Начертательная геометрия

случае линией пересечения является о д н а

з а м к н у т а я

простран-

ственная линия.

II случай. Полное проницание (рис. 8.2). В этом случае линией пересе-

чения являются д в е

з а м к н у т ы е пространственные линии.

III случай. Односто-

роннее

соприкосновение

(рис. 8.3). В этом случае

У

поверхности

соприкаса-

ются в о д н о й общей

точке К1 и линия их пе-

ресечения, проходя че-

рез эту точку, распада-

ется на две

замкну-

Т

тые

пространственные

линии (поверхности име-

Н

ют одну общую касатель-

ную плоскость).

Б

IV

случай. Двойное

соприкосновение(рис. 8.4).

й

В этом случае по-

верхности имеют две точ-

ки соприкосновения

К1

и

и К2 и линия их пересе-

Рис. 8.3

чения распадается на две

р

плоские кривые в соот-

ветствии

с

теоремой 2

о

(С. А. Фролов

«Начер а-

тельная геометрия» [23]):

«Если

две

т

поверхности

вращения

поряд-

и

ка имеют касание в двух

з

точках, то линия их пере-

рас

адается

на

второго

две кривые второго по-

рядка, плоскости кото-

п

рых проходят через пря-

мую

m,

соединяющую

сечения

точки

касания» (поверх-

ности имеют две общие

Р

касательные плоскости).

В

зависимости

от

расположения

пе-

ресекающихся геометри-

Рис. 8.4

ческих тел относительно

120

плоскостей проекций и участия в пересечении геометрических тел, имею-

щих проецирующую поверхность (как призма или цилиндр) или не имею-

щих проецирующей поверхности (пирамида, конус, шар, тор, тороид, на-

клонная призма или наклонный цилиндр, глобоид и др.), следует выбрать

оптимальный способ построения проекций линии пересечения поверхно-

стей на чертеже.

По этим признакам способы построения линий пересечения поверхно-

стей можно объединить в две группы:

Первая группа : частные случаи пересечения по -

верхностей , когда для построения линий пересечения не требуется

применения специальных способов, а используется частное положение пе-

ресекающихся геометрических тел относительно плоскостей проекцийУ.

Вторая

группа: общие случаи пересечения поверхностей, когда

для построения линий пересечения требуется применить спТециаль -

ные

способы п о с р е д н и к о в.

Частные случаи пересечения поверхностейН

К первой группе

частных случаев пересечения поверхностей

относятся следующих четыре случая:

Б

1 случай: пересечение геометрических тел, боковые поверхности ко-

торых являются проецирующими , то есть, перпендикулярны какой-

либо плоскости проекций.

й

2 случай: пересечение

ческ х тел, у одного

из которых

боковая поверхность является п

и

еци ующей.

3 случай: пересечение с

сных поверхностей вращения, т. е. имею-

щих общую ось вращения,

р

4 случай: пересечение поверхностей вращения второго порядка, опи-

санных вокруг сферы (по

геомет

еореме Г. Монжа).

т

Рассмотрим на примерах по-

и

строение проекций линий пересе-

чения поверхностей

геометриче-

з

ских

тел

в четырех

ч а с т н ы х

о

случаях п е р в о й г р у п п ы .

Следует отметить, что пере-

п

численные частные случаи пересе-

чения поверхностей наиболее ча-

е

сто

встречаются при

формообра-

зовании

различных

реальных

Р

деталей.

1-й частный случай .

Рис. 8.5

На рис. 8.5 показан пример по-

строения проекций линии пересе-

чения поверхностей горизонтально-проецирующего цилиндра и фронталь-

но-проецирующей прямой правильной треугольной призмы, то есть пересе-

торых боковая поверхность

й

проецирующая.

Характерный

признак

2-го частного случая: на за-

данных проекциях тел оп-

и

ределяется

о д н а

проек-

ция линии пересечения:

р

– фронтальная

проек-

ция (л"п") линии пересече-

о

ния 1"-2"-3"-4" совпадает

с окружностью, которая яв-

т

ляется вырожденной проек-

цией боковой

поверхности

цилиндра.

з

След

,

требу-

ется достр ить г риз нталь-

ную

вательно

(л' ')

и

рофильную

(л"'п"')

кции линии пе-

про

гори-

Рис. 8.6

р с ч ния,

построив

зонтальные

и

профильные

проекции обозначенных точек по их принадлежности конусу, и соединить

построенные на проекциях точки плавными кривыми линиями с учетом их

Р

видимости на поверхностях.

!!! На профильную проекцию предмета пространственная кривая ли-

ния пересечения 4-го порядка проецируется в виде участка гиперболы.

3-й ч а с т н ы й с л у ч а й .

Пересечение соосных геометрических тел.

Соосными называются геометрические тела вращения, имеющие об-

щую ось вращения «i». Поверхности соосных тел пересекаются по о к -

р у ж н о с т я м , перпендикулярным их общей оси. Если общая ось «i»

соосных геометрических тел является прямой проецирующей (т. е. она

перпендикулярна какой-либо одной плоскости проекций, а двум другим

параллельна), то окружность пересечения проецируется дважды в п р я -

м у ю линию,

перпендикулярную их общей оси,

на те плоскости проек-

ций, которым эта общая ось параллельна.

На рис. 8.7 показан пример пост-

роения линии пересечения соосныхУгео-

метрических тел – конуса и горизон-

тально-проецирующего цилиндраТ, имею-

щих общую горизонтально-проецирую-

щую ось i (ось перпендикулярна H и па-

Н

раллельна V и W). Линией пересечения

является о к р у ж н о с т ь, фронталь-

ная (л"п")

Б

профильная (л"'п"') проек-

ц которой представляют собой прямые

л н

, перпендикулярные их общей оси i

й

Рис. 8.7

и п оходящ е через точки пересечения

ф онтальных и профильных очерков по-

и

верхностей. Горизонтальная п екция этой окружности пересечения л'п')

совпадает с вырожденной г риз нтальнойрпроекцией боковой поверхности

цилиндра.

о

На рис. 8.8 показан пример

т

построения линий пересечения

д в у х

пар соосных поверхно-

и

стей:

– поверхности шара и гори-

з

зонтально-проецирующего ци-

о

линдра,

соосных

относитель-

но горизонтально-проецирую-

п

щей оси i1, окружности пересе-

чения которых проецируются

е

в прямые линии на фронталь-

ную и профильную проекции;

Р

– поверхности шара и сквоз-

ного профильно-проецирующего

Рис. 8.8

цилиндрического отверстия Цотв

в шаре, соосных относительно

профильно-проецирующей оси i2, окружности пересечения которых про-

ецируются в прямые линии на фронтальную и горизонтальную проекции.

В 4-м частном случае имеет место д в о й н о е с о п р и к о с н о -

в е н и е пересекающихся поверхностей вращения второго порядкаУ, опи-

Н

санных вокруг сферы, и построение линии пересечения основано на тео-

реме 2 (С. А. Фролов «Начертательная геометрия» [23]):

Т

Б

Т е о р е м а 3, известная как теорема Г. Монжа, вытекает из теоре-

мы 2: «Если две поверхности вращения второго порядка описаны вокруг

третьей поверхности второго порядка или вписаны в нее, то линия их пе-

й

ресечения распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых

проходят через прямую, соединяющую

касания».

точки

Практическое применение теоремы возможно в том случае, когда две

поверхности вращения второго

порядка

оп саны вокруг сфер ы

или вписаны в нее.

Монжа

для построения на чертеже линии

Использовать теорему Г.

пересечения поверхностей м жно п и наличии в задаче ч е т ы р е х

обя-

т

зательных графических усл вий:

1. Пересекаются поверхн с и вращения в т о р о г о порядка.

и

2. Оси поверхнос ей вращения должны пересекаться (точка пересече-

з

ния – центр вписанной сферы).

3. Поверхности оп саны вокруг общей сферы или вписаны в нее.

о

4. Общая плоскость симметрии, проходящая через оси поверхностей,

является пл ск стью уровня.

на

–плоские

кривые проецируются в отрезки п р я м ы х л и н и й

При с блюдении этих четырех условий на одной из заданных проек-

ций можно

стр ить проекции двух плоских кривых, на которые распада-

раллельной

о б щ е й п л о с к о с т и

с и м м е т р и и

поверхностей;

тся искомая линия пересечения:

Р

ту про кцию предмета, которая расположена на плоскости проекций, па-

– т о ч к и

п е р е с е ч е н и я о ч е р к о в поверхностей на этой

проекции принадлежат искомой линии пересечения и через эти точки про-

ходят прямые, в которые проецируются плоские кривые пресечения;

– прямые, как проекции плоских кривых, п е р е с е к а ю т с я в точ-

ке, с которой совпадают проекции двух точек К1≡К2 соприкосновения по-

верхностей и соответственно проекция прямой m(m', m"),

соединяю -

!!! Точки касания (соприкосновения) поверхностей К1(К1") и К2(К2")

определяются на пересечении проекций о к р у ж н о с т е й

к а с а н и я

вписанной сферы с каждой из поверхностей.

На рис. 8.9 показан при-

мер построения проекций ли-

нии

пересечения

поверхно-

стей вращения второго по-

У

рядка –

прямого

кругового

конуса и наклонного круго-

вогоцилиндра, описанныхво-

круг общей сферы. Для ре-

шения задачи

использована

теорема Г. Монжа, посколь-

Т

ку здесь соблюдены все че -

тыре обязательных условия

Н

ее применения:

1. Пересекаются прямой

Б

круговой конус и круговой

наклонный цилиндр, т. е. по-

й

верхности вращения второго

порядка.

2. Оси конуса и цилинд-

и

рапересекаютсявточкеO(O").

3. Обе поверхности опи-

р

саны вокруг общей для них

Рис. 8.9

сферысцентромточкеO(O").

4. Общая плоскос ь с ммеории поверхностей α(αH) является фронталь-

ной плоскостью уровня (//V).

т

Построение проекц й л нии пересечения поверхностей по теореме

Г. Монжа

по следующему графическому алгоритму:

и

1-е действие. Определить проекцию предмета, на которую плоские

кривые

з

р ецируются в отрезки прямых линий: в данной задаче это фрон-

тальная

р екция,

так как общая плоскость симметрии α(αН) параллельна

выполняется

фронтальной

лоскости проекций V.

2-

д йствие.

Построить фронтальные совпадающие проекции К1≡К2

п

точ к соприкосновения заданных поверхностей, лежащих на пересечении

проекций

окружностей касания вписанной сферы с каждой из поверхно-

стей (прямые линии – проекций этих окружностей касания – строятся как

линии пересечения соосных поверхностей, так как вписанная сфера обра-

Р

зует две пары соосных поверхностей – конус/сфера с общей осью i1 и ци-

линдр/сфера с общей осью i2. На чертеже проекции этих окружностей ка-

сания проходят через точки, полученные на пересечении перпендикуляров,

проведенных из точки О(О") – центра вписанной сферы – к образующим

конуса (окружность касания 1) и цилиндра (окружность касания 2).

3-е действие. Отметить на фронтальной проекции точки A(A"), B(B"),

C(C") и D(D") пересечения очерков поверхностей и построить фронтальные

проекции плоских кривых пересечения 2-го порядка, соединив прямыми

линиями A-B(A"-B") и C-D(C"-D") противоположные точки пересечения

очерков (обе прямые

обязательно

должны пройти через построен-

ные проекции точек соприкосновения поверхностей К1≡К2 (K"1≡К"2);

4-е действие. Построить горизонтальные проекции двух плоских

кривых пересечения – эллипсов ,

по горизонтальным проекциях обо-

значенных точек A, B, C, D, K1 и K2, построенных по принадлежности по-

верхности конуса; обозначить и построить точки E(E') и F(F'), которые

лежат на очерковых образующих горизонтальной проекции цилиндра и

определяют границу видимости кривых на горизонтальной проекцииУпред-

мета, а также отметить и построить необходимое количество промежуточ-

ных точек (здесь не обозначены).

Т

5-е действие. Оформить фронтальный и горизонтальный очерки пре-

секающихся поверхностей.

Н

!!! Построение точек со-

K1"

K2" (точки двойного

прикосновения К1≡К2 поверх-

соприкосновения)

Б

ностей особенно важно в за-

ок

р

ци .

дачах, где по условию нельзя

л

к

C"

н

ас

д

а

р

н

определить

о д н у из четы-

а

с

я

2

ф

рех точек пересечения очер-

ей

i2"

к . касан

я 1

ы

A"

ков поверхностей. Совпадаю-

щие проекции точек сопри-

цилинд а ии сфе ы

B"

р

косновения в этом случае

п-

л

"

n

ределят направление одной из

" (

эл

лип

двух прямых лин й – проеко-

с

)

E"

ций плоских кривых пересе-

n

"

т

л

"

i1"

чения (рис. 8.10). В данном

случае проекция плоской

-

вой линии

кри

пересечения

CE

вписанная

проведена

з

сфера

через

т чки C и

Рис. 8.10

К1≡К2. Т чка E

пределяется

на основанииконуса.

На рис. 8.11 показаны примеры построения линий пересечения поверх-

п

ност й второго порядка, описанных вокруг сферы, с применением теоремы

Г. Монжа. Они часто встречаются при конструировании различных переходов

е

цилиндрических и коническихтруб, или пересечений отверстий в деталях.

РОбщие случаи пересечения поверхностей и спо -

собы построения линий пересечения поверхностей

К о в т о р о й

р а с с м а т р и в а е м о й

группе относятся общие

случаи пересечения геометрических тел, боковые поверхности которых

могут занимать относительно плоскостей проекций

н е п р о е ц и р у ю -

126

щ е е положение (это наклонные призмы и цилиндры), а также геометри-

ческие тела, поверхности которых

н е п р о е ц и р у ю щ и е

– это конус,

сфера, торы, глобоид, эллипсоид, параболоид и гиперболоиды. Сюда же

относятся наклонный эллиптический цилиндр, имеющий круговые сече-

ния, и наклонный круговой конус.

K " K "

У

Т

ц

Н"

ц

л"

Б

n

л"

n

K1" K2"

"

окр.

кас-я

K1" K2"

K3" K4"

к

й

к

"n"

к

и

л

р

Рис. 8.11

о

Для построен я л н й пересечения поверхностей в этом случае при-

т

меняются специальные способы вспомогательных посредников – плоско-

стей уровня или поверхностей (сфер, цилиндров, конусов), из которых мы

и

рассматриваем следующие:

1) с

с

з

всп м гательных секущих плоскостей уровня;

2) с

с б всп м гательных концентрических сфер;

3) с

особвспомогательных эксцентрических сфер.

Прим нение одного из указанных способов для построения линий пе-

п

р с ч ния поверхностей геометрических тел возможно при наличии неко-

торых обязательных графических условий расположения геометрических

е

тел относительно плоскостей проекций и зависит от того, какие именно

геометрические тела пересекаются в конкретной задаче.

Р

Линия пересечения поверхностей является общей для обеих поверх-

ностей и образуется множеством общих точек, которые строятся с помо-

щью вспомогательных посредников.

Предварительно требуется выполнить графический анализ условия за-

дачи для выбора рационального способа ее решения, определить проекцию

3-е действие. Определить точки пересечения построенных вспомога-

тельных линий пересечения – эти точки принадлежат искомой линииУпере-

сечения.

Н

Рассмотрим на примерах применение различных способовТвспомога-

Б

тельных посредников для построения проекций линий пересечения по-

верхностей.

1. Общая плоскость симмет ии пе есекающусловийхся геометрических тел яв-

Способ вспомогательных

секущих плоскостей

уровня

и

Применение способа вспомогательных секущих плоскостей рациональ-

но при наличии двух

графическ х

:

р

этого условия точки пересечения

ляется плоскостью уровня; при соблюден

о

т

че ков поверхностей принадлежат ис-

к мой линии пересечения и определяют

и

верхнюю и нижнюю границу введения

плоскостей-посредников на соответст-

з

вующей проекции предмета.

2. Сечениями геометрических тел

в одной из плоскостей уровня должны

быть простые в построении линии пере-

сечения – прямые линии (образующие)

е

о

или окружности; эту плоскость уровня и

следует выбрать в качестве посредника.

Р

п

На рис. 8.12 показан пример пост-

роения

проекций линии пересечения

прямого конуса и половины шара.

Для решения задачи требуется пред-

варительно выполнить графический ана-

лиз заданных проекций предмета:

А. Выбираем для решения задачи

способ вспомогательных секущих плос-

костей, так как здесь соблюдены два

Рис. 8.12

графических условия его применения:

128

А(А") пересечения фронтальных очерков и точки B(B',B") пересечения ок-

ружностей оснований конуса и полушара, лежащие в горизонтальнойУплос-

кости уровня α(αVо).

Н

Построить проекции точек искомой линии пересечения, выполнивТдей-

ствия предложенного г р а ф и ч е с к о г о

Б

а л г о р и т м а I :

1-е действие. Ввести на фронтальной проекции предмета первую вспо-

могательную секущую горизонтальную плоскость-посредник α(αV1) произ-

вольно и ниже точки А(А").

й

2-е действие. Построить на горизонтальной проекции предмета вспо-

оекции

могательные окружности радиусами Rк1

Rш1, по которым секущая плос-

фр

кость-посредник α(αV1) пересекает поверхности конуса и шара.

3-е действие. Определить на пе есечен

построенных вспомогатель-

3.1. Повторить дейс в яосновного графического алгоритма, введя вто-

ных окружностей горизонтальные п

точек 1(1'), принадлежащих

линии пересечения; фронтальные

впадающие проекции 1(1") этих точек

т

нтальной проекции плоскости-посред-

определяются по линии связи на

ника α(αV1).

Соединить проекции построенных точек на фронталь-

4-е действие.

з

рую плоскость-посредн к α2(αV2), и построить проекции точек 2(2',2") и т. д.

Дополнительные действ я:

о

ной и г риз нтальн й проекциях предмета плавными кривыми линиями

п

с учетом их видим сти на проекциях: на фронтальную проекцию предмета

пространственная кривая пересечения проецируется в видимую п л о с -

е

к у ю кривую второго порядка (участок параболы), поскольку горизон-

тальная проекция предмета имеет фронтальную симметрию; на горизон-

Р