Алгоритм 17.2(а17.2)

решения задачи обобщенного модального управления объектом с номинальными параметрами

1. Сформировать диагональную матрицу размерностисостояния модальной модели, являющуюся носителем желаемой структуры мод матрицы состояния синтезируемой системы с тем, чтобы выполнением соотношениядоставить проектируемой системе желаемые динамические свойства в переходном и установившемся режимах.

2. Сформировать желаемую структуру собственных значений матрицысостояния системы (17.65), сформировать желаемую структурусобственных векторов той же матрицы.

3. Сформировать матрицы описания ОУ вида (17.63) с управляемой паройи наблюдаемой парой, при этом матрицадолжна в силу (17.85) удовлетворять условию.

4. Сформировать матрицу подобия матрицина спектре желаемых собственных векторов матрицыв форме

. (17.93)

5. Решить матричное уравнение Сильвестра при заданных матрицахиотносительно матрицыв классе наблюдаемых пар матриц.

6. Вычислить матрицу отрицательной обратной связи по векторусостояния ОУ (17.63) с помощью соотношения (17.88).

7. Сформировать матрицу закона ОМУ в форме (17.64) с целью обеспечения требуемых свойств отношения вход-выход проектируемой системы, обязательным из которых является свойство равенства выходавходув установившемся режиме с помощью соотношения

(17.94)

8. Провести исследование динамических свойств системы вида (17.65), спроектированную методами ОМУ с помощью пакета Matlab для проверки достижения требуемых динамических и алгебраических свойств. ■

Заметим, что успех решения задачи обобщенного модального управления в силу необходимости выполнения условия (17.85) существенным образом зависит от размерности образа матрицы (dim ImB), то есть от значения ее ранга. В этой связи возможны два варианта постановки задачи обобщенного модального управления.

В первом варианте, называемым полным, решение задачи ОМУ обеспечивает полный спектр желаемых мод иполный спектр желаемых собственных векторов матрицыF замкнутой системы при полной свободе их назначения.

Во втором варианте задачи, называемым неполным, ОМУ обеспечивает полный спектр желаемых мод инеполный спектр мощности l собственных векторов матрицыF замкнутой системы.

Утверждение 17.8 (У17.8). Для решения полной задачи ОМУ, характеризующейся заданными наборами желаемых собственных значений и собственных векторов, достаточно, чтобы матрица управленияВ обладала рангом, равным

. (17.95)

При этом полная задача ОМУ решается с помощью обратной связи по состоянию ОУ с матрицей вида

. □ (17.96)

Доказательство. Зададим желаемую структуру собственных значений и желаемую структуру собственных векторов. Сконструируем на желаемых собственных значенияхматрицу состояния ММ в диагональной форме

. (17.97)

Сконструируем на собственных векторах матрицуМ преобразования подобия в форме

. (17.98)

В рассматриваемом случае, когда ранг матрицы равен размерности вектора состояния, всегда выполняется алгебраическое условие (17.85) принадлежности любых векторов пространства состояния, в том числе и собственных, образу матрицыВ и при этом матрица оказывается обратимой.

Таким образом, матричное уравнение Сильвестра содержит одну матричную неизвестную, решение относительно которой принимает вид

. (17.99)

В результате выражение (17.88) для вычисления матрицы принимает вид (17.96). ■

При ранге матрицы управленияВ, равном меньшем размерности вектора состояния (), возможно решение только неполной задачи ОМУ, которое опирается на следующее утверждение.

Утверждение 17.9 (У17.9). Пусть , гдеl – число желаемых собственных векторов, соответствующих определенности ради первым l желаемым модам из общей структуры . Тогда решение задачинеполного ОМУ достигается с помощью матрицы

,(17.100)

где ,, при этом матрицы,удовлетворяют матричному уравнению Сильвестра, а матрицыиудовлетворяют матричному уравнению Сильвестра, в котором. □

Доказательство. Запишем уравнение (17.89) с учетом представления его матричных компонентов в форме ,,как

. (17.101)

Это уравнение декомпозируется на два матричных уравнения Сильвестра

, (17.102)

. (17.103)

Уравнение (17.102) при заданных значениях ,, А и В и выполнении алгебраического условия решается относительно матрицы. Уравнение (17.103) при заданной наблюдаемой паре (,) решается относительно матрицы, откуда в силу соотношенияи представлений матрицН и М получаем соотношение (17.100). ■

Формулировка и доказательство утверждения 17.9 содержат в себе доказательство следующего утверждения.

Утверждение 17.10 (У17.10) Матрица отрицательной обратной связи в форме (17.100) решает задачу абсолютной инвариантности вектора выхода системы относительно неопределенности задания матрицы состояния объекта, если матрицазадается в форме, где, при этом обязательным является выполнение условия (17.85). □■

Утверждение 17.10 означает, что, задавая матрицу в форме, разработчик обеспечивает матрицежелаемую структуру собственных векторов, и тем самым решает задачу обеспечения абсолютной параметрической инвариантности.

На основе утверждений У17.8 – 17.10 можно дополнить исходный алгоритм синтеза ОМУ для того, чтобы придать ему свойство обеспечения АПИ проектируемой системы.