Начертательная геометрия

строений.

У

Представление об образовании поверхности непрерывным движением

линии позволяет такие поверхности называть кинематическими. При этом

Т

линия, образующая поверхность, может во время движения деформиро-

ваться. Тогда говорят о поверхности с «переменной образующей».

зываемыми направляющими поверхности. По ним образующая в процессе

своего движения скользит.

Поверхность, которая образована движением прямойНлинии, называют

линейчатой поверхностью. Таким образом, линейчатая поверхность пред-

ставляет собой геометрическое место прямых

.

Б

Поверхность, которая образована движением кривой линии, называют

нелинейчатой поверхностью. Примерами такой поверхности является сфе-

ра, тор и др.

линий

Одна и та же поверхность

быть образована перемещением раз-

личных линий и согласно различнымусловиям движения, то есть законы

образования поверхности в ряде случаев могут быть разнообразными. Для

р

решения геометрических задач, как правило, используют наиболее простой

или удобный закон задания поверхности.

может

Некоторые кр вые поверхности могут быть развернуты так, что сов-

местятся все сво м

т

с плоскостью без разрывов, складок, или рас-

О б з о р

некоторых кривых

поверхностей ,

их

изо -

бражение на чертеже

1. Поверхности линейчатые развертываемые.

1.1. Цилиндрическая поверхность. Образуется движением прямой ли-

нии l по криволинейной направляющей n и остающейся во всех своих поло-

жениях параллельной некоторой заданной прямой линии S (рис. 11.9).

1.2. Коническая

по-

1"

верхность.

Образуется

n

S"

2"

n"

движением

прямой

ли-

S

3"4"

нии l по криволинейной

l

l1"

5" 6"

8"

направляющей

и

прохо-

7"

дящей во всех своих по-

nH

x

V

lH5 lH6

У

ложениях через некото-

lH

H

lH3 lH4

lH7

рую неподвижную

точ-

lH8

8'

lH2

Т6'7'

ку S, называемую верши-

H

lH1

nH

3'

4'

5'

ной конической поверх-

n'

2'

ности(рис. 11.10).

Н

1'

Линия,

получаемая

След цилиндрической

l1'

при пересечении цилинд-

БS'

рической или конической

а

Рис. 11.9

б

поверхностей

с плоско-

стью, называется следом поверхности. На

й

с. 11.9, а и рис. 11.10, а показаны

следы этих поверхностей в прост анстве.

На рис. 11.9, б показано п ст

поверхности

ение на чертеже горизонтального сле-

да nH цилиндрической п верхн

рсти посредством

семейства

произвольно

задаваемых образующих l, параллельных прямой S, определяющей их

направление. След nH пос

роенпо точкам lH1, lH2, lH3,

… ,

lH8,

являющимся

горизонтальными

образующих.

т

Для построен я недостающих проекций точек, принадлежащих ци-

линдрической или конической поверхности, также используют их обра-

зующие.

следами

S

S"

з

На рис.

11.10, б показано

l"

нед стающей фрон-

тальной A"роекции

точки A(A')

1"

n"

поср дством промежуточной об-

п

n

A"

разующ й l(l',l"). Вначале строят

ту проекцию образующей l, на

x V

построение

nH

H

которой находится заданная про-

Рекция A' точки, то есть в данном

H

A'

1'

n'

случае – горизонтальную проек-

цию l'. Затем,

используя

точку

След конической

l'

пересечения 1(1',1") этой обра-

поверхности

S'

зующей с направляющей кривой

а

б

линией n(n',n"), строят фронталь-

Рис. 11.10

191

ную проекцию l" образующей, и посредством линии связи находят искомую

недостающуюпроекциюточкиA".

1.3. Поверхность с ребром возврата (торсовая). Образуется непрерыв-

ным движением прямолинейной образующей l, во всех своих положениях ка-

сающихся некоторой пространственной кривой n. Эта пространственная кри-

Ребро возврата

вая является для данного

l"

типа

поверхностей

на-

1"

n"

правляющей. Ее называ-

ют ребро возврата.

A"

На рис. 11.11, а тор-

n

l

совая поверхность пока-

x V

зана в пространстве и по-

казан ее след nH

У

H

как ли-

nH

lH

ния пересеченияТповерх-

H

A'

ности с некоторой гори-

зонтальной

плоскостью

1'

n'

Н

След торсовой

l'

H. На рис. рис. 11.11, б

приведен чертеж торсо-

поверхности

а

б

Б

Рис. 11.11

вой поверхности и пока-

зано

построение

недо-

стающей горизонтальной проекции A'

надлежащей ей точки A(A").

Для

построения использовалась об азующая l(l',l"), задаваемая через заданную

проекцию точки A" касательно к

еб у возв ата поверхности в точке 1(1',1").

и

2. Поверхности линейчатые не азве тываемые.

2.1. Поверхностисплоск с

ьюпараллелизма.

пр

Плоскость

Цилиндроид и коноид – это поверхности, обра-

движением прямолинейной образующей

параллелизма

Семейство

зованные

αV

(

адаётся) х тпо двум направляющим, и остающейся во всех

n"

сво х положениях параллельной некоторой задан-

A"

ной плоскости, называемой плоскостью паралле-

и

m"

образующ

лизма. В качестве плоскости параллелизма может

Линия

задаваться некоторая проецирующая плоскость (ее

о

след указывается на чертеже, рис. 11.12) или ого-

варивается, что плоскостью параллелизма является

п

однаизплоскостей проекций(рис. 11.13).

Всякая плоскость, параллельная плоскости

сечения

n'

параллелизма, пересекает цилиндроид или коно-

A'

ид по прямой линии – по образующей. Это свой-

Р

m'

βH

ство используется при решении задач.

На рис. 11.12 показано построение недоста-

Семейство

Секущая

ющей фронтальной проекции точки A(A') на по-

образующих

плоскость

верхности цилиндроида, заданного двумя направ-

(построено)

ляющими n(n',n") и m(m',m") и фронтально-про-

Рис. 11.12

ецирующей

плоскость

αV в

качестве плоскости

192

параллелизма. Поскольку применить вышерассмотренный алгоритм, когда

было достаточно воспользоваться одной из образующих, в данном случае не

представляется возможным (не известно, как будет направлена образующая

через заданную проекцию A' точки), необходимо вначале построить семей-

ство образующих, задавая их фронтальные проекции параллельно следу

плоскости параллелизма αV (согласно закону образования поверхности ци-

линдроида). Построив обе проекции каркаса цилиндроида из образующих,

выполняют его сечение произвольной горизонтально-проецирующей плоско-

стью, проходящей через заданную проекцию A'

H – плоскость параллелизма

точки. Затем строят фронтальную проекцию ли-

n"

нии сечения и на ней посредством линии связи

l"

2"

A"

1"

находят искомую проекцию A" точки.

m"

У

На рис. 11.13 показано построение недо-

стающей горизонтальной проекции точки A,

x V

Т

принадлежащей поверхности коноида, заданно-

H

Н

го кривой n(n',n") и прямой m(m',m") направ-

n'

1'

ляющими и плоскостью параллелизма, в каче-

A'

стве которой служит горизонтальная плоскость

2'

проекций H. Для этого через ее заданную про-

Б

l'

m'

екцию A" построена фронтальная проекц я об-

разующей l(l")

коноида,

занимающая

зон-

Рис. 11.13

й

тальное положение. Затем по точкам пе есече-

образующей

ния

1(1")

и

2(2")

и

с направляющими n(n',n") и m(m',m") пост оена горизонтальная проекция l'

образующей и на ней посредс в м линии связи найдена искомая горизон-

тальная проекция A'

гор

.

Гиперболическ й параболоидо(косая плоскость) образуется движением

прямолинейной образующейтпо двум скрещивающимся прямым направляю-

щим параллельно некоторой плоскости па-

l"

раллелизма. Эту поверхностьточкиназывают так-

1"

желинейчатымзпараболоидом.

n"

A"

m"

На рис. 11.14 приведен чертеж рас-

сматриваем й

верхности в виде каркаса

о

2"

из образующих. Поверхность задана двумя

скр щивающимися в параллельных плос-

x V

п

костях прямыми направляющими n(n',n")

H

и m(m',m") и

горизонтально проецирую-

A'

2'

е

l'

m'

щей плоскостью параллелизма αH. Там же

1'

показано построение недостающей фрон-

Ртальной проекции A" точки A(A'), принад-

n'

лежащей поверхности. Построение выпол-

нено посредством образующей l(l'), для че-

αH

го через заданную проекцию A' вначале

построена горизонтальная проекция l' обра-

Рис. 11.14

193

зующей. Затем по точкам 1(1') и 2(2') ее пересечения с направляющими

строят фронтальную проекцию образующей и отмечают на ней посредством

линии связи искомую проекцию A" точки.

Название рассмотренной поверхности «гиперболический параболоид»

связано с тем, что ее фронтальный очерк (касательная кривая к фронтальным

проекциям образующих) представляет собой параболу (рис. 11.6). Такую же

форму имеет и профильный очерк данной поверхности. Кроме того, линия се-

чения данной поверхности горизонтальной плоскостью имеет форму гипер-

болы (форму гиперболы имеет также горизонтальный след поверхности, ко-

торый можно построить, если найти горизонтальныеследы ееобразующих).

2.2. Поверхностьстремянаправляющими– однополостныйгиперболоид.

Эта линейчатая поверхность образуется при перемещении прямой об-

У

разующей по трем скрещивающимся прямым направляющим, не параллель-

ным одной плоскости. В частном случае линейчатая поверхность с тремя

Т

направляющими пересекается плоскостью по гиперболе; отсюда и произо-

шло ее название – однополостный гиперболоид [23] (однополостный ги-

перболоид вращения, как частный случай поверхности, может быть полу-

Н

чен вращением гиперболы вокруг ее мнимой оси или вращением прямой

линии вокруг скрещивающей с ней оси).

Б

На рис. 11.15 приведен

чертеж фрагмента

поверхности

линейчатой

с тремя направляющими n(n',n"), k(k',k")

m(m',m"). Там же показаны по-

строения для определения положения недостающей проекции A' точки A(A").

й

Воспользоваться для этого одной из обра-

l"

зующихив данном примере не представля-

ется в зможным, так как неизвестно поло-

n"

m"

жениерее фронтальной проекции,

проходя-

A"

щей через заданную проекцию A" точки.

k"

Зато благодаря

проецирующему

положе-

αV

т

нию направляющей k(k',k") можно задать

горизонтальные проекции любых образу-

и

ющих. Воспользуемся этим и построим го-

ризонтальную проекцию каркаса поверхно-

l'

з

m'

сти из семейства образующих l(l'). Затем по

A'

точкам их пересечения с горизонтальными

проекциями n' и m' направляющих постро-

n'

о

k'

им фронтальные проекции l"

этих образу-

п

ющих. Далее выполним сечение поверхно-

е

Рис. 11.15

сти фронтально-проецирующей плоскостью

αV. По фронтальным проекциям точек ее пересечения с образующими по-

строим горизонтальную проекцию кривой линии этого сечения и на ней по-

средством линии связи определим положение искомой проекции A' точки.

Р

Структуризация материала одиннадцатой лекции в рассмотренном объ-

еме схематически представлена на рис. 11.16 (лист 1). На последующих

листах 2 и 3 приведены иллюстрации к этой схеме, компактно приведены

иллюстрации к этой схеме для визуального закрепления основной части

изученного материала при повторении (рис. 11.17 и 11.18).

194

Кривые поверхности

M-2-3

M-2-4

Цилиндрические

У

Рис. 11. .1

Т

Ðèñ.11.17,

à

Конические

Рис. 11.1.2

Ðèñ.11.17, ã

Рис. .2.7

Ðèñ.11.17,

á

Ðèñ.11.18

Í

Н

Торсовые

Рис. 11. .3

Б

Ðèñ.11.17,

â

Ðèñ.11.17,

ä

й

Эллипсоид -

и

Эллипсоид –

сжатый и

сжатый и

вытянутый

р

втянутый

В начертательной гео-

Ðèñ.11.17,

å

метрии принят кинема-

тическ я способ обра-

я поверхнос

о

,

когда поверхность

т

представляет собой

ческое место

(след) обра

ли-

ний, ующихдвижущихся в

пр странстве по на-

Линейчатые

правляющим линиям.

поверхности:

зован

образующая - прямая

Закономерные поверх-

линия (цилиндрическая,

коническая, торсовая и

геометр

образующие

п

ности:

т.д.)

еремещаются в прос-

транстве по некоторо-

му закону

е

Нелинейчатые

Незакономерные

поверхности:

образующая - кривая

Р

поверхности:

линия (сферическая,

образующие перемеща-

эллипсоидная и т.д.)

ются в пространстве

произвольно

Рис. 11.16

Ëèñò 1

195

11.Поверхности1.1. Поверхностис однойс однойнаправляющейнаправляющей(закономерные,закономерныеразвертываемые), развёртываемые)

Цилиндрические

Конические

t"

фронтальный

S"

S"

V1"

след пов-сти

направление

(A")

t"

V2"

образующих

S"

2"

V3"

t"

1"

3"

n"

(B")

n"

x

направляющая

образующая

n'

n(n', n")

B"-?

кривая n

3'

n'

A'

S'

1'

B'

2'

S'

t'

t'

t'

S'

A'-?

à

á

У

Рис.

11.1.1

Рис. 11.1.2

Торс - поверхность с ребром возврата

Т