Алгоритм

решения уравнения (19.13) пятым способом принимает следующий вид:

1.Выбор шага дискретизации h из условия

где – собственные значения матрицыR; – собственные значения матрицыS; – константа;

2. Вычисление матриц ;

3. Вычисление матрицы ;

4. Для шагов рекуррентной процедуры вычисление матрицы

;

5. Останов рекуррентной процедуры на основании удовлетворения неравенству

где рекомендуется выбирать в пределах от 10^-7 до 10^-5; в качестве правила останова можно использовать условие

.

Рассмотренные способы решения матричных уравнений (19.13), (19.14) не исчерпывают весь банк способов, с некоторыми из них можно ознакомиться в приводимой литературе.

Следует также добавить, что в случае, если правые части матричных уравнений (19.13) и (19.14) оказываются нулевыми, то они превращаются в однородные матричные уравнения тем самым становятся матричными условиями подобия матриц и, поэтомуалгебраическим условием нетривиального решения этих уравнений в оговоренном случае является совпадение алгебраических спектров собственных значений матриц и.

Также необходимо отметить проблему вычислительной устойчивости рассмотренных матричных уравнений, которую можно проконтролировать с помощью – числа обусловленности «матричного уравнения» вида (19.13), (19.14), вычисляемогов силу соотношения

,(19.40)

где - сингулярное число матрицы.

В заключение следует сказать, что в настоящее время самым эффективным способом решения матричных уравнений (19.13) (Ляпунова) и (19.14) (Сильвестра) является способ, использующий оператор «lyap» в программной оболочке MatLab, который для уравнения (19.13) имеет запись

19.3 Инверсное решение линейных матричных уравнений

В основу инверсного способа решения матричных уравнений вида (19.13),(19.14) положено то соображение, что матрица М есть матрица преобразования базисов, банк которых для случаев приведения произвольных матриц к каноническим формам , в алгебраической и по использованию метода пространства состояния библиографии довольно обширен, часть которых приведена в разделе 4.

Под инверсным решением уравнений (19.13) и (19.14) понимается решение этих матричных уравнений относительно матрицы в форме

(19.41)

применительно к уравнению (19.13) и в формах

, (19.42)

(19.43)

применительно к матричному уравнению (19.14). Причем инверсное решение матричного уравнения (19.14) в форме (19.42) используется в основном в задачах управления, а в форме (19.43) – в задачах наблюдения.

Инверсный способ решения матричных уравнений вида (19.13),(19.14) не всегда реализуем. Сформулируем условия реализуемости инверсного способа решения матричных уравнений вида (19.13),(19.14).

Применительно к матричному уравнению (19.13), которое в задачах исследования устойчивости и динамических свойств систем при стохастических экзогенных воздействиях стационарных в широком смысле принимает вид матричного уравнения Ляпунова, эти условия принимают вид.

Условие 19.1(УС19.1). Условие разрешимости матричного уравнения (19.13), используемого в задачах исследования устойчивости непрерывных систем в форме уравнения Ляпунова, состоит в том, чтобы матрица размерностибыласимметричной и положительно определенной, то есть имела положительных собственных значений.

Условие 19.2(УС19.2). Условие разрешимости матричного уравнения (19.13), используемого в задачах исследования динамических свойств непрерывных систем при стохастических экзогенных воздействиях стационарных в широком смысле в форме уравнения Ляпунова, состоит в том, чтобы матрица размерностибыласимметричной, положительно полуопределенной и имела ранг, равный рангу матрицы входа системы.

Применительно к матричному уравнению (19.14), которое в задачах синтеза формирователей сигналов управления и устройств динамического наблюдения принимает вид матричного уравнения Сильвестра, эти условия принимают вид.

Условие 19.3(УС19.3). Условие разрешимости матричного уравнения (19.14) в форме (19.42), используемого в задачах синтеза формирователей сигналов управления в форме уравнения Сильвестра, состоит в том, чтобы столбцы матрицыразмерностипринадлежалиобразу матрицы

(19.44)

В случае выполнения условия 19.3 в форме (19.44) решение (19.42) уравнения (19.14) относительно матрицы представимо в форме

. (19.45)

Условие 19.4(УС19.4). Условие разрешимости матричного уравнения (19.14) в форме (19.43), используемого в задачах синтеза устройств динамического наблюдения в форме уравнения Сильвестра, состоит в том, чтобы столбцы матрицы размерностипринадлежалиобразу матрицы

(19.46)

В случае выполнения условия 19.4 в форме (19.46) решение (19.43) уравнения (19.14) относительно матрицы представимо в форме

(19.47)

Решение вариантов задач

Задача19.1. Определить, разрешимо ли матричное уравнение относительно матрицыM, если матрицы S, R и U принимают значения

; ; .

Решение. Как указывалось в раздела, уравнение (19.13) при нулевой правой части имеет нетривиальное решение в случае, если спектры матрицыS и –R совпадают, т.е. . Таким образом, первым шагом решения задачи является установление факта совпадения спектров матрицS и –R . Характеристические уравнения матриц S и –R принимают вид

Из приведенных характеристических уравнений матриц S и –R видно, что они идентичны, а, следовательно, спектры матриц совпадают. Таким образом, уравнение имеет нетривиальное решение. Найдем матрицу, используячетвертый (поэлементный) способ. Уравнения в поэлементной форме запишется:

.

Перемножив матрицы и сложив их поэлементно, получим матричное соотношение

Если две матрицы равны, то равны их элементы с одинаковыми индексами, в силу чего для элементов матриц получим систему скалярных соотношений

Очевидно, что число линейно независимых условий в полученной системе только два. Воспользуемся первыми двумя соотношениями

Система уравнений относительно элементов матрицы оказалось недоопределенной, так как содержит два уравнения относительно четырех неизвестных. Зададим два недостающих условия, положив, к примеру,. Матрицав результате принимает вид

.

Матрица , обратная, равняется.

Покажем, что матрицы и, связанные друг с другом матричным уравнением (19.13), при известных матрицахимогут быть найдены друг из друга с помощью отношений подобия:

.

Действительно,

и, наоборот,

.

В заключение заметим, что произвольность назначения двух элементов матрицы не сказалось на выполнении соотношения подобия, т.е. на связи матрицыи. Положим теперьи, в этом случае матрицыипринимают вид

.

Используя соотношения подобия матриц и, для последних получаем

,

. ■

Задача19.2. Определить, разрешимо ли матричное уравнение (19.14) относительно матрицы, если матрицыS, R и имеют представление

; .

Решение. Решение задачи состоит в проверке выполнения условия (19.44), при этом первым шагом является вычисление ранга матрицы Ранг матрицыравендвум, ранг матрицы при любых ненулевых элементах равенединице. Таким образом, условие (19.44) не выполняется. Задача не имеет решения. ■