Начертательная геометрия

чине фронтальной проекции E"F", и отрезок E'No, равный по величине E"N";

Н

– соединить прямой точки Fo и F' на горизонтальной проекции; У

– из

построенной точки No

провести

прямую, параллельную

пря-

мой FoF', – точка N' и будет искомой.

Б

Т

Прямые

проецирующие – перпендикулярные одной плоско-

сти проекций (параллельные двум плоскостям проекций):

– фронтально-проецирующие прямые – перпендикулярные плоскости

й

проекций V (параллельные плоскостям проекций H и W);

– горизонтально-проецирующие – перпендикулярные плоскости про-

оеци

W);

екций H (параллельные плоскостям проекц

V

ецируется

– профильно-проецирующие прямые – перпендикулярные плоскости

проекций W (параллельные плоскостям п оекц й H и V).

!!!

Поскольку положение

п

ующих

прямых совпадает

по

направлению с проецирующим луч м к одной из плоскостей проекций, то

т

(вырождается) в точку. Говорят,

одна из проекций прямых пр

что проецирующие прямые

бладают «собирательным» свойством, так как

и

очки«собирают», то есть представляют собой

их вырожденные проекц -

з

проекции всех точек, лежащ х на этих прямых.

На рис. 2.5 ображены проекции фронтально-проецирующей прямой

о

CD и принадлежащей ей точки N. Запомните характерные признаки распо-

ложения

екций фронтально-проецирующей прямой на чертеже:

пр

– фр нтальная проекция CD(C"D") представляет собой точку, т. е.

фронтальные

р екции точек C, D и N совпадают как лежащие на одном

е

про цирующем луче к плоскости проекций V;

Р

– горизонтальная проекция C'D' расположена перпендикулярно оси

про кций x и определяет натуральную величину прямой;

мости»: ближе к наблюдателю и дальше от плоскости V (с наибольшей ко-

ординатой y) находится точка D, затем точка N и точка C.

z

Н.в.

z

D"≡N"≡C"

C"'

N"'

D"'

V

yС

yN

W

D"≡N"≡C"

x

y

C"'

С

C

C'

y

N

N"'

N

x

Н.в.

y

D"'

CD V – фронтально-

D

C'

N'

D'

N'

проецирующая прямая У

D'

C, D и N – конкурирующие

H

y

точки

Т

V

y

Н

а

Рис. 2.5

б

Б

На рис. 2.6 изображены проекции горизонтально-проецирующей пря-

мой AB и принадлежащей ей точки C. Запомн те характерные признаки

расположения проекций горизонтально-проец

прямой на чертеже:

рующей

– горизонтальная проекция AB(A'B') представляет собой точку, т. е.

горизонтальные проекции т чек A, B ииC совпадают как лежащие на одном

проецирующем луче к плоск сти п

екций H;

р

– фронтальная проекция A"B" расположена перпендикулярно оси x

и определяет натуральную величину прямой;

– профильная проекц

о

A"'B"'

по построению располагается парал-

лельно оси z и также определяетнатуральную величину прямой.

иz

Vз

H

z

W

A"

yA,B

A"'

A"

C"

C"'

о

п

С"

A

A"'

Н.в.

Н.в.

C"'

B"

B"'

е

B"

С

x

O

y

x

Р

B

A,B

B"'

AB H –

y

A'≡C'≡B'

горизонтально-

A'≡C'≡B'

проецирующая

y

прямая

y

а

Рис. 2.6

б

21

E"

M"

F"

yE,F

E

M

E"'≡M"'≡F"'

x

O

y

x

F

E,F

EF W –

y

Б

E'

профильно-

F'

проецирующая

'E'

M'

F'

Н.в.

y

прямая

H

y

й

а

и

б

Рис. 2.7

р

Определение по чертежу натуральной величины

отрезка прямой общего

положения

способом прямоугольного треуголь-

ника и углов ее наклонатк плоскостям проекций H и V.

Натуральной вел ч

ной заданного на чертеже отрезка прямой об-

щего положения является гипотенуза построенного прямоугольного тре-

и

угольника, дним катетом которого может быть горизонтальная (или фрон-

тальная)

з

р екция

трезка, а вторым катетом этого треугольника будет

разница к рдинат ∆z (или ∆y) конечных точек этого отрезка относитель-

о

но оси ро кций x.

На рис. 2.8 показано построение натуральной величины заданного от-

п

р зка AB способом прямоугольного треугольника относительно фронталь-

ной и горизонтальной его проекций, для чего выполнен следующий графи-

е

ческий алгоритм (графические действия):

1-е действие. Провести перпендикулярную линию m к фронтальной

Р

проекции AB(A"B") отрезка.

2-е действие. На этой прямой линии отложить отрезок A"Ao, равный

разнице координат ∆y конечных точек А(А') и В(B') отрезка относительно

оси проекций x.

3-е действие. Достроить гипотенузу AоB" треугольника, которая опре-

деляет искомую натуральную величину отрезка АВ.

z

A"

Н.в.

Натуральная

A"

величина AB

m

A

Bo

(гипотенуза)

φ

φV

Bo

V

∆y

z

∆y

∆z

φV

∆

B"

У

x

B"

x

∆z

A'

φH

B

A'

Ao

Н.в.

φH

∆y

∆z

∆y

B'

Ao

φH

Т

y

n

Натуральная

B'

величина AB

а

б

(гипотенуза)

Н

Рис. 2.8

Б

Аналогичные построения выполнены относительно горизонтальной

проекции отрезка A'B' – гипотенуза А'Bо

также определяет натуральную

величину заданного отрезка.

й

В построенных прямоугольных т еугольниках углы между проекция-

ми отрезка и гипотенузой

и

пределяют углы наклона прямой к плоскостям

проекций H и V:

р

– угол φV между фрон альн й пр екцией A"B" отрезка и гипотенузой

AoB" определяет наклон о резкаок плоскости проекций V;

– угол φH между гор зонтальной проекцией A'B' отрезка и гипотену-

т

зой A'Bо определяет наклон отрезка к плос-

Натуральная

кости проекций H.

и

25 мм

величина AK

Kо

!!!

В задачах

по

начертательной гео-

Bо

метрии

з

A"

∆y

требуется построить на пря-

мой общего

л жения, не имеющей второй

часто

B"

K"

n"

кон чной точки, проекции отрезка какой-

Гипотенуза

либо заданной величины.

x

п

На рис. 2.9 показано построение на пря-

мой n с одной конечной точкой A проекций

n'

е

отрезка AB заданной величины 25 мм, для

K'

чего выполнен следующий графический ал-

y

B'

Р

∆

горитм (графические действия):

1-е действие. Ограничить прямую n про-

A'

A"B" и A'B' – проекции

извольным отрезком АК(А'K', A"K").

отрезка величиной 25 мм

2-е действие. Построить натуральную

Рис. 2.9

величину произвольного отрезка АК спосо-

бом прямоугольного треугольника относительно, например, фронтальной

проекции A"K" – это гипотенуза – A"Kо (см. рис. 2.9).

3-е действие. На построенной натуральной величине A"Ko (гипотену-

зе) от точки A" отложить отрезок равный 25 мм и построить точку Bо.

4-е действие. Из построенной точки Bо провести перпендикуляр на

проекцию n" заданной прямой n и получить точку B", т. е. построить фрон-

тальную проекцию А"В" отрезка АВ заданной величины 25 мм; по линии

связи определить горизонтальную проекцию B' точки B, т. е. построить го-

ризонтальную проекцию А'В' отрезка АВ заданной величины 25 мм.

Понятие о следах прямой

Следами прямой называются точки ее пересечения с плоскостями про-

У

екций. На рис. 2.10 показано построение на чертеже фронтального и гори-

зонтального следов прямой АВ и определено прохождение прямой по ок-

тантам пространства: из IV через I во II.

Т

Н

II октант

II октант

Фронтальный

Фронтальный

след

lV≡lV''

след

Б

B"

I октант

йA"

l"

B"

lV≡lV''

V

B

l"

l

x

lH''

I октант

A"

lV'

и

lV'

A

l'

B'

B'

р

lH''

l'

A'

x

о

IV октант

A'

H

lH≡lH'

lH≡lH'

III октант

Гор

зонтальный

IV октант

Горизонтальный

след

след

а

и

Рис. 2.10

б

з

В з а и м н е п о л о ж е н и е д в у х п р я м ы х

Две

о

рямые в пространстве могут быть параллельными, пересекаться

п

или скр щиваться. Запомните характерные признаки расположения на чер-

т

про кций двух различно расположенных прямых.

же

Параллельные прямые. Если прямые в пространстве параллельны, то

их одноименные проекции на чертеже также параллельны. На рис. 2.11

Ризображены параллельные прямые AB и CD. На чертеже фронтальные

и горизонтальные проекции прямых параллельны: A"B"//C"D" и A'B'//C'D'.

Пересекающиеся прямые. Если прямые в пространстве пересекаются,

то на чертеже проекции точки пересечения прямых лежат на одной линии

связи. На рис. 2.12 изображены проекции пересекающихся прямых EF и KN.

Проекции точки их пересечения M(M",M') лежат на пересечении одноимен-

ных проекций прямых и на одной линии связи.

z

B"

V

D"

B"

D"

A"

У

C"

B

D

A"

C"

B'

D'

A

C

x

B'

D'

A'

H

A'

C'

C'

AB // CD

y

Т

Знак

параллельности

а

Н

б

Рис. 2.11

Б

z

й

V

и

K"

K"

р

M"

F"

E"

M"

F"

N"

E"

K

оN"

F

N'

тN

M'

x

E

E'

F'

N'

иE'

K'

EF ∩ KN

з

M'

F'

Знак

о

H

K'

y

пересечения

п

а

Рис. 2.12

б

е

Скрещивающиеся прямые.

Если две прямые не параллельны и не пе-

Рресекаются, то они в пространстве скрещиваются. На чертеже их проекции

могут накладываться, образуя конкурирующие точки, лежащие на одном

проецирующем луче. На рис. 2.13 изображены проекции двух скрещиваю-

щихся прямых АВ и CD. Их одноименные проекции накладываются и об-

разуют четыре конкурирующие точки (2 пары):

1"

3"≡4"

z1

2"

B"

2"

A

B"

D

z2

1 4

x

C"

C"

3

B

Н B'

C

x

2

B'

y4

4'

Б

y3

C'

1'≡2'

3'

D'

4'

A'

C'

H

y

1'≡2'

3'