плоскость β, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. α(∆ABC) ∩ β →1 – 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

есть прямая «заключена» в плоскость β.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Н

 

 

 

 

 

 

3. k ∩ 1 – 2 → O

 

 

 

 

Определяется вспомогательная ли-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.5

 

 

 

 

ния 1-2 пересечения двух плоскостей –

 

 

 

 

 

 

Б

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

заданной и вспомогательной. Искомая точка О лежит на пересечении за-

данной прямой k и вспомогательной л н

 

пересечения 1-2.

 

 

 

 

На рис. 4.6 показано пост оен е

 

й

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

D"

 

 

 

 

 

 

1" – 2" линия

на ч е р т е ж е

 

 

 

 

 

 

 

k"

 

 

точки пересеченияи

 

 

 

 

 

 

 

пересечения

O(O",O') плоскости общего п

жения,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4"≡5"

 

 

(фронтальная

заданной треугольником CDE,

c

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

проекция)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пря

 

 

 

1" O"

 

 

 

 

 

 

 

 

мой общего положения k(k",k'). Для ре-

C"

 

 

 

 

Построена

 

 

шения задачи в этом случае

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

выполня

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E"

 

 

 

 

ется следующий граф ческ й алгоритм

 

 

 

 

3"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. k α(αh)

(графические действ я):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k'

1-е действие.

Заключить прямую k

 

 

 

 

D'

 

2. (1 – 2) →α∩CDE

 

 

 

 

5'

2'

 

3. O → (1 – 2) ∩ k

во вспом гательную, например гори-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

зонтально-

 

з

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4'

 

 

 

 

 

 

 

 

р ецирующую плоскость α,

 

 

 

 

O'

 

 

 

E'

 

 

 

 

задав

ее

 

г риз нтальным

следом

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1' – 2' линия

αH(k α(αH)).

 

 

 

 

 

 

 

C'

1' ≡ 3'

 

 

 

 

 

 

пересечения

2-

д йствие. Построить проекции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(горизонтальная

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

вспомогат льной

линии пересечения αH

 

 

 

 

 

 

 

проекция)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1-2(1"-2",1'-2') заданной плоскости

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.6

 

 

CDE со вспомогательной плоскостью

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рα(α∩β(∆CDE)):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1'-2' совпадает со следом вспомогательной плоскости α(αH);

 

 

1"-2" строится по принадлежности точек 1 и 2 сторонам CE и DE

плоскости β(∆CDE).

3-е действие. Определить проекции искомой точки пересечения O(O",O') заданных элементов:

47

– фронтальная проекция O" определяется на пересечении фронталь-

ной проекции заданной прямой k(k") и построенной фронтальной проекции

1"-2" вспомогательной линии пересечения ((1"-2")∩ k");

 

 

 

– горизонтальная проекция O' определяется на горизонтальной проек-

ции k(k') заданной прямой по линии связи (O' k').

 

 

 

4-е действие. Определить на проекциях относительную видимость пря-

мой и плоскости по конкурирующим точкам 1-3 и 4-5.

 

 

 

На рис. 4.6 показано определение относительной видимости заданной

прямой k и плоскости CDE с помощью конкурирующих точек, лежащих на

скрещивающихся прямых. На горизонтальную проекцию наблюдатель смот-

рит сверху вниз по стрелке H. Чтобы определить, какой из элементов –

прямая или плоскость – находится ближе к наблюдателю, рассмотримУпро-

екции конкурирующих точек 1 и 3, лежащих на одном проецирующем луче,

но на скрещивающихся прямых – точка 1 лежит на прямой СЕТ, а точка 3

лежит на прямой k. Видно, что ближе к наблюдателю находится точка 1 на

прямой СЕ, а точка 3 на прямой k расположена ниже. Это значит, что на

горизонтальной проекции прямая k(k') вниз

от

точки

Н

 

пересечения (О')

«уходит» плоскость CDE.

 

 

 

 

 

Б

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогичными рассуждениями, рассмотрев конкурирующие точки 4

и 5 по стрелке V, определяем относ тельную в димость прямой и плоско-

сти на фронтальной проекции

 

– прямая k(k") находится над плос-

костью CDE вверх от точки О(О").

 

й

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П е р е с е ч е н и е д в у х п л с к о с т е й о б щ е г о п о л о -

ж е н и я (3-й случай)

 

 

чертежа

 

 

 

 

 

 

При задании пересекающихся пл скостей на чертеже возможны два

варианта:

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) проекции плоскос ей в пределах чертежа не накладываются;

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

б) проекции плоскостей накладываются.

 

 

 

 

 

Для каждого вар анта есть разные рациональные способы построения

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

линии пересечения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для вариантаз«а» рацио-

 

5"

 

 

 

 

m"

n"

нально ис

 

льз вать две про-

 

 

 

 

 

M"

6"

 

 

 

 

 

 

γV2

извольные

 

част-

1"

 

2"

N"

 

 

лоскости

 

 

 

 

 

 

 

ного положения.

 

 

k"

 

l"

 

 

3"

4"E

γV1

На рис. 4.7 показан при-

 

 

 

 

 

 

 

 

м р построения линии пере-

 

 

 

 

 

 

 

 

сеченияплоскостей общего

 

 

l'

N'

M'

 

 

положения – α(k∩l) и β(m//n),

k'

2'

 

 

 

m'

 

 

 

 

 

 

Рпроекции которых на черте-

1'

 

 

 

 

 

6'

n'

же не накладываются.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3'

Линия

пересечения

за-

 

5'

 

 

 

 

 

данных плоскостей построе-

 

 

 

 

 

4'

 

 

 

 

 

Рис. 4.7

 

 

на по точкам N и M пересе-

 

 

 

 

 

 

 

48

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

чения между собой вспомогательных линий пересечения этих плоскостей произвольными вспомогательными фронтально-проецирующими плоскостями γ1 и γ2 в соответствии со следующим г р а ф и ч е с к и м а л г о - р и т м о м :

I. Построить точку N(N",N') пересечения заданных плоскостей α(k∩l) и β(m//n) вспомогательной горизонтальной плоскостью уровня γ1:

1-е действие. Пересечь плоскости α(k∩l) и β(m//n) вспомогательной фронтально-проецирующей плоскостью уровня γ1, обозначив ее фронтальный след γV1.

2-е действие. Построить проекции 1-2(1"-2", 1'-2') и 3-4(3"-4", 3'-4')

вспомогательных линий пересечения заданных плоскостей α(kl) и β(m//n)

вспомогательной плоскостью γ1(γV1).

 

У

3-е действие. Определить проекции точки N(N",N') пересечения меж-

ду собой вспомогательных линий 1-2(1"-2", 1'-2') и 3-4(3"-4", 3'Т-4').

II. Построить точку M(M",M') пересечения заданных плоскостей α(kl)

и β(m//n) вспомогательной фронтально-проецирующей плоскостью γ2(γV2),

 

Н

 

повторив графические действия 1, 2 и 3, и соединить прямой линией постро-

енные точки N и M. Если при этом плоскость γ2(γV2) задавать параллельно

ранее заданной плоскости γ1(γV1), то

Б

 

можно упростить и исполь-

зовать не четыре, а только две точки 5

6, так как пересечение парал-

лельными плоскостями будет давать параллельные вспомогательные линии.

 

 

 

 

 

 

й

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим наиболее часто вст ечающ йся в различных задачах вари-

ант «б» – проекции плоскостей накладываются.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

построения

 

 

 

 

 

H

Построение проекций линии пе

сводит-

 

 

 

 

 

ся здесь к построению

очек пересечения двух

 

 

 

γV

 

δV

любых прямых одной плоск с и с другой плос-

 

 

m"

 

 

 

костью, то есть к выполнен ою дважды графиче-

 

 

B"

n"

 

 

 

 

 

 

ского алгоритма построен я точки пересечения

 

 

2"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

6"

прямой общего положен я с плоскостью общего

 

K"

 

 

 

положения, и ложенного выше (см. рис. 4.6).

A"

 

 

4"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

M"

 

 

На рис. 4.8 п ка ан пример построения ли-

1"≡5"

 

 

 

 

 

 

з

 

 

 

 

 

3"

 

 

нии ересечения пл скостей общего положения –

 

 

 

7"

C"

α(ABC) и β(m//n), проекции которых на черте-

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

накладываются.

 

 

 

 

 

 

B'

 

 

Линия пересечения построена по точкам K

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

2'

 

 

 

 

и M п р с чения прямых m и n, которыми зада-

 

 

 

 

 

на плоскость β(m//n), с плоскостью α( ABC), то

5'

 

K'

 

4'

 

же

 

 

 

 

 

A'

 

 

M'

есть дважды выполнен вышеприведенный гра-

 

 

 

 

 

 

фический алгоритм.

 

1'

 

 

 

 

 

Р

 

 

точку

K(K",K')

пересечения

 

 

 

3'

 

 

I. Построить

 

 

 

 

C'

прямой m с плоскостью α(∆ABC):

 

 

 

 

 

6' 7'

 

V

 

 

m'

n'

1-е действие. «Заключить» прямую m во

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вспомогательную

 

фронтально-проецирующую

 

 

Рис. 4.8

 

 

плоскость γ и обозначить ее фронтальный след γV.

 

 

 

 

 

 

 

49

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.