17.3. Обобщенное модальное управление в задаче синтеза параметрически инвариантных систем

В разделе рассматриваются линейные непрерывные ОУ, значения параметров которых точно не известны или ОУ с параметрами, претерпевающими в процессе функционирования вариации относительно номинальных значений. Предполагается, что неопределенность знания параметров структурных компонентов некоторого ОУ такого класса представима неопределенностью задания его матрицы состояния так, что его ВМО имеет вид

. (17.63)

В выражении (17.63) – векторы состояния, управления и выхода,,,;– соответственно номинальный компонент матрицы состояния объекта управления (ОУ), его матрицы управления и выхода:,– матричная вариация (неопределенность задания) матрицы состояния. При этомтакова, что паране теряет свойства полной управляемости, которым обладает пара.

Поставим задачу обеспечения стабильности показателей качества по выходу динамической системы, в состав которой входит объект (17.63), сформулировав ее как проблему параметрической инвариантности выхода к матричной неопределенности , записав ее в виде

,

где – внешнее задающее воздействие. Это означает, что наличие в системе параметрической неопределенности не должно отражаться на значении выходной переменной системы. На рис. 17.1 представлена структурная схема объекта (17.63) с учетом внешнего задающего воздействия.

Закон управления объектом (17.63), как и ранее, будем синтезировать в виде прямой связи по вектору внешнего (экзогенного) задающего воздействия с-мерной матрицейи отрицательной обратной связи по вектору состояния объектас-мерной матрицей, в предположении их полной измеримости

. (17.64)

Объединяя ОУ (17.63) и ЗУ (17.64), получим систему с векторно-матричным представлением

; (17.65)

. (17.66)

где

, ; (17.67)

–матричная вариация матрицы состояния системы – оказывается инвариантной относительно закона (17.64) и характеризуется равенством

, (17.68)

–ошибка воспроизведения системой задающего воздействия .

Рис. 17.1. Структурная схема системы (17.63)

Проблему параметрической инвариантности выхода системы , а следовательно, и ошибки, т.е., инвариантности к неопределенностис учетом того, что выбором матрицысистема наделяется требуемыми динамическими свойствами, можно записать в форме

. (17.69)

Условие параметрической инвариантности, записанное в форме (17.69), назовем условием абсолютной параметрической инвариантности (АПИ) выхода системы.

Сведем задачу параметрической инвариантности к задаче сигнальной инвариантности с учетом того, что объект и система представлены в векторно-матричной форме. Для этих целей разложим матрицу на минимальное число матричных компонентов, обладающихединичным рангом, так, что проведенное разложение удовлетворяет соотношению

. (17.70)

С использованием выражения (17.70) член в (17.65) можно представить в форме:

. (17.71)

Представим цепочку соотношений (17.71) в компактной мультипликативной матрично-векторной форме. Для этого на левых сомножителях векторно-матричных компонентов (17.71) построим матрицу размерности

, (17.72)

где (– символ Кронекера) и введем в рассмотрение-мерный вектор параметрического воздействия

, (17.73)

где компоненты задаются соотношениями

, (17.74)

здесь ––я строка матрицы. Следует заметить, что числор членов разложения в выражении (17.71) существенным образом зависит от базиса представления матрицы состояния объекта (17.63), в силу чего оно удовлетворяет неравенству , а если в (17.70) снять условие минимизации пор, то максимальное значение р может достигать величины .

Объединив (1.11) и (1.12), запишем матрично-векторный компонент в форме

. (17.75)

С использованием (17.75) представим описание системы (17.65) в виде

, (17.76)

не содержащим матричных неопределенностей, но характеризующимся дополнительным внешним «параметрическим» воздействием , которое может осуществлять нежелательное управление выходом, а, следовательно, и ошибкой. Структурная схема системы (17.76) представлена на рис.17.2.

Рис. 17.2. Структурная схема системы (17.76)

Форма модельного представления (17.76) системы (17.65) позволяет сформулировать поставленную задачу обеспечения параметрической инвариантности как задачу обеспечения сигнальной инвариантности

. (17.77)

«Сигнальная постановка» задачи параметрической инвариантности позволяет перейти к использованию аппарата передаточных функций. В терминах передаточных функций (матриц) и лапласовых образов переменных выражение (17.77) принимает вид

, (17.78)

где – лапласов образ задающего воздействия,– лапласов образ «параметрического» воздействия,– передаточная функция (матрица) отношения «задающее воздействие – выход системы»,– передаточная функция (матрица) отношения «параметрическое» воздействие – выход системы».

Очевидно, что равенство (17.78) при выполняется, когда

. (17.79)

Условие (17.79) представляет собой «сигнальный» аналог абсолютной инвариантности выхода (ошибки) к неопределенностям задания матрицы состояния исходного объекта и выполняется при любых реализациях внешнего задающего воздействия .

Рис.17.3. Структурная схема системы (17.76) при использовании (17.78)

Выясним, какими алгебраическими свойствами должны обладать матричные компоненты модельного представления системы (17.76), чтобы выполнялось условие (17.79).

Утверждение 17.4 (У17.4). Для того, чтобы система (17.65) обладала параметрической инвариантностью выхода к неопределенности задания матрицы исходного объекта или чтобы система (17.76) обладала сигнальной инвариантностью выхода относительно внешнего «параметрического» воздействия , т.е. чтобы передаточная функция (матрица) «параметрический» вход– выход системы»была бы нулевой, а именно выполнялось условие (17.79), записываемое в форме

, (17.80)

достаточно, чтобы

1. столбцы матрицыбыли бысобственными векторами матрицы ;

2. столбцы принадлежали ядру матрицы, т.е. выполнялось соотношение

. □ (17.81)

Доказательство. Если является собственным вектором матрицы, соответствующим ее собственному значению, то становится справедливой запись

. (17.82)

Использование свойства матричной функции от матрицысохранять геометрический спектр собственных векторов исходной матрицы (*) и иметь в качестве элементов алгебраического спектра собственных значений компоненты, делает справедливым соотношение

. (17.83)

В решаемой задаче матричной функцией от матрицы является резольвента, входящая в выражение для передаточной функциитак, что для нее можно записать

(17.84)

Подстановка в соотношение (17.84) условия (17.81) приводит к выполнению соотношений (17.80), (17.79). ■

Утверждение 17.5 (У17.5). Для того, чтобы столбец матрицыбыл бы собственным вектором матрицысостояния системы (17.76), необходимо выполнение алгебраического условия принадлежности вектораобразу матрицы(т.е. пространству столбцов матрицы)

. (17.85)

Доказательство. Подстановка в (17.82) первого матричного соотношения (17.67) позволяет записать

. (17.86)

Соотношение (17.86) может быть записано в эквивалентной форме

, (17.87)

Так как матрица имеет размерность, а столбец– размерность, то матричный блокпредставляет собой-мерный вектор, как следствие, матричное произведениезадает линейную комбинацию столбцов матрицыВ, формирующую образ матрицы , в результате чего (17.87) оказывается эквивалентным (17.85). ■

Таким образом, показано, что для выполнения условий АПИ матрица замкнутой системы должна обладать определенной структурой собственных векторов. Поэтому при решении задачи обеспечения АПИ будем использоватьобобщенное модальное управление (ОМУ), позволяющее назначать не только желаемый спектр собственных значений, но и желаемый спектр собственных векторов. Сформируем алгоритмическую основу решения задачи ОМУ в виде системы утверждений. При этом выполним это в два этапа. Первый этап содержит напоминание базовых концепций реализации модального управления в канонической модельной постановке. Второй – посвящен поиску представлений матричных компонентов задачи, при которых решение матричного уравнения Сильвестра доставляет номинальной матрице состояния синтезируемой системы как желаемые собственные значения, так и собственные вектора, решая тем самым задачу обобщенного модального управления.

Утверждение 17.6 (У17.6) Пусть наблюдаемая пара матриц задает модальную модель (ММ), тройка матрицс управляемой паройи наблюдаемой паройзадает непрерывный ОУ вида (17.63), где– матрицы состояния соответственно ММ и ОУ;;Н, С, – матрицы выхода модальной модели и объекта управления соответственно; В – матрица управления ОУ; ,. При этом алгебраические спектрыисобственных значений не пересекаются. Тогда матрица, вычисляемая в форме

, (17.88)

где является решением неоднородного матричного уравнения Сильвестра

, (17.89)

доставляет матрице подобие матрице, записываемое в форме однородного матричного уравнения Сильвестра

. □ (17.90)

Доказательство утверждения строится на подстановке матрицы , записанной согласно уравнению (17.88) в формев уравнение (17.89) и использовании представления. ■

Заметим, что матричное уравнение (17.90) является матричным условием подобия матриц иF, в силу чего алгебраические спектры собственных значений этих матриц совпадают так, что выполняется равенство .

Таким образом, утверждение 17.6 содержит алгоритмическую основу, опирающуюся на решение уравнения Сильвестра, синтеза модального управления, обеспечивающего алгебраический спектр желаемых собственных значений матрицы состояния проектируемой системы, но при этомне решающего задачу обеспечения желаемой структуры собственных векторов. Для придания уравнению Сильвестра таких возможностей сформулируем утверждение.

Утверждение 17.7 (У17.7). Если матрица модальной модели является матрицей простой структуры и задана в диагональной форме

, (17.91)

то столбцами матрицыМ решения уравнения Сильвестра (17.89) являются собственные векторы матрицы F так, что выполняется векторно-матричное соотношение

, . □ (17.92)

Доказательство утверждения строится на использовании столбцовой формы представления матричного уравнения (17.90), являющегося однородным аналогом неоднородного уравнения (17.89);и– соответственноi-е столбцы соответственно матриц иМ. Вычленение из левой части компонента и компонентаправой части с учетом структурыi-го столбца матрицы позволяет соотношениезаписать в форме (17.92). ■

Использование утверждений 17.6 и 17.7 позволяет предложить