Начертательная геометрия

Лекция 1

МЕТОД ПРОЕКЦИЙ. ОБРАЗОВАНИЕ ЧЕРТЕЖА ПО Г. МОНЖУ.

ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ

Метод проекций .

Проекции центральные и параллельные. Па-

раллельное прямоугольное (ортогональное) проецирование. Свойства па-

раллельного проецирования. Метод Г. Монжа.

Метод проекций предполагает наличие плоскости проекций, объекта

проецирования и проецирующих лучей. Проекции могут быть централь-

ными и параллельными. Если все проецирующие лучи проходят через од-

ну точку, называемую центром проекций S, то проекции называются цент-

ральными. Если проецирующие лучи параллельны между собой, то проек-

ции называются параллельными.

У

На рис. 1.1, а показано построение центральных проекций точек A и B

Т

(объекты проецирования) на некоторую плоскость проекций H. Проеци-

рующие лучи, проведенные через центр проекций точку S и заданные точ-

ки A и B, пересека-

Центральное проецирование

ПараллельноеНпроецирование

ются с

плоскостью

Центр

БНаправление

проекций H и опре-

проекций

S

деляют

центральные

Проецирующие

Bй

проецирования

проекции А' и В' то-

лучи

Объект

B

Объект

проецирования

чек A и B.

проецирования

и

A

На рис. 1.1, б по-

A

Проецирующие

лучи

казано построение па-

Пр екция

р

Проекция

раллельных проекций

AB

отрезка AB

точек А и В (объекты

оA'

A"

B"

проецирования) по за-

B'

Плоскость

H

данному

направле-

Плоскос

ь

H

проекций

нию проецирующ х

проекц й

а

б

отрезка

Рис. 1.1

лучей S на некото-

и

рую плоск сть пр ек-

ций H. В результатезпроецирования на плоскости проекций α построены

параллельные р екции А' и В'

взятых в пространстве точек А и В.

За омните! Проекцией точки называется точка пересечения проеци-

рующ го луча с плоскостью проекций.

п

Со динив прямой линией взятые точки А и В мы получим отрезок АВ,

а со динив прямой линией построенные проекции точек мы получим цен-

е

тральную (рис. 1.1, а) и параллельную (рис. 1.1, б) проекции отрезка АВ на

плоскости проекций H.

РПараллельные проекции могут быть прямоугольными (ортогональны-

ми) или косоугольными:

– если проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций,

то проекции (или проецирование) называются прямоугольными (ортого-

нальными);

10

-y

V

A"

xA

Az

yA

V

A"

Az

yA

W

y

A"'

-H

A

W

Линия

zA

A

A"'

zA

связи

II

т

I

zA

x

Ax

x

-x

x

A

x

xA

O

Ay

иA O

y

III

yA

yA

Ay

IV

зA'

yA

Линия

H

связи

о-V

y

п

-z

-W

H

A'

Ay

е

Параллелепипед координат

y

а

б

Р

Рис. 1.2

Плоскости проекций, пересекаясь в пространстве, делят пространство

на восемь частей, которые называют октантами. Слева от плоскости про-

екций W располагаются 1, 2, 3 и 4 октанты, пронумерованные против ча-

совой стрелки. Для получения изображений предмет располагают в 1-м ок-

– координата xА(OAx) – расстояние от плоскости проекций W (абс-

цисса);

й

– координата yА(Ax A') – расстояние от плоскости проекций V (орди-

ната);

ажения

ката).

– фронтальная плоскоспроекций V сохраняет свое положение;

Чтобы перейти от наглядного изоб

системы трех плоскостей

проекций H, Y и W и получить че теж (эпюр), плоскости проекций пер-

оси проекций x вн

;

плоскость

вого октанта повертывают

н сительноркоординатных осей и совмещают

с фронтальной плоскос ью

екций V следующим образом:

и

з

проекций Н поворачивают относительно

– горизонтальную

–

профильную

плоскость проекций W поворачивают относительно

оси проекций z вправо.

п

На чертеже (см. рис. 1.2, б) координатные оси проекций располагают

следующим

браз м:

– ось x – горизонтально;

Р

– ось z – вертикально;

На рис. 1.2, б показано построение чертежа произвольной точки А, за-

данной на рис. 1.2, а, положение которой в пространстве определяют коор-

динаты xA, yA и zA. Для построения чертежа этой точки выполнены следу-

ющие графические действия:

– влево от точки О по оси x отложен отрезок ОAx – координата xA;

– вниз от точки Ax отложен отрезок AxA' – координата yA (отрезок AxA'

на чертеже в 2 раза больше, чем на наглядной картине) и построена гори-

зонтальная проекция А' точки А.

– вверх от точки Ax отложен отрезок AxA" – координата zA и построена

фронтальная проекция А" точки А.

!!! Запомните! Горизонтальная A' и фронтальная A" проекции точки

лежат на

одной

вертикальной линии , перпендикулярнойУоси x,

которая называется линией связи.

Чтобы построить профильную A'" проекцию точки, следуетТпровести

горизонтальную линию связи, перпендикулярную оси проекций z, и отло-

жить от полученной точки Az отрезок AzA'", равный координате yA (или

Н

отложить от точки О вправо по оси y отрезок OAy = yA и провести верти-

кальную линию до пересечения с линией связи от фронтальной проекции

точки А(A").

Б

!!! Запомните! Фронтальная A"

проф льная A'" проекции точки ле-

жат на

одной

горизонтальной

л

н

и связи , перпендику-

лярной оси проекций z.

й

z

На

рис.

1.3 показано

оение че тежа

Bz

B"

y

B"'

и

точки В(20,10,25) по заданным (в ск бках) коор-

динатам x, y и z в миллиме рах. Выпрлнены сле-

z=25

дующие графические пос р ения:

– проведены оси коордпостx, y и z на поле

x

Bx

x=20

O

y

чертежа;

нат

y=10

– от точки О влево отложен отрезок OВx –

координата x = 20 ммичерез точку Вx проведена

B'

y

вертикальная линия свя и;

x

y z

– вниз

з

Точка B(20,10,25)

т т чки Вx по линии связи отложен

ВxВ' – к рдината y = 10 мм и построена

Рис. 1.3

о

горизонтальная проекция B' точки В;

– вв рх от точки Bx по линии связи отложен отрезок BxB" – координа-

п

та z = 25 мм и построена фронтальная проекция B" точки В;

– проведена горизонтальная линия связи от фронтальной проекции B";

отрезок

отложен вправо отрезок BzB"' = 10 мм, равный коорди-

– от точки Bz

нате yB, и построена профильная проекция B"' точки В.

Р

Структуризация материала первой лекции в рассмотренном объеме

схематически представлена на рис. 1.4 (лист 1). На последующих листах 2

и 3 повторно приведены иллюстрации к этой схеме, способствующие за-

креплению изученного материала и его быстрому визуальному повторе-

нию (рис. 1.5 и 1.6).

Метод проекций. Образование чертежа по Г. Монжу.

Проекции точки

Метод проекций

Центральные

Параллельные

У

проекции

проекции

Т

Ðèñ. 1.5, à

Прямоугольные

Построение

Косоугольные

(ортогональные)

перспективы

проекции

проекции

Метод Г. Монжа

Ðèñ. 1.5, á

Ðèñ. 1.5, â

Построение

Косоугольные

Б

теней

аксонометричес

Система 3-х

Прямоугольные

на чертежах

кие проекции

взаимоперпенди

аксонометричес

(рассматриваются

кулярных

Нкие проекции

в лекции 10)

плоскостей

(рассматриваются

в лекции 10)

и

Ðèñ. 1.6,

à, á

Точка в системе 3-х

взаимоперпендикуляр

р

ных плоскостей

о

йH, V è W

Ðèñ. 1.6,

â, ã

Эпюр Г. Монжа –

проекционный

чертеж

Ðèñ. 1.6, ä, å

Аппарат проецирования: объект проецирования; плоскость проекций; направление

проецирующих лучей.

т

Проекции называют центральными, если проецирующие лучи исходят из одной точки,

о

называемой центром проекций S.

Проекции называютипараллельными, если проецирующие лучи параллельны (центр

п

проекций удален в бесконечность).

Параллельныезпроекции могут быть:

• Косоугольными, если проецирующие лучи не перпендикулярны плоскости проекций.

е

• Прямоугольными, если проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций.

На чертеже:

Точки обозначаются прописными буквами латинского алфавита A, B, C, … и т.д., или

Р

арабскими цифрами 1, 2, 3, … и т.д. Проекции точек обозначаются теме же буквами, или

цифрами, но со штрихами: A(A',A'',A''') и т.д.;

1(1',1'',1'''), 2(2',2'',2''')

è ò.ä.

Линии обозначаются строчными латинскими буквами: l, k, m, n и т.д. Их проекции

обозначаются теме же буквами, но со штрихами: l(l',l'',l'''), k(k',k'',k''') и т.д.

Плоскости обозначаются греческими буквами: α, β, φ, δ и т.д. Их проекции

обозначаются теме же буквами, но со штрихами: α(α',α'',α'''), β(β',β'',β''') и т.д.

У

Т

Н

à

Б

й

Параллельное проецирование

Косоугольное параллельное

и

Метод Г. Монжа:

проецирование имеет место

прямоугольное (ортогональное) параллельное

ïðè φ≠90°

р

проецирование на взаимоперпендикулярные

о

плоскости проекций

т

и

з

о

п

е

Прямоугольное (ортогональное)

параллельное проецирование имеет

место при φ=90°

Р

á

â

Ëèñò 2

У

Т

Н

Б

à

á

й

и

р

о

т

и

ã

з

â

п

е

о

14"

Р

å

ä

Лекция 2

ПРОЕКЦИИ ПРЯМОЙ. ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ ОТНОСИТЕЛЬНО

ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ.

СПОСОБ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА.

ТЕОРЕМА О ПРОЕКЦИИ ПРЯМОГО УГЛА

Прямая. Прямые общего и частных положений отно-

сительно плоскостей проекций. Определение натуральной величины от-

резка общего положения. Понятие о следах прямой.

Относительно плоскостей проекций H, V и W прямые линии могут за-

нимать различные положения и имеют соответствующие наименования,

а на чертежах проекции этих прямых занимают относительно осей проек-

У

ций x, y и z характерные положения. Следовательно, по чертежу прямой

линии можно мысленно представить ее пространственное положение от-