Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Начертательная геометрия

.pdf

Скачиваний:

107

Добавлен:

26.03.2016

Размер:

10.1 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 235 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Проведение плоскости

частного

положения

через

прямую общего положения ( заключение прямой линии

в плоскость частного положения)

Очень часто для решения различных задач требуется провести через

прямую общего положения плоскость частного положения. Это графическое

действие называется «заключить» прямую в плоскость частного положе-

ния (проецирующую или уровня). На рис. 3.12, а, б показано графическое

оформление этого действия.

D" У

βV

Знак

B β

включения

AB β

Н CD δ

δH

Р с. 3.12

На рис. 3.12, а прямая бщего п л жения АВ(A"B", A'B') заключена во

Это означает, что прямая теперь

фронтально-проецирующую пл ск сть β.

лежит в этой плоскости ,

ельно, фронтальный след плоскости β(βV)

следова

совпадает с фронтальной проекцией АВ(А"В") прямой; графически это дей-

ствие оформляется продолжением фронтальной проекции прямой с обозна-

чением следа надп сью βV (р с. 3.12, б).

!!! Г риз нтальная проекция плоскости β не оформляется на чертеже, но

подразумеваетсяз(п казана ограниченным тонкой волнистой линией отсеком

произвольн й ф рмы, так как плоскость в пространстве не имеет границ).

На рисо. 3.12, в прямая общего положения CD(C"D", C'D') заключена

в горизонтально-проецирующую плоскость δ и это действие оформлено обо-

на продолжении горизонтальной проекции

знач ни м следа надписью δh

заданной прямой (рассуждения аналогичны).

Структуризация материала третьей лекции в рассмотренном объеме

схематически представлена на рис. 3.13 (лист 1). На последующих листах

Р2 и 3 компактно приведены иллюстрации к этой схеме для визуального

закрепления

основной части

изученного

материала

при

повторении

(рис. 3.14 и 3.15).

Проекции плоскости. Задание плоскости на чертеже. Следы плоскости.

Положение плоскости относительно плоскостей проекций

Ðèñ. 3.14, à

Ðèñ. 3.14, â, ã, ä

Ðèñ. 3.15

Ðèñ. 3.14, á

Ðèñ. 3.14, â

Ðèñ. 3.15, à

Ðèñ. 3.14, á

Ðèñ. 3.15, á

Ðèñ. 3.14, ã

Ðèñ. 3.14, â, ã, ä

Ðèñ. 3.15, â

Ðèñ. 3.14, ä

Рис. 3.13

Ëèñò 1

1. Плоскость общего положения. Задание плоскости на чертеже.

Прямой и точкой

Пересекающимися прямыми

Паралельными прямыми

Замкнутым отсеком

m''

n''

s''

t''

Рис.à3.1

(m;A)

(mnn)

(s//t)

(∆ABC)

ПлоскостиПлоскостичастногочастногоположенияположения- проецирующие

Характерные линии плоскости

2. Горизонтально-проецирующая плоскость:

yС

m''

B" искаж-я

yВ

B'''

f''

велич.

искаж-я

h"//x

h" A'''

велич.

горизонталь

f H

C"'

НyB С

f'//x

горизонтальный

фронталь 2'

след плоскости

( ABC) H

(линия пересечения

m-линия

=h'

с плоскостью

Рис.â 3.3

наибольшего

проекций H)

ската

Рис.á3.2

3.Фронтально-проецирующая плоскость:

Ф онтальный след

v=f"

(

пе есечения

линия

с плоскостью

n'''

екции V)

пр

m'''

искаж-я

велич.

h''

m"=n"

h 1''

h V

(m//h) V

и y

искаж-я

(m//n) V

велич.

Рис. ã3.4

4.Профильно-проецирующая плоскость: TW

C''

C'''

искаж-е

D'''

велич.

D'''

E'''

Профильный

( CDE) W

след

Профильный

след

Рис. 3.14

Ëèñò 2

Плоскости частного положения - уровня

Горизонтальная плоскость уровня: //H( T V u

T W)

С" A'''

(C''')

//H

А'

С'

Натуральная

//H

величина

(ABC)//H

Рис. 3.6

Фронтальная плоскость уровня:

//V( TH u

TW)

//V

Натуральная

вел ч на

E'''

D'''

(F''')

v(DEF)//V

Ртс. 3.7

плоскость уровня:

//W( TH u

TV)

Профильная

//W

Натуральная

B''=(A'') z

величина

B'''

A'''

С'''

C''=(D''')

D'''

(F')

//W

(C')

(ABCD)//W

Рис. 3.15

Ëèñò 3

Лекция 4

ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ, ПРЯМОЙ ЛИНИИ И ПЛОСКОСТИ

Плоскости в пространстве могут быть параллельными или пересекающимися.

Плоскости параллельные Из геометрии известно: если две пересекающиеся прямые одной плос-

кости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой

плоскости, то эти плоскости параллельны. Следовательно, на чертеже у па-

раллельных плоскостей должны быть соответственно параллельны

одноименные

проекции двух пересекающихся прямых, лежащих

в каждой из плоскостей. Этот признак параллельных плоскостей использу-

ется для определения на чертеже параллельности

двух заданных плоско-

стей и построения параллельных плоскостей.

На рис. 4.1 показано построение плоскости β, проведеннойНчерез за-

данную точку А(A"'A'), параллельно заданной плоскости α(m//n).

Для

задачиБследует выполнить

h" 1"

следующ е граф ческие действия:

1-е действ е. В заданной плоскости α, по-

строить вспомогательную прямую, например,

h(h"h'), то есть создать в плоско-

решения

сти пе есекающиеся прямые.

2-е действие. Через заданную точку А(A"'A')

пр вести две пересекающиеся прямые b и d,

параллельные двум пересекающимся прямым

горизонталь

m и h заданной плоскости α:

α(m // n); β(a ∩ b) // α

– прямую

b(b",b')

параллельно прямой

Рис. 4.1

m(m"m') (или n(n"n');

– прямую d(d",d') параллельно вспомога-

тельной прямой h(h"h').

Постр енная пл скость β(b d) будет параллельна заданной плоско-

сти α(m//n)о, так как две пресекающиеся прямые m и h плоскости α соот-

в тств нно

араллельны двум пересекающимся прямым b и d построенной

плоскости β.

еПараллельность прямой и плоскости

Из геометрии известно: прямая параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, на чертеже (рис. 4.1) прямая, например, b параллельна плоскости α(m//n), так как проекции прямой b проведены параллельно одноименным проекциям прямой m(m",m'), лежащей в этой плоскости.

П л о с к о с т и пересекающиеся

Общим элементом пересечения двух плоскостей является прямая ли-

ния, принадлежащая обеим плоскостям.

Плоскости, как известно, могут занимать частные и общее положения

относительно плоскостей проекций, и поэтому при пересечении двух плос-

костей возможны три случая:

1-й случай – обе плоскости занимают частное положение относитель-

но плоскостей проекций. В этом случае искомой линией пересечения явля-

ется проецирующая прямая, проекция которой, вырожденная в точку, ле-

жит на пересечении вырожденных в прямые проекциях плоскостей.

На рис. 4.2 изобра-

αУV

жены две

пересекаю-

βV

щиеся фронтально-про-

αH

ецирующие

плоскости

βV

α и β, элементом пере-

сечения которых являет-

ся фронтально-проеци- x

рующая прямая m (со-

ответственно,

горизон-

тально-проецирующие

α V; β V

плоскости пересекаются

по горизонтально-про-

α(αV) ∩ β(βV) → m V

иа

ецирующей

прямой).

Фронтальная

m(m") и

Рис. 4.2

вырожденная

в точку

проекция линии пересечения лежит на пересечении фронтальных, вырож-

денных в прямые, проекц яхо(следах) плоскостей, а горизонтальная m(m')

проекция линии пересечен я – прямая, перпендикулярная оси x.

2-й случай – только одна из плос-

костей занимает частное положение от-

M"N"

носительно

зск стей проекций. В этом

построена

случае одна из

р екций искомой линии

пересечения с впадает с вырожденной

про кци й

лоскости частного положе-

ния, аплдругую проекцию линии пересе-

αH

α H

ч ния тр буется построить.

На рис. 4.3 изображены две пере-

секающиеся плоскости, из которых плос-

кость α, заданная своим горизонталь-

M'N'

Плоскость

совпадает

общего положения

ным следом αh, является горизонтально-

со следом

проецирующей, а другая плоскость, за-

плоскости α(αH)

данная треугольником ABC, – плоскость

Рис. 4.3

общего положения. Горизонтальная про-

екция MN(M'N') искомой линии пересе-

чения плоскостей в этом случае совпадает со следом αh плоскости α, а фронтальная проекция M"N" линии пересечения построена по принадлежности точек M и N сторонам треугольника ABC.

3-й случай – пересечение двух плоскостей общего положения, проекции которых в пределах чертежа накладываются, рассмотрим ниже.

!!! Если пересекаются три плоскости, то элементом их пересечения

	является точка!	У
	П е р е с е ч е н и е п р я м о й с п л о с к о с т ь ю	У
	П е р е с е ч е н и е п р я м о й с п л о с к о с т ь ю
	Общим элементом пересечения прямой с плоскостью является точка,
		Т

принадлежащая и прямой и плоскости. Поскольку и прямая и плоскость могут занимать различные положения относительно плоскостей проекций, то при их пересечении также возможны три случая:

1-й случай – и прямая и плоскость занимают частное положение относительно плоскостей проекций. В этом случае проекцииБискомой точки

пересечения определяются на характерных (вырожденных) проекциях пря-
мой и плоскости.	Н
	й

На рис. 4.4, а изображена горизонтальная плоскость уровня α(m//n),

пересекающаяся с горизонтально-проецирующей прямой k(k"k'). Фронтальная проекция O(О") точки их пересечения совпадает с фронтальным сле-

дом плоскости αV, а горизонтальная проекц

я O(O') точки их пересечения

совпадает с вырожденной в

точку

горизонтальной k(k')

иk" ≡ O" проекцией прямой.

≡ m"

αV

2-й случай – только один

O" α(m // n) V

элемент (или прямая или

k(k"k') H

плоскость)

занимает частное

положение

относительно

k' k V

плоскостей проекций. В этом

k'≡O'

случае одна из проекций точ-

ки

пересечения

совпадает

характерной

(вырожден-

ной)

проекцией

элемента

α(m // n) ∩ K → O

α(ABC) ∩ k → O

частного положения, а дру-

гую проекцию точки пересе-

Рис. 4.4

чения требуется построить.

На рис. 4.4, б изображены пересекающиеся фронтально-проецирую-

щая прямая k(k",k') и плоскость общего положения, заданная треугольни-

ком АВС. В этом случае фронтальная проекция точки пересечения O(O")

Рсовпадает с вырожденной в точку проекцией прямой, а горизонтальная

проекция O(O') точки пересечения построена по принадлежности точки О

плоскости АВС с помощью вспомогательной прямой m.

3-й случай – оба пересекающихся элемента занимают общее положение относительно плоскостей проекций, то есть пересекается плоскость

общего положения с прямой общего положения. В этом самом сложном для решения случае для построения точки пересечения элементов следует

применить

вспомогательные построе-

β H

Линия

ния, чтобы привести условие

задачи

пересечения

к более легкому для решения 2-му слу-

чаю (см. рис. 4.4), то есть прямую об-

щего положения

заменить элементом

частного положения, «заключив» эту

прямую в плоскость частного положе-

ния (см. рис. 3.12 б, в).

На рис. 4.5 показана наглядная кар-

тина этого действия. Прямая общего по-

ложения k пересекается с плоскостью

общего положения α(ABC). Для решения

задачи

через прямую проведена

неко-

Вспомогательная плоскость

1. k β( H)

торая вспомогательная плоскость β, то

2. α(∆ABC) ∩ β →1 – 2

есть прямая «заключена» в плоскость β.

3. k ∩ 1 – 2 → O

Определяется вспомогательная ли-

Рис. 4.5

ния 1-2 пересечения двух плоскостей –

заданной и вспомогательной. Искомая точка О лежит на пересечении за-

данной прямой k и вспомогательной л н

пересечения 1-2.

На рис. 4.6 показано пост оен е

1" – 2" линия

на ч е р т е ж е

точки пересеченияи

пересечения

O(O",O') плоскости общего п

жения,

4"≡5"

(фронтальная

заданной треугольником CDE,

проекция)

пря

1" O"

мой общего положения k(k",k'). Для ре-

Построена

шения задачи в этом случае

выполня

ется следующий граф ческ й алгоритм

1. k α(αh)

(графические действ я):

1-е действие.

Заключить прямую k

2. (1 – 2) →α∩CDE

3. O → (1 – 2) ∩ k

во вспом гательную, например гори-

зонтально-

р ецирующую плоскость α,

задав

ее

г риз нтальным

следом

1' – 2' линия

αH(k α(αH)).

1' ≡ 3'

пересечения

д йствие. Построить проекции

(горизонтальная

вспомогат льной

линии пересечения αH

проекция)

1-2(1"-2",1'-2') заданной плоскости

Рис. 4.6

CDE со вспомогательной плоскостью

Рα(α∩β(∆CDE)):

– 1'-2' совпадает со следом вспомогательной плоскости α(αH);

– 1"-2" строится по принадлежности точек 1 и 2 сторонам CE и DE

плоскости β(∆CDE).

3-е действие. Определить проекции искомой точки пересечения O(O",O') заданных элементов:

– фронтальная проекция O" определяется на пересечении фронталь-

ной проекции заданной прямой k(k") и построенной фронтальной проекции

1"-2" вспомогательной линии пересечения ((1"-2")∩ k");

– горизонтальная проекция O' определяется на горизонтальной проек-

ции k(k') заданной прямой по линии связи (O' k').

4-е действие. Определить на проекциях относительную видимость пря-

мой и плоскости по конкурирующим точкам 1-3 и 4-5.

На рис. 4.6 показано определение относительной видимости заданной

прямой k и плоскости CDE с помощью конкурирующих точек, лежащих на

скрещивающихся прямых. На горизонтальную проекцию наблюдатель смот-

рит сверху вниз по стрелке H. Чтобы определить, какой из элементов –

прямая или плоскость – находится ближе к наблюдателю, рассмотримУпро-

екции конкурирующих точек 1 и 3, лежащих на одном проецирующем луче,

но на скрещивающихся прямых – точка 1 лежит на прямой СЕТ, а точка 3

лежит на прямой k. Видно, что ближе к наблюдателю находится точка 1 на

прямой СЕ, а точка 3 на прямой k расположена ниже. Это значит, что на

горизонтальной проекции прямая k(k') вниз

от

точки

пересечения (О')

«уходит» плоскость CDE.

Аналогичными рассуждениями, рассмотрев конкурирующие точки 4

и 5 по стрелке V, определяем относ тельную в димость прямой и плоско-

сти на фронтальной проекции

– прямая k(k") находится над плос-

костью CDE вверх от точки О(О").

П е р е с е ч е н и е д в у х п л с к о с т е й о б щ е г о п о л о -

ж е н и я (3-й случай)

чертежа

При задании пересекающихся пл скостей на чертеже возможны два

варианта:

а) проекции плоскос ей в пределах чертежа не накладываются;

б) проекции плоскостей накладываются.

Для каждого вар анта есть разные рациональные способы построения

линии пересечения.

Для вариантаз«а» рацио-

нально ис

льз вать две про-

γV2

извольные

част-

лоскости

ного положения.

4"E

γV1

На рис. 4.7 показан при-

м р построения линии пере-

сеченияплоскостей общего

положения – α(k∩l) и β(m//n),

Рпроекции которых на черте-

же не накладываются.

Линия

пересечения

за-

данных плоскостей построе-

Рис. 4.7

на по точкам N и M пересе-

чения между собой вспомогательных линий пересечения этих плоскостей произвольными вспомогательными фронтально-проецирующими плоскостями γ1 и γ2 в соответствии со следующим г р а ф и ч е с к и м а л г о - р и т м о м :

I. Построить точку N(N",N') пересечения заданных плоскостей α(k∩l) и β(m//n) вспомогательной горизонтальной плоскостью уровня γ1:

1-е действие. Пересечь плоскости α(k∩l) и β(m//n) вспомогательной фронтально-проецирующей плоскостью уровня γ1, обозначив ее фронтальный след γV1.

2-е действие. Построить проекции 1-2(1"-2", 1'-2') и 3-4(3"-4", 3'-4')
вспомогательных линий пересечения заданных плоскостей α(k∩l) и β(m//n)
вспомогательной плоскостью γ1(γV1).		У
3-е действие. Определить проекции точки N(N",N') пересечения меж-
ду собой вспомогательных линий 1-2(1"-2", 1'-2') и 3-4(3"-4", 3'Т-4').
II. Построить точку M(M",M') пересечения заданных плоскостей α(k∩l)
и β(m//n) вспомогательной фронтально-проецирующей плоскостью γ2(γV2),
	Н
повторив графические действия 1, 2 и 3, и соединить прямой линией постро-
енные точки N и M. Если при этом плоскость γ2(γV2) задавать параллельно
ранее заданной плоскости γ1(γV1), то	Б
	можно упростить и исполь-
зовать не четыре, а только две точки 5	6, так как пересечение парал-

лельными плоскостями будет давать параллельные вспомогательные линии.

Рассмотрим наиболее часто вст ечающ йся в различных задачах вари-

ант «б» – проекции плоскостей накладываются.

построения

Построение проекций линии пе

сводит-

ся здесь к построению

очек пересечения двух

γV

δV

любых прямых одной плоск с и с другой плос-

костью, то есть к выполнен ою дважды графиче-

ского алгоритма построен я точки пересечения

прямой общего положен я с плоскостью общего

положения, и ложенного выше (см. рис. 4.6).

На рис. 4.8 п ка ан пример построения ли-

1"≡5"

нии ересечения пл скостей общего положения –

α(ABC) и β(m//n), проекции которых на черте-

накладываются.

Линия пересечения построена по точкам K

и M п р с чения прямых m и n, которыми зада-

на плоскость β(m//n), с плоскостью α( ABC), то

же

∆

есть дважды выполнен вышеприведенный гра-

фический алгоритм.

точку

K(K",K')

пересечения

I. Построить

прямой m с плоскостью α(∆ABC):

6' ≡7'

1-е действие. «Заключить» прямую m во

вспомогательную

фронтально-проецирующую

Рис. 4.8

плоскость γ и обозначить ее фронтальный след γV.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 235 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
19.08.201988.41 Кб3насосы.docx
#
31.05.2015467.68 Кб55Настя организация с мтр.docx
#
31.05.20152.03 Mб86начерталка 2 семестр метода с заданиями.pdf
#
31.05.20156.97 Mб63Начертательная геометрия. Часть 2.pdf
#
31.05.2015261.17 Кб32начертательная геометрия.docx
#
26.03.201610.1 Mб107Начертательная геометрия.pdf
#
26.03.201610.42 Mб166начертательная геометрия_заочники.doc
#
26.03.20165.18 Mб66наша практика ФЭС 110412(2).docx
#
31.05.20157.6 Mб82Недо-метода по ГП.docx
#
20.11.201989.6 Кб2недостающие вопросы по ММ.doc
#
31.05.20152.78 Mб463немецкий.doc