- •Основные определения, краткая история развития науки
- •2. Жидкость. Гипотеза сплошности среды. Основные физические величины
- •5. Гидростатическое давление и его свойства. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости. Поверхности равного давления
- •1. Гидростатическое давление направлено по внутренней нормали к площадке, на которую оно действует. Если поверхность криволинейная, то давление направлено нормально к касательной этой поверхности.
- •2. Гидростатическое давление в точке жидкости одинаково по всем направлениям или, иначе, гидростатическое давление не зависит от ориентации площадки, на которую оно действует;
- •3. Гидростатическое давление зависит от координат (от положения) рассматриваемой точки внутри жидкости и от внешнего давления, приложенного к свободной поверхности жидкости.
- •6. Абсолютный и относительный покой жидкости
- •7. Закон Паскаля. Эпюры давления. Силы давления жидкостей на плоские и криволинейные поверхности
- •8. Способы описания движения жидкости, потоки жидкости
- •9. Дифференциальные уравнения движения невязкой жидкости (уравнение Эйлера), уравнение Бернулли для установившегося движения несжимаемой жидкости, энергетическая интерпретация уравнения Бернулли
- •10. Напряжения в движущейся вязкой жидкости, уравнение Бернулли для реальной вязкой жидкости, режимы движения жидкости
- •11. Моделирование гидродинамических явлений. Теория подобия
- •12. Критерии гидродинамического подобия
- •13. Классификация потерь напора, равномерное и неравномерное движение. Потери напора при равномерном движении жидкости. Ламинарный режим
- •14. Потери напора при равномерном движении жидкости. Турбулентный режим движения жидкости
- •15. Потери напора при неравномерном движении жидкости
- •16. Расчет простых трубопроводов
- •17. Гидравлический расчет длинного трубопровода постоянного диаметра
- •18. Расчет трубопровода с последовательным соединением, параллельным, разветвленным, с непрерывной раздачей жидкости
9. Дифференциальные уравнения движения невязкой жидкости (уравнение Эйлера), уравнение Бернулли для установившегося движения несжимаемой жидкости, энергетическая интерпретация уравнения Бернулли
Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости (уравнения Эйлера):
Уравнение Бернулли для струйки невязкой жидкости:
В данном уравнении все члены представляют собой энергию, отнесенные к единице веса, т. е. удельные энергии.
Уравнение справедливо для любого сечения элементарной струйки.
Уравнение Бернулли для струйки невязкой жидкости двух сечений:
(***)
Из уравнения Бернулли видно, что чем больше скорость и, тем меньше гидродинамическое давление р, и наоборот.
Уравнение Бернулли для струйки вязкой жидкости
При движении вязкой (реальной) жидкости часть энергии затрачивается на сопротивление движению, вызываемое трением в жидкости и другими видами сопротивлений.
В результате частица жидкости, придя из первого сечения во второе, будет обладать меньшим запасом механической энергии по сравнению с первым сечением.
Это выражается следующим неравенством:
При такой записи уравнения Бернулли затраченную часть энергии необходимо выразить с помощью линейной величины h′ω , представляющей собой потерю удельной энергии частицы жидкости при движении от первого до второго сечения.
Поэтому уравнение Бернулли для струйки принимает вид:
(****)
Затраченная часть механической энергии на сопротивление движению переходит в тепловую энергию. Этот необратимый процесс называется диссипацией энергии.
Геометрический и энергетический смысл уравнения Бернулли для струйки
Поскольку все члены уравнений (***) и (****) имеют размерность длины, они могут быть легко проиллюстрированы геометрически.
Изобразим элементарную струйку и выделим в ней два сечения (см. рис.).
Ось трубки является линией тока и траекторией при установившемся движении.
Геометрический и энергетический смысл членов z и р/γ рассмотрены в гидростатике.
На рис. показаны геометрические высоты z (геометрические напоры) относительно горизонтальной плоскости сравнения, след которой обозначен 0 - 0.
В каждой точке линии тока отложим вверх пьезометрические высоты. Соединив концы отрезков, изображающих эти высоты, плавной кривой, получим линию, называемую пьезометрической. Одновременно эта линия изображает изменение гидростатического напора z + р/γ.
Третий член уравнения Бернулли имеет размерность длины.
Величину u2/2g называют скоростной высотой или скоростным напором.
Отложим эти отрезки вверх от пьезометрической линии.
Если рассматривать невязкую жидкость, то верхние концы отрезков должны находиться на линии е - е, параллельной линии 0 – 0.
Рис. Геометрическая и энергетическая интерпретация уравнения Бернулли для струйки вязкой жидкости
Полный (гидродинамический) напор - сумма пьезометрического и скоростного напоров.
Различают гидродинамический напор при абсолютном давлении и избыточном (избыточный гидродинамический напор).
Геометрический смысл уравнения Бернулли для струйки невязкой жидкости -гидродинамический напор остается постоянным по длине струйки.
Иначе - линия, соединяющая верхние концы гидродинамических напоров, расположена в горизонтальной плоскости, след которой на рис. обозначен е - е.
Кинетическая энергия частицы, имеющей массу т, равна т и2/2. Отнеся её к единице веса, т. е. тg, получим:
Удельная кинетическая энергия частицы - кинетическая энергия частицы жидкости, отнесенная к единице её веса, количественно равная ек.
Энергия движущейся частицы жидкости, отнесенная к единице её веса и условной горизонтальной плоскости, количественно равная е = еп + ек, называется удельной энергией частицы, где еп - удельная потенциальная энергия частицы.
Поскольку удельная энергия выражается в единицах длины, то полная удельная энергия е равна гидродинамическому напору.
Геометрический смысл уравнения Бернулли для струйки вязкой жидкости: сумма геометрической, пьезометрической и скоростной высот уменьшается вниз по течению.
Энергетический смысл уравнения Бернулли струйки реальной жидкости - полная удельная энергия струйки вязкой жидкости убывает по длине струйки, затрачиваясь на преодоление сопротивлений.
Линию, характеризующую изменение пьезометрического напора по длине струйки, называют пьезометрической линией п — п (см. рис.).
Если представить себе пьезометры, установленные вдоль струйки, то пьезометрическая линия пройдет по горизонтам жидкости в пьезометрах.
Пьезометрическая линия может не только понижаться, но и повышаться, если площадь живого сечения струйки увеличивается.
Линию, характеризующую изменение гидродинамического напора по длине струйки, называют линией гидродинамического напора или напорной линией е — е'.
Эта линия может только понижаться.
Чтобы построить напорную линию, необходимо измерить скоростные высоты (напоры).
Напорная линия возвышается над пьезометрической на величину ек = u2/2g.
На рис. показана вертикальной штриховкой эпюра изменения удельной энергии, потерянной на сопротивление движению. В сечении 2 она равна h′ω.
Принцип действия гидрометрической трубки
Опустим в поток изогнутую под прямым углом трубку 1 (рис.) таким образом, чтобы ось нижнего колена совпадала с направлением местной скорости и, а отверстие трубки было направлено против течения.
Рис. Принцип действия гидрометрической трубки:
1 - напорная трубка Пито; 2 - напорная трубка; 3 - трубка для отсоса воздуха; 4 - статическая трубка
Если бы жидкость находилась в покое и имела свободную поверхность, то жидкость в трубке поднялась бы только до уровня свободной поверхности.
При движении жидкости под влиянием скорости уровень в трубке поднимается.
Для невязкой жидкости высота hи столба жидкости в трубке равна скоростной высоте, т. е. hи = и2/2g.
Связь между скоростью и и высотой hи использована для конструирования приборов, позволяющих измерять скорости течения жидкости, а также и воздуха, или же скорости движения тела в воде или воздухе.
Такие приборы называют гидрометрическими, или напорными, трубками.
Простейшая гидрометрическая трубка 1 (см. рис. 3.5) неудобна в работе, так как отсчет hи приходится делать в непосредственной близости от воды. Этот недостаток устраняется, если соединить в один прибор трубки напорную (динамическую) 2 и пьезометрическую (статическую) 4.
Плоскость нижнего среза статической трубки параллельна направлению скорости.
Если понизить давление в обеих трубках отсосом воздуха через трубку 3, оба уровня поднимутся, но hи при этом не. изменится. Зная hи, легко подсчитать скорость:
Различают два основных типа гидрометрических трубок:
- трубка Пито - напорная трубка Г - образной формы, открытый конец которой, имеющий обтекаемую форму, воспринимает полное давление.
- дифференциальная трубка Пито - напорная трубка Г - образной формы, состоящая из внутренней трубки, воспринимающей полное давление потока, и наружной кольцевой части воспринимающей через боковые отверстия статическое давление потока.