Начертательная геометрия

прямой

общего положения k(k",k')

находятся искомые проекции M",M'

Н

и N",N' точек пересечения заданной прямой с поверхностью цилиндра.

Б

КАСАТЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ

Плоскостью, касательной к поверхности в некоторой ее точке, назы-

й

вают плоскость, в которой можно п овести две прямые линии, пересекаю-

щиеся в точке касания, касательные к двум пересекающимся в этой же

точке линиям, принадлежащим п ве

хности.

n"

На че теже касательную плоскость α(α",α') од-

р

нозначно м

задать проекциями двух пересекаю-

α"

K"

l"

щихся жнопрямых m(m",m') и n(n",n'). Эти линии строят

m"

каса ельно к проекциям двух пересекающихся в точ-

т

ке касания линий, принадлежащих поверхности. На

p"

р с. 12.4 линия m(m",m') является касательной к ли-

нииокружности l(l",l'), проходящей через точку каса-

зния K(K",K') по поверхности цилиндра, а пересекаю-

о

щаяся с ней в этой точке линия n(n",n') сливается

α'≡m'

с линией р(р",р') – образующей цилиндра.

l'

Аналогичные действия (рис. 12.8, е, ж, з) выпол-

K'≡n'≡p'

п

нены и при построении касательных плоскостей к по-

е

верхностям прямого кругового конуса, самопересе-

кающегося тора и сферы, касающихся этих поверхно-

ис. 12.4

стей в некоторой точке A(A",A'). Пересекающиеся пря-

Рмые m(m",m') и n(n",n'), задающие касательные плоскости α(α",α') к ним, яв-

Для упрощения построений вначале строят касательную к этой линии, парал-

лельной фронтальной плоскости проекций, определяют на оси вращения тора

точку S, через которую проходят касательные ко всем точкам, расположен-

ным на той же параллели поверхности, что и заданная точка касания A(A",A'),

а затем строят необходимую касательную n(n",n').

Эти построения использовались также для определения точки касания

K(K",K') на поверхности самопересекающегося тора в задаче на рис. 12.5,

где необходимо было задать общую касательную плоскость к поверхно-

стям самопересекающегося тора и прямого кругового конуса. Ключом

к решению задачи явилось заключение самопересекающегося тора в кони-

ческую поверхность с тем же углом наклона образующих, что и у заданно-

го конуса (справа). Общая касательная плоскость задана пересекающимисяУ

прямыми, из которых m1(m1",m1'), являющаяся горизонтальным следом

плоскости, построена, как касательная к следам указанных коническихТпо-

верхностей, а прямая

n

m2(m2",m2'), сливает-

m

2

ся с одной из образу-

Н

Б

ющих заданного ко-

K

нуса. Эта образующая

является и геометри-

m1

й

ческим элементом ка-

сания

построенной

и

плоскости α(m1∩m2)

с

поверхностью за-

р

данного конуса. По-

верхности самопере-

о

K

секающегося тора эта

m2

плоскость касается в

т

точке K(K",K'), кото-

(m

m )

m1

U

рая найдена благода-

2

1

и

n

ря

вышерассм трен-

ным

з

остр ениям и

образующей вт р го

n

(m Um

)

конуса,

охватываю-

1

2

Рис. 12.5

щ го тор.

п

На рассматриваемом чертеже показано также построение нормали

n(n",n'), к поверхности самопересекающегося тора в точке K(K",K'). Усло-

е

вием для построения нормали является ее перпендикулярность к плоско-

сти, касательной к поверхности в той же точке. Вначале нормаль построе-

Р

на к очерковой образующей тора, затем на ней взята произвольная точка и

выполнен ее поворот вокруг оси тора в положение, в котором она окажется

расположенной в плоскости, перпендикулярной построенной касательной

плоскости (направления указанных перемещений показаны стрелками).

На рис. 12.6 показано построение точек пересечения P(P",P') и T(T",T')

фронтальной прямой MN(M"N",M'N') с поверхностью ¼ кольцевого тора

и построение касательной плоскости к этой поверхности в одной из постро-

енных точек, например, T(T",T').

Точки

P(P",P')

и

SK"

T(T",T') найдены благо-

даря заключению задан-

ной прямой MN во фрон-

z

тальную плоскость α(αH)

N"

и построению проекций

T"

линии

пересечения

по

To"

точкам 1', 2', 3', …У, 7',

m"

крайние из

которых

1'

β"

и 7' взяты вТместах пе-

O"

7"

ресечения

горизонталь-

ного очерка плоскостью

1"

P"

2"

4"5"

6"

n"

Н

тора, а остальные – про-

3"

извольно на горизонталь-

Б

αH секущей

x

O'

O

ном следе

плоскости. Для дальней-

M"

ших построений исполь-

й

и

зовались горизонтальные

сечения поверхности то-

M'

6'

ра плоскостями.

αH

1'

P'

2'

3'

4' 5'

7'

рN'

Для задания каса-

T'

n'

тельной

плоскости

m'

оβ'

β(m∩n) одна из задаю-

т

y

щих ее пересекающихся

прямых m(m",m') пост-

. 12.6

роена

как

касательная

Рис

к линии кольцевого се-

чения

з

верхн сти тора в точке T(T",T'), а вторая – как касательная пря-

мая n(n",n') к линии окружности осевого сечения поверхности тора. Для

бол

о

точного

остроения второй прямой была найдена проекция SK" точ-

ки на оси вращения тора, в которой сходятся все касательные прямые к по-

п

в рхности тора во всех точках, находящихся на той же параллели, что

и точка T(T",T').

е

Структуризация материала двенадцатой лекции в рассмотренном объ-

еме схематически представлена на рис. 12.7 (лист 1). На последующем ли-

Р

сте 2 компактно приведены иллюстрации к этой схеме для визуального за-

крепления изученного материала при повторении (рис. 12.8).

Пересечение линии с поверхностью.

Касательные плоскости и нормаль к поверхности

У

Т

Н

Ðèñ. 12.8, à, á, â

Б

й

Ðèñ. 12.6, 12.8, å, æ, ç

Ðèñ. 12.8,иã, ä

р

Касательная плоскос

ь к крив й поверхности в некоторой точке - это

плоскость, в которой

овсе касательные прямые ко всем кривым, кото-

Касательная плоскость к кривой поверхности в некоторой точке –

рые можно провести на

и через туже точку.

это плоскость, в которой лежат все касательные прямые ко всем кривым,

Нормалью к

лежатданной точке называется прямая, перпенди-

которые можно провести на поверхности через ту же точку.

кулярная к касательной плоскости и проходящая через точку касания.

Нормалью к поверхности в данной точке называется прямая,

поверхности

перпендикулярная к касательной плоскости и проходящая через точку

касания.

з

о

п

е

Р

Рис. 12.7

Ëèñò 1

203

A"

B"

12.1. Пересечение прямой с поверхностью

V

C"

S"

1"

l"

2"N"

2"(N")

M"

M"

N"

3"

m"

n"

M"

B"

A"

3"

1"

C"

1'

A'

C'

A'

2'

1'

B'

3'

m'

N'

N'

M'

S'

M'

n'

3'

l'

H

B'

M'

N'

У

2'

V

C'

Рис. à12.1

Рис. 12á.2

Рисâ.

12.3

S"

"

вспомогательная

Т

1"

а

K"

1"

плоскость

M"

N"

b"

(N")

l"

M"

д

а

Н

ана

ан

3"

V0

д

3"

V0

2"

C"

D"

2"

Б

л'n'(

)

3'

U

л'п'

S'

а'

l'

N'

дана

M'

1"

'

'n

1'

2'

N'

b'

л

2'

M'

C'

D'

3'

й

на

k'

да

(аU b) -

проходит через вершину конуса

и(k U l) - параллельна образующим цилиндра

Рис. 12ã.4

р

Рис. 12ä.5

12.2. Каса

ельные плоскости

S"

о

Sкас.

окр.

m"

т