Алгебра множеств

Пусть F – система множеств. Если для любых выполняется операции

1) ,

2) ,

3) ,

то говорят, что в F задана алгебра множеств, а если выполняется операция

4) ,,

то говорят, что в F задано поле множеств.

Аксиомы не являются независимыми, поскольку, например, =.

Применяя алгебраическую терминологию, можно сказать, что алгебра множеств есть коммутативное кольцо с единицей.

В теории вероятностей алгебра множеств составляет часть ее аксиоматического построения 8.

§ 4. Число Развитие

Число – одно из основных понятий математики. Число выражает результат измерения или счета. Для изображения чисел используют различные специальные знаки, называемые цифрами. В Древней Руси, культура которой была тесно связана с греческой, числа, как и у греков, записывались буквами. Поступали просто: над буквой ставили специальный знак «», называемый титло. Числа 1,2,3… обозначались буквами ,,… . Большие числа записывались также буквами, но впереди ставили знак «», например, 1000 записывалась как , 3000 –, а число 10000 как , – и называлось оно «тьма» (отсюда выражение «тьма народу»). Число 100000 называлось легион, известно обозначение числа 10⁴⁹, которое называлось «колода».

В России уже в XVII в. во всех математических рукописях встречается только позиционная (упорядоченная) десятичная система счисления, которая состоит из десяти цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Впервые появилась в Индии и через арабов попала в Россию, отсюда и название – арабские цифры. Из этих цифр можно построить любое, сколь угодно большое, но конечное натуральное число.

Постепенно складывалось представление о бесконечности натуральных чисел.

Наряду с натуральными числами применялись дроби – числа, составленные из целого числа долей единицы. Множества натуральных чисел и дробей было достаточно, чтобы выразить результат любого измерения. Долгое время считалось, что измерения всегда выражаются либо целыми натуральными числами, либо их отношениями (число 0 – «нуль»), еще не было известно, но и после его появления во множество натуральных чисел он так и не попал из-за конструктивных причин построения чисел).

Древнегреческие ученые могли выполнять все арифметические действия, включая возведения в степень, извлечение корня, имели понятие об аналоге нуля, но этого было недостаточно, чтобы все операции объединить в единую систему, поскольку не существовало еще идеи числа. Поэтому сильнейшим шоком для всех оказалось открытие несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной. Оказалось, что натуральных чисел вместе с дробями недостаточно, чтобы решить эту проблему, когда выяснилось, что диагональ квадрата со стороной 1 равна . Такие числа они назвали иррациональными, то есть недоступными разуму.

Возможно, что отсюда началась эпоха теоретической математики: поскольку иррациональные числа в десятичной системе счисления представимы бесконечной непериодической дробью, то из опыта никакими измерениями их получить никогда не будет возможным.

Математика разделилась на две части: арифметику – науку о числах и геометрию – науку об объектах, их формах и величинах: длине, площади, объеме.

С развитием алгебры, то есть с появлением уравнений, для их решения, уже в первой степени, потребовались отрицательные числа и 0.

Числа, целые и дробные (положительные и отрицательные) и 0, стали называть рациональными.

Изучение понятия числа осуществлялось не только путем обобщения (были сначала открыты комплексные числа, а затем осуществлено формальное построение теории действительных чисел), но и путем выделения важных частных случаев. Во множестве действительных чисел выделены множества рациональных и иррациональных чисел. Рациональные числа всегда представимы в виде десятичных дробей, в которых, начиная с некоторого места, числа повторяются (имеют период), а иррациональные периода не имеют, то есть их задают бесконечной десятичной непериодической дробью.

В XIV в., в связи с изучением кубических уравнений, в процессе вывода формулы для вычисления их корней (решений) появлялись арифметические корни из отрицательного числа, хотя конечная формула их не содержала, давая действительный корень уравнения. В связи с этим Ж. Кардано (G. Cardano) в 1545 г предложил ввести новые числа и назвать их чисто отрицательными, считая, что , но сам Кардано считал их бесполезными. ВXVII в. крупнейший математик века Л. Эйлер (L. Euler, 1707-1783) предложил обозначение и называть его мнимой единицей, а с 1831 г благодаря К. Гауссу (1777-1855) появилась привычная алгебраическая запись комплексного числа:,.

Обсуждение комплексного числа длилось более двух столетий, и на рубеже XVII-XVIII вв., в 1707 г, А. Муавром (1667-1754) была построена общая теория корней n-ой степени из комплексного числа.

В конце XVIII в. была получена геометрическая интерпретация комплексного числа как точки на плоскости, что в дальнейшем позволило рассматривать его как вектор, заданный на плоскости.

Появилась также тригонометрическая и показательная запись комплексного числа. Почти сразу возникла потребность в приложениях, чаще там, где использовались векторные величины.

В линейной алгебре комплексные поля являются основными объектами в линейных пространствах.