9. Дифференциальные уравнения движения невязкой жидкости (уравнение Эйлера), уравнение Бернулли для установившегося движения несжимаемой жидкости, энергетическая интерпретация уравнения Бернулли

Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости (уравнения Эйлера):

Уравнение Бернулли для струйки невязкой жидкости:

В данном уравнении все члены представляют собой энергию, отнесенные к единице веса, т. е. удельные энергии.

Уравнение справедливо для любого сечения элементарной струйки.

Уравнение Бернулли для струйки невязкой жидкости двух сечений:

(***)

Из уравнения Бернулли видно, что чем больше скорость и, тем меньше гидродинамическое давление р, и наоборот.

Уравнение Бернулли для струйки вязкой жидкости

При движе­нии вязкой (реальной) жидкости часть энергии затрачивается на сопро­тивление движению, вызываемое трением в жидкости и другими вида­ми сопротивлений.

В результате частица жидкости, придя из первого сечения во второе, будет обладать меньшим запасом механической энергии по сравнению с первым сечением.

Это выражается следующим неравенством:

При такой записи уравнения Бернулли затраченную часть энергии необходимо выразить с помощью линейной величины h′_ω , представ­ляющей собой потерю удельной энергии частицы жидкости при дви­жении от первого до второго сечения.

Поэтому уравнение Бернулли для струйки принимает вид:

(****)

Затраченная часть механической энергии на сопротивление движе­нию переходит в тепловую энергию. Этот необратимый процесс назы­вается диссипацией энергии.

Геометрический и энергетический смысл уравнения Бернулли для струйки

Поскольку все члены уравнений (***) и (****) имеют размерность длины, они могут быть легко проиллюстрированы гео­метрически.

Изобразим элементарную струйку и выделим в ней два сечения (см. рис.).

Ось трубки является линией тока и траекторией при установившемся движении.

Геометрический и энергетический смысл членов z и р/γ рассмотрены в гидростатике.

На рис. показаны гео­метрические высоты z (геометрические напоры) относительно горизон­тальной плоскости сравнения, след которой обозначен 0 - 0.

В каждой точке линии тока отложим вверх пьезометрические высоты. Соединив концы отрезков, изображающих эти высоты, плав­ной кривой, получим линию, называемую пьезометрической. Одновременно эта линия изображает изменение гидростатического напора z + р/γ.

Третий член уравнения Бернулли имеет размерность длины.

Величину u²/2g называют скоростной высотой или скоростным напо­ром.

Отложим эти отрезки вверх от пьезометрической ли­нии.

Если рассматривать невяз­кую жидкость, то верхние концы отрезков должны находиться на линии е - е, параллельной линии 0 – 0.

Рис. Геометрическая и энергети­ческая интерпретация уравнения Бернулли для струйки вязкой жид­кости

Полный (гидродинамический) напор - сумма пьезометрического и скоростного напоров.

Различают гидродинамический напор при абсолютном давлении и избыточном (избыточный гидродинамический напор).

Геометрический смысл уравнения Бернулли для струйки невяз­кой жидкости -гидродинамический напор остается постоянным по длине струйки.

Иначе - линия, соединяющая верх­ние концы гидродинамических напоров, расположена в горизонталь­ной плоскости, след которой на рис. обозначен е - е.

Кинетичес­кая энергия частицы, имеющей массу т, равна т и²/2. Отнеся её к единице веса, т. е. тg, получим:

Удельная кинетическая энергия частицы - кинетическая энергия частицы жидкости, отнесенная к единице её веса, количественно равная е_к.

Энергия движущейся частицы жидкости, отнесен­ная к единице её веса и условной горизонтальной плоскости, количест­венно равная е = е_п + е_к, называется удельной энергией частицы, где е_п - удельная потенциальная энергия частицы.

Поскольку удельная энергия выражается в единицах длины, то пол­ная удельная энергия е равна гидродинамическому напору.

Геометри­ческий смысл уравнения Бернулли для струйки вязкой жидкости: сумма геометрической, пьезометрической и ско­ростной высот уменьшается вниз по течению.

Энергетический смысл уравнения Бернулли струйки реальной жидкости - полная удельная энергия струйки вязкой жидкости убывает по длине струйки, затрачиваясь на преодоление сопротивлений.

Линию, характеризующую изменение пьезометрического напора по длине струй­ки, называют пьезометрической линией п — п (см. рис.).

Если представить себе пьезометры, установленные вдоль струйки, то пьезо­метрическая линия пройдет по горизонтам жидкости в пьезометрах.

Пьезометрическая линия может не только понижаться, но и повышать­ся, если площадь живого сечения струйки увеличивается.

Линию, характеризующую изменение гидродинамического напора по длине струйки, называют линией гидродинамического напора или напорной линией е — е'.

Эта линия может только понижаться.

Чтобы построить напорную линию, необходимо измерить скоростные высоты (напоры).

Напорная линия возвышается над пьезометрической на величину е_к = u²/2g.

На рис. показана вертикальной штриховкой эпюра изменения удельной энергии, потерянной на сопротивление движе­нию. В сечении 2 она равна h′_ω.

Принцип действия гидрометрической трубки

Опустим в поток изогнутую под прямым углом трубку 1 (рис.) таким образом, чтобы ось нижнего колена совпадала с направлением местной скорости и, а отверстие трубки было направлено против течения.

Рис. Принцип действия гидро­метрической трубки:

1 - напорная трубка Пито; 2 - напорная трубка; 3 - трубка для отсоса воздуха; 4 - статическая трубка

Если бы жидкость находилась в покое и имела свободную поверхность, то жидкость в трубке поднялась бы только до уровня свободной по­верхности.

При движении жидкос­ти под влиянием скорости уровень в трубке поднимается.

Для невяз­кой жидкости высота h_и столба жидкости в трубке равна скорост­ной высоте, т. е. h_и = и²/2g.

Связь между скоростью и и высотой h_и использована для конструирова­ния приборов, позволяющих из­мерять скорости течения жидкос­ти, а также и воздуха, или же скорости движения тела в воде или воздухе.

Такие приборы на­зывают гидрометрическими, или напорными, трубками.

Простей­шая гидрометрическая трубка 1 (см. рис. 3.5) неудобна в работе, так как отсчет h_и приходится делать в непосредственной близости от воды. Этот недостаток устраняется, если соединить в один прибор трубки напорную (динамическую) 2 и пьезометрическую (статическую) 4.

Плоскость нижнего среза статической трубки параллельна направле­нию скорости.

Если понизить давление в обеих трубках отсосом воздуха через трубку 3, оба уровня поднимутся, но h_и при этом не. изменится. Зная h_и, легко подсчитать скорость:

Разли­чают два основных типа гидрометрических трубок:

- трубка Пито - напорная трубка Г - образной формы, открытый конец которой, имеющий обтекаемую форму, воспринимает полное давление.

- дифференци­альная трубка Пито - напорная трубка Г - образной формы, состоящая из внутренней трубки, воспринимающей полное давление потока, и наружной кольцевой части воспринимающей через боковые отвер­стия статическое давление потока.