Начертательная геометрия

Б. Решение задачи, то

есть

введение

вспомогатель-

ных сфер-посредников начи-

наем на фронтальной проек-

ции предмета, так как общая

плоскость симметрии являет-

ся фронтальной

плоскостью

У

уровня и точки A(A"), B(B"),

C(C")

и

D(D")

пересечения

фронтальных очерков принад-

лежат линии пересечения.

В. Определяем

границы

введения сфер – это точки

Т

C(C")

и

D(D")

пересечения

фронтальных очерков пересе-

Н

кающихсягеометрическихтел.

Построить

проекции

то-

Б

чек

линии пересечения,

вы-

полнив

действия

предложен-

й

ногографическогоалгоритмаI.

1-е действие. Ввести на

фронтальной проекции вспо-

и

могательную сферу-посредник

минимального радиуса R1min,

р

с центром в точке O(O"), впи-

Рис. 8.13

санную в тороид (

-

ная сфера-посредн к должнаовписываться в одну из поверхностей, а с дру-

гой поверхностью – пересекаться).

2-е действие. Постро ть проекции вспомогательных окружностей пе-

ресечения двух пар соосных поверхностей, образованных сферой-посред-

ником с кажд й

минималь

аданной поверхностью:

–

ервая

з

ара с осных поверхностей – сфера-посредник и тороид –

имеют г риз нтальную общую ось i1" и пересекаются по окружности каса-

о

ния n1", которая проецируется в прямую линию (совпадает с осью конуса);

– вторая пара соосных поверхностей – сфера-посредник и конус имеют

п

вспомо-

в ртикальную общую ось вращения i2" и пересекаются по д в у м

гательным окружностям m1", которые проецируются в прямые линии;

3-е действие. Определить точки 1(11") пересечения построенных про-

екций вспомогательных окружностей m1" и n1", которые принадлежат ис-

Р

комым линиям пересечения (по две пары совпадающих точек).

!!! Здесь имеет место случай полного проницания (II случай), и линия

пересечения распадается на д в е замкнутые кривые.

131

зонтальной проекциях предмета плавными кривыми линиями с учетом их

видимости на проекциях (только линия пересечения D'-3'-2'-11'-C' будет

невидимой на горизонтальной проекции предмета).

Т

5-е действие. Оформить очерки поверхностей на заданных проекциях

предмета с учетом их относительной видимости.

У

имеют р а з н ы е ц е н т р ы , которые и нужно определять в процессе

построения проекций линии пересечения поверхностей. Н

й

Способ вспомогательных эксцентрических сфер для построения линии

пересечения поверхностей возможно применять приБналичии трех следую-

щих графических условий:

и

1. Пресекаются:

р

– поверхности вращения 4-го по ядка, т. е. торовые поверхности – от-

сечения.

2. Общая плоскос ь

симме рии поверхностей является плоскостью

уровня.

о

3. Оси поверхнос ей пересекаются или скрещиваются.

т

Поскольку в этом способе центр каждой вспомогательной сферы нуж-

но определять графическими построениями, первое действие графического

и

алгоритма для п стр ения проекций точек линии пересечения дополняется

з

построением центра каждой вспомогательной сферы.

Поряд к графических действий для построения линий пересечения спо-

о

собом вс омогательных эксцентрических сфер показан на двух примерах.

На рис. 8.14 показан пример построения проекции линии пересечения

п

профильно-проецирующего цилиндра с поверхностью четвертой части от-

крытого тора. Задача решается способом вспомогательных эксцентриче-

е

ских сфер, так как здесь соблюдены три необходимых условия для приме-

нения этого способа:

Р– одна из пересекающихся поверхностей – открытый тор, имеющий

– общая

плоскость

симметрии

поверхнос-

тей – фронтальная плос-

кость уровня (подразуме-

вается),

поэтому

точка

A(A") пересечения

фрон-

тальных очерков принад-

У

лежит искомой линии пе-

ресечения;

– оси

поверхностей

iц и iт скрещиваются.

Построение проекций

Н

точек линии пересечения

Т

поверхностей выполняет-

Рис. 8.14

ся на заданной фронталь-

тально-проецирующей плоскостью αV1,

п оходящей через его ось i"т; ок-

Графический алгоритм II.

1-е действие. Ввести вспомогательную сферу, Бвыполнив предваритель-

но следующие графические действия.

и

1.1. Задать произвольное

сечен поверхности тора фрон-

круговое

ружность t1-t2, (ее проекция – п ямая л н я t"1-t"2) – это заданная линия пе-

о1 2

ресечения тора с искомой всп м гательной сферой, центр которой должен

т

лежать на перпендикуляре к пр екции этой окружности – прямой t"1-t"2

(хорда окружности, в ко орую пр ецируется вспомогательная сфера).

и

1.2. Провести к прямой t" -t" через ее середину перпендикуляр k" и на

его пересечении с осью ц л ндра i"ц определить центр первой вспомога-

тельной сферы – точку O"1.

1.3.

Провести

окружность – проекцию вспомогательной сферы-посред-

ника – с центр м

точке O"1, радиус которой Rсф.1 определяется расстоя-

п

точки 2 и 3, принадлежащие линии пересечения. Причем в плоскости αV3

окружности сечений совпадают и совпадающие точки 3 делят существова-

ние этих окружностей на две половины – верхняя часть принадлежит ци-

линдру, а нижняя – тору.

5-е действие. Соединить на фронтальной проекции точки A"-1"-2"-3"

линии пересечения плавной видимой кривой.

6-е действие. Оформить очерки поверхностей на заданной проекции.

На рис. 8.15 показан пример построения линии пересечения наклон-

ного кругового цилиндра Ц1 с осью i"1 и наклонного эллиптического ци-

линдра с осью i"2, у кото-

У

рого есть круговые сечения

в горизонтальных

плоскос-

тях уровня.

Т

Выполнить графический

анализ условия и исключить

Н

нерациональный способ ре-

шения задачи.

Б

Рассмотренный способ

вспомогательных

секущих

й

плоскостей применять не сле-

дует,

так

как

на

заданной

фронтальной

проекции

ни

и

одна

плоскость уровня

не

пересекает поверхности

д-

р

новременно по окружнос ям

или

образующим

(одно

о

Рис. 8.15

условий применен я).

Рассмотренный способ вспомогательных концентрических сфер при-

т

менять нельзя, так как проведенные сферы с центром в точке пересечения

осей образуют соосные пары только с одной заданной поверхностью Ц1

из

(одно из усл вий применения).

з

Выбираем для решения задачи способ вспомогательных эксцентриче-

ских

, так как здесь соблюдены три условия его применения:

–

о

р секаются наклонный круговой цилиндр Ц1 и эллиптический ци-

линдр Ц2 (поверхность не вращения);

п

– общая плоскость симметрии поверхностей является фронтальной

плоскостью уровня (подразумевается);

сфер

и i2 – пересекаются.

Р

– оси поверхностей i1

ешение задачи, то есть введение сечений цилиндра Ц2 (параллельных

заданному) горизонтальными плоскостями уровня α, начинаем на фрон-

тальной проекции предмета, так как общая плоскость симметрии является

фронтальной плоскостью уровня и точки A(A") и B(B") пересечения фрон-

тальных очерков принадлежат линии пересечения.

Графический алгоритм II.

1-е действие. Ввести вспомогательную сферу, выполнив предваритель-

ные графические действия.

У

1.1. Задать произвольное круговое сечение эллиптического цилиндра Ц2

Т

горизонтальной плоскостью αV1 – прямую t1-t2. Эта заданная линия t1-t2 –

окружность пересечения эллиптического цилиндра с искомой вспомога-

тельной сферой, центр которой лежит на перпендикуляре, проведенном из

середины этой прямой.

1.2. Провести к прямой t1-t1 через ее середину перпендикуляр k" и на

пересечении с осью i1 кругового цилиндра Ц1

определить точку О1 – центр

первой вспомогательной сферы-посредника.

Н

одной

1.3. Провести окружность сферы-посредника радиусом Rсф.1, который

определяется расстоянием от точки О"1 до

Биз точек t"1 или t"2 пря-

3-е действие. Определить на пе есечениизаданной окружности t1"-t2"

мой t1-t2.

2-е действие. Построить проекц ю окружности пересечения сферы-

р

посредника с соосной ей поверхностью к угового цилиндра Ц1 – это пря-

мая s1-s2, проходящая через

пе есечен я очерков сферы и цилиндра.

точки

т

и построенной окружности s1"-s2" с впадающие точки 1(1"), принадлежа-

щие искомой линии пересечения.

и

Дополнительные дейс вия.

4-е действие. Пов ор

ь действия графического алгоритма II и пост-

роить проекции точек 2(2");

5-е действие. Соед н ть на фронтальной проекции точки А"-1"-2"-B"

линии пересечения плавной видимой кривой.

п

6-е действиез. Оформить очерки поверхностей на заданной проекции.

Структуризация материала восьмой лекции в рассмотренном объеме

схематич

ескиоредставлена на рис. 8.16 (лист 1). На последующих листах

2–5 рив дены иллюстрации к этой схеме для быстрого визуального за-

Р

кр пл ния изученного материала при повторении (рис. 8.17–8.20).

Пересечение поверхностей

У

Ðèñ. 8.17, à

Т

Ðèñ. 8.17, à

Н

Ðèñ. 8.17, á

Б

Ðèñ. 8.19,

à

Ðèñ. 8.17, á

Ðèñ. 8.18, à

й

и

Ðèñ. 8.19, á

р

о

Ðèñ. 8.20

Ðèñ. 8.19,

à

т

и

Ðèñ. 8.18, á

з

о

Ðèñ. 8.18, á

п

е

Р

Рис. 8.16

Ëèñò 1

136

Пересечение поверхностей

Частный случай 1. Обе пересекающиеся поверхности проецирующие

Фронтальная проекция линии

пересечения - дана на чертеже

1''

2''

3''

3'''

У

5''

4''

5'''

4'''

Профильная проекция линии

Т

пересечения - построена

Горизонтальная проекция линии

Н

пересечения - дана на чертеже

1'

5'

2'

4'

3'

Рис. 6à.1.

Б

Част чное врезан е (линия пересечения -

замкнутая пространственная линия)

Частный случай 2.

й

Одна из двух пе есекающ хся поверхностей проецирующая

и

Фр нтальная п

екция

линии пе есечения -

дана на

чертеже

2''

3''

о

3'''

4''

2''' 4'''

1''

т

1'''

5'''

5''

6'''

8'''

6''

8''

7''

7'''

и

з

Профильная проекция линии

о

пересечения - построена

Горизонтальная проекция

линии пересечения - построена

п

е

1

3

5

2

4'

2'

4

Р

8

7

6

Рис. 6á.2. Полное проницание (линия пересечения - две замкнутые

пространственные линии)

Пересечение поверхностей

Частный случай 3. Соосные поверхности вращения (с общей осью i)

i1''- общая ось

прямые (проекции

окружности)

i2 - общая ось

У

прямые (проекции

прямые

окружности)

(проекции окружности)

Т

Рис. 6à.3.

Н

Соосные поверхности пересекаются по

окружностям, которые проецируются в прямые

линии, перпендикулярные общей оси вращения i.

Б

Частный случай 4. Пересечение поверхностей

я 2-го порядка, описанных вокруг сферы

й

я

и

и

н

)

и

л

я

(

и

с

н

(

е

п

ч

л

и

е

и

л

н

с

э

i1

л

е

и

окружность

касания

э

вращен

я

л

е

л

п

и

п

е

п

р

с

е

С

с

С

е

ч

е

н

А

n''

К1

К2

ия

А

)

о

окружность

n

касания

i2

К2

К1

О

N

N

M

D

т

D

и

Е

F

F

Е

з

В

сфера

линия n, содиня-

N

ющая точки

касания

M

вписаная

К2

е