Алгоритм 18.1. (а.18.1)

1. Формирование векторно-матричного описания многомерной динамической системы и модели задающего воздействия.

2. Задание допустимого уровня функционалов вырождения критериальной матрицы отношения вход-выход исследуемой системы.

3. Формирование критериальной матрицы многомерной динамической системы при заданном внешнем воздействии.

4. Вычисление алгебраического спектра сингулярных чисел критериальной матрицы исследуемой системы.

5. Конструирование на полученном спектре сингулярных чисел критериальной матрицы исследуемой системы глобального и сепаратных функционалов вырождения.

6. Фиксация неблагоприятных сочетаний параметров системы, для которых обнаруживаются явные тенденции многомерной динамической системы к вырождению.

7. Передача полученных результатов системному аналитику на предмет интерпретации и принятия системных решений.

Для иллюстрации сепаратных функционалов вырождения рассмотрим пример.

Пример 18.2. Рассматривается критериальная матрица , параметризованная векторным параметромтак что она принимает вид.

Для этой матрицы в соответствии с соотношением (18.7) конструируются сепаратные функционалы вырождения

,

и

, .

Кривые сепаратных функционалов вырождения критериальной матрицы для оговоренных выше значенийиприведены на рисунке 18.2.

Рисунок 18.2. Иллюстрации сепаратных функционалов вырождения критериальной матрицы для различных значенийи

18.2. Критериальные матрицы динамических систем типа «многомерный вход – многомерный выход»

Рассмотрим представление критериальных матриц сложных динамических систем при различных типах внешних задающих воздействий.

1. Рассмотрим многомерную (МВМВ – типа) непрерывную динамическую систему вида:

, ;, (18.10)

где ,,– векторы состояния, задающего воздействия и выхода соответственно;, ; ,,– матрицы состояния системы, входа и выхода непрерывного объекта управления соответственно, согласованные по размерности с размерностью векторов,, итак, что, при векторном гармоническом модельном представлении потока входных заявок частоты , имеющем описание

; , (18.11)

где ,, ; – вектор состояния модели задающего воздействия, ,– матрицы состояния и выхода модели задающих воздействий (МЗВ) соответственно, причем матрицаудовлетворяет условию:, где– единичная матрица размерности. МЗВ выбирается минимальной размерности, но такой, чтобы её выход

, где (18.12)

на множестве начальных состояний адекватно представлял весь класс конечномерных задающих воздействий системы (18.10).

Критериальная матрица сложной непрерывной динамической системы (18.10) при векторном одночастотном гармоническом модельном представлении потока входных заявок частоты имеет вид

, (18.13)

где матрица преобразования подобия ищется из матричного уравнения типа уравнения Сильвестра:

. (18.14)

и представима в форме

. (18.15)

Для случая, когда на вход сложной непрерывной динамической системы вида (18.10) подается векторное многочастотное гармоническое воздействие частоты критериальная матрица системы аналогична форме представления (18.13) с тем лишь отличием, что матрица преобразования подобиязадается выражением

, (18.16)

где - частота гармонического сигнала, подаваемого на-ый вход многомерной непрерывной динамической системы (18.10).

Если непрерывная сложная динамическая система МВМВ-типа (18.10) возбуждается стохастическим внешним воздействием стационарным в широком смысле типа «белый шум» c матрицей интенсивности вида, так что в (18.11) следует положить, то критериальные матрицы системы, которыми являются матрица дисперсии и матрица спектральной плотности выхода многомерной динамической системы, ищутся в следующей форме соответственно

(18.17)

, (18.18)

при этом матрица , является матрицей дисперсии вектора состояния, гдеесть оператор вычисления математического ожидания стохастической переменной, и удовлетворяет соответственно матричному алгебраическому уравнению типа уравнения Ляпунова, записываемого в форме

. (18.19)

Если система (18.10) возбуждается стохастическим воздействием стационарным в широком смысле типа «окрашенный шум», моделируемым выходом формирующего фильтра вида

; , (18.20)

возбуждаемого по входу «белым шумом» с матрицей интенсивности, где,,;,,,– вектор состояния модели формирующего фильтра (МФФ),,,– матрицы состояния, входа и выхода модели МФФ соответственно, то критериальные матрицы системы имеют вид (18.17) и (18.18) с тем лишь отличием, что матрица дисперсиивектора состояния системы (18.11) определяется с помощью выражения

, , (18.21)

в котором - матрица дисперсии составного вектора, вычисляемая в силу матричного алгебраического уравнения типа уравнения Ляпунова

, (18.22)

в котором матрицы исоставной системы имеют представление

, . (18.23)

2. Рассмотрим теперь многомерную (МВМВ – типа) дискретную динамическую систему вида:

, ;, (18.24)

где ,,– векторы состояния, задающего воздействия и выхода соответственно:;;,,– матрицы состояния системы, входа и выхода дискретного объекта управления, согласованные по размерности с размерностью векторов,, итак, что;;– дискретное время, выраженное в числе интервалов дискретности длительностьютак, что непрерывное времяи дискретноесвязаны соотношением, привекторном дискретном гармоническом модельном представлении потока входных заявок частоты , имеющем описание

, ;, (18.25)

где ,,,– вектор состояния дискретной модели задающего воздействия (ДМЗВ),,– матрицы состояния и выхода ДМЗВ соответственно, причем матрицаудовлетворяет условию:, где– единичная матрица размерности. ДМЗВ выбирается минимальной размерности, но такой, чтобы её выход

, , (18.26)

на множестве начальных состояний адекватно представлял весь класс конечномерных задающих воздействий системы (18.24).

Критериальная матрица сложной дискретной динамической системы (18.24) при векторном одночастотном дискретном гармоническом модельном представлении потока входных заявок частоты имеет вид

, (18.27)

где матрица преобразования подобия ищется из матричного уравнения типа уравнения Сильвестра:

. (18.28)

и задается в форме

. (18.29)

Для случая, когда на вход сложной дискретной динамической системы вида (18.24) подается векторное многочастотное дискретное гармоническое воздействие частоты критериальная матрица системы аналогична форме представления (18.27) с тем лишь отличием, что матрица преобразования подобияпредставима выражением

, (18.30)

где - частота дискретного гармонического сигнала, подаваемого на-ый вход многомерной дискретной динамической системы (18.24).

Для случая многомерной дискретной динамической системы вида (18.24) при стохастическом внешнем воздействии стационарном в широком смысле типа дискретный «белый шум» таком, чтос матрицей дисперсии, критериальные матрицы системы, которыми являются матрица спектральной плотностии матрица дисперсиипо выходу многомерной динамической системы задаются выражениями

, (18.31)

. (18.32)

Если система (18.24) возбуждается стохастическим воздействием стационарным в широком смысле типа дискретный «окрашенный шум», моделируемым выходом дискретного формирующего фильтра вида

; , (18.33)

возбуждаемого по входу дискретным «белым шумом» с матрицей дисперсии, где,,;,,,– вектор состояния дискретной модели формирующего фильтра (ДМФФ),,,– матрицы состояния, входа и выхода модели ДМФФ соответственно, то критериальные матрицы системы задаются в виде (18.31) и (18.32), где матрица дисперсииопределяется с помощью выражения

, (18.34)

где , при этом- матрица дисперсии составного вектораопределяется в силу дискретного алгебраического матричного уравнения типа дискретного алгебраического матричного уравнения Ляпунова

, (18.35)

в котором матрицы исоставной системы имеют представление

, . (18.36)

Набор приведенных критериальных матриц сложных динамических систем МВМВ – типа непрерывной и дискретной природы для различных видов задающих воздействий в совокупности с алгоритмом А18.1 позволяют контролировать степень близости системы МВМВ-типа к возможному вырождению и, как следствие, априорно оценивать работоспособность системы, а также принять структурные, параметрические и алгоритмические меры для ее сохранения.