Алгоритм 17.3 (а17.3)

1. Сформировать диагональную матрицу размерностисостояния модальной модели, являющуюся носителем желаемой структуры мод матрицы состояния синтезируемой системы с тем, чтобы выполнением соотношениядоставить проектируемой системе желаемые динамические свойства в переходном и установившемся режимах.

2. Сформировать матрицы описания ОУ вида (17.63) с управляемой паройи наблюдаемой парой, при этом матрицадолжна в силу (17.85) удовлетворять условию.

3. Сформировать с помощью (17.71) и (17.72) матрицу , содержащую желаемые собственные вектора матрицысостояния проектируемой системы.

4. Для случая матрицы В ранга, равного размерности вектора состояния, решить матричное уравнение Сильвестра (17.89) с учетом замены наи найти матрицусогласно уравнению (17.96).

5. Для случая матрицы ранга, меньшего размерности вектора состояния, решить матричные уравнения Сильвестра (17.102), (17.103) и найти матрицусогласно уравнению (17.100).

6. Сформировать матрицу закона ОМУ в форме (17.64) с целью обеспечения требуемых свойств отношения вход-выход проектируемой системы, обязательным из которых является свойство равенства выходавходув установившемся режиме с помощью соотношения (17.94).

7. Провести исследование динамических свойств спроектированной системы с помощью пакета Matlab для проверки достижения АПИ и требуемых динамических и алгебраических свойств. ■

Решение вариантов задач

Задача 17.3. Вычислить матрицу коэффициентов обратной связи, которая обеспечивала бы абсолютную параметрическую инвариантность системы с параметрическими неопределенностями. Исходный объект управления имеет матрицы представления (17.63) вида

, ,, при котором неопределенности сосредоточены только в матрице состояния.

Решение. Получим решение поставленной задачи, следуя алгоритму 17.3.

1. Назначим желаемую структуру собственных значений матрицы состояния проектируемой системы в форме, гдеоставлена свободной с тем, чтобы определить ее из условия (17.85)или эквивалентного ему условия.

2. Сформируем матрицы описания объекта (17.63): матрица состояния А имеет вид , матричная вариация матрицы состояния,, где значения коэффициентовлежат в интервалес номинальным значением. МатрицыВ и С представлены выше.

3. Перейдем к формированию матрицы D. Равенство ранга матричной вариации единице позволяет представить ее в виде произведения столбца на строку. В результате чего для мультипликативной структурыполучим представление

,

где ,,.

Условие (17.85) запишем в форме равенства , которое со свободными параметрамиипосле подстановки матриц,иВ принимает вид

,

которое выполняется при и. Таким образом, структура собственных значений матрицы состоянияпроектируемой системы принимает вид, причем условие достижения АПИ обязательным образом фиксирует собственное значение, остальные собственные значения могут варьироваться.

Вычислим произведение матриц и:. Оно оказывается нулевым, и тем самым, выполняется условие (17.81).

4. Проверим значение ранга матрицы В: в решаемой задаче ранг матрицы управления равен единице, что меньше размерности вектора состояния системы.

5. Так как в решаемой задаче ранг матрицы управления меньше размерности вектора состояния, то применим уравнения Сильвестра (17.102), (17.103) с учетом ,,.

Уравнение (17.102) при заданной решим относительно матрицы, в результате чего получим.

Уравнение (17.103) решим относительно матрицы при заданных,, образующих наблюдаемую пару, в результате чего получим.

Тогда матрицы иисходного уравнения Сильвестра (17.89) принимают види.

Рассчитаем матрицу обратной связи по формуле, в результате чего получим.

6. Сформируем матрицу прямой связи по задающему воздействию: рассчитаем по формуле, и получим.

Матрица состояния спроектированной системы принимает вид

Спроектированная система обладает абсолютной параметрической инвариантностью выхода к вариации параметра при любом внешнем задающем воздействии, в чем может убедиться каждый читатель, проведя моделирование в средеMatlab.