Основные свойства z – преобразования

Таблица П2.1.

Свойство Z - преобразования (ZП)	Оригинал	Изображение
1. Линейность ZП	, константы
2. Правило вычисле- ния ZП от смещен-ной последователь-ности
3.Теорема изменения масштаба в области комплекс-ного аргумента
4. Правило вычис-ление ZП от разности
5. Правило вычис-ление ZП от конечной суммы
6 Теорема о началь-ном значении ориги-нала.
7. Теорема о конеч-ном значении ориги- нала
8. Правило форми-рование ZП от свертки оригиналов

Z – образы оригиналов - типовых последовательностей

Таблица П.2.2.

№	Оригинал	образ
1.	=- дискретная дельта функция (оди -ночный единичный импульс)	=1
2.	=1– единичная дискретная последовательность (унитарный код)	=
3.	=- степенная дискретная последовательность	=
4.	- линейно нарастающая дискрет- ная последовательность
5.	=- синусоидальная дискретная последова -тельность
6.	=- косинусоидальная дискретная последовательность
7.	=- зату- хающая синусоидальная дискретная последова-тельность
8.	=- зату- хающая косинусоидаль-ная дискретная после- довательность

Приложение 3 элементы интервальных вычислений

Для целей погружения в интервальную проблематику и технологию интервальных модельных представлений необходимо познакомиться и проанализировать базовые возможности элементов интервальных вычислений и интервальной линейной алгебры

Определение П3.1. Пусть числа такие, что,, и при этом задают вещественное числов параметризованной относительным параметромформе

(П3.1)

Тогда вещественное интервальное число образуется экстремальными реализациями этого числа

(П3.2)

так, что оно может быть записано в форме

(П3.3)

Определение П3.2. Интервальным комплексным числом называется комплексное число, у которого интервальными являются вещественные и мнимые части так, что становится справедливым представление

, (П3.4)

где ,.

Определение П3.3. Интервальным вектором размерностиn называется вектор с интервальными компонентами так, что становится справедливой запись

(П3.5)

Определение П3.4. Интервальной – матрицейназывается матрица, составленная из интервальных скалярных компонентов

(П3.6)

при этом справедливым оказывается представление

, (П3.7)

где (П3.8)

. (П3.9)

Определение П3.5. Произведением

(П3.10)

интервальных чисел иназывается интервальное число, граничные значения которогоивычисляются в силу

, (П3.11)

. (П3.12)

Определение П3.6. Суммой

(П3.13)

интервальных чисел иназывается интервальное число, граничные значения которогоивычисляются с помощью соотношений

, (П3.14)

. (П3.15)

Определение П3.7. Частным от деления

(П3.16)

интервальных чисел иназывается интервальное число, граничные значения которогоивычисляются в силу выражений

,. (П3.17)

Определение П3.8. Разностью

(П3.18)

интервальных чисел иназывается интервальное число, граничные значения которогоиопределяются с помощью выражений

, (П3.19)

. (П3.20)

Определение П3.9. Фиксированное число имеет интервальное представление, которое характеризуется выполнением равенства

. (П3.21)

Утверждение П3.1. Частное от деления интервального числа на самое себя является интервальное число

, (П3.22)

граничные значения которого ив силу (П3.17) вычисляются с помощью соотношений

, (П3.23)

. (П3.24)

Утверждение П3.2. Разностью интервальных чисел и

(П3.25)

является интервальное число , граничные значения которого,в силу (П3.14), (П3.15) задаются соотношениями

, (П3.26)

. (П3.27)

Определение П3.10. Медианой mid интервального числаназывается фиксированное число, задаваемое соотношением

mid. (П3.28)

Определение П3.11. Интервальным компонентом wid интервального числа называется интервальное число, граничные значения которогоизадаются с помощью соотношений

,, (П3.29)

Утверждение П3.3. Интервальное число в силу (П3.28), (П3.29), а также (П3.14), (П3.15), (П3.21) представимо в виде аддитивной композиции

, (П3.30)

Определение П3.12. Медианой mid интервальной – матрицы, называется матрицас фиксированными скалярными компонентами

(П3.31)

где элементы матрицызадаются соотношением

. (П3.32)

Определение П3.13. Интервальным матричным компонентом интервальной матрицыназывается интервальная матрица, граничные реализации которойизадаются соотношениями

(П3.33)

(П3.34)

Утверждение П3.4. Интервальная – матрицав силу (П3.31), (П3.33), (П3.34), а также (П3.32), (П3.9) представима в аддитивной форме

, (П3.35)

где .

Определение П3.14. Произведением интервальных – матрицыи– матрицы

(П3.36)

называется интервальная – матрицас интервальными скалярными элементами, вычисляемыми в силу соотношений

, (П3.37)

где произведение интервальных чисел определяется в соответствии с (П3.10), (П3.11), (П3.12) а суммирование этих произведений осуществляется в соответствии с (П3.13), (П3.14), (П.15).

Определение П3.15. Угловой реализацией - интервальной матрицы, получаемой в результате-й выборкииз множества мощностью, равной (nm) парграничных значений интервальных скалярных компонентовматрицы, называется матрица

(П3.38)

с фиксированными на этой реализации компонентами.

Утверждение П3.5. Пусть интервальный матричный компонент матрицы, определенной в силу факторизации в форме (П3.35), тогда интервальные компонентыобладают тем свойством, что

, (П3.39)

которое выполняется в силу (П3.31), (П3.32).

Утверждение П3.6. Угловые реализации и- интервальной матрицыс граничными компонентамии(П3.33), (П3.34), полученных в результате-й и-й выборокв силу (П3.38) и свойства (П3.39) обладают равными матричными нормами так, что выполняется равенство

. (П3.40)

Определение П3.16. Интервальным полиномом степениn называется полином, коэффициенты которого являются интервальными числами так, что он принимает вид

(П3.41)

где

Определение П3.17. Интервальным характеристическим полиномом ИХП интервальной- матрицыназывается интервальный полином степениn, получаемый в силу определения характеристического полинома - квадратной матрицы

(П3.42)

так, что .

При формировании ИХП интервальной матрицысистемы необходимо отметить проблему объема вычислений. Очевидно, если размерность матрицысоставляет, тогда максимальная мощность множестваугловых реализаций матрицысоставляет, минимальная мощность этого множества составляет, что имеет место при использовании таких канонических представлений матрицы какдиагональное и фробениусово. Однако независимо от базиса мощность множества угловых реализаций может быть зафиксировано на уровне, где– число исходных интервальных физических параметров. Мощность множества угловых реализаций может быть заметно сокращена, если разработчик проведет предварительное ранжирование первичных физических параметров . Следует также заметить, что в силу формализма правил интервальной арифметики в процессе математических преобразований выражений, содержащих интервальные компоненты, может происходить резкийрост ширины системных интервальных параметров . Наибольший вклад в этот рост вносят операции вычисления разностии частного от деления. Очевидно, в силу параметризованных представлений ив том числе и прии. Таким образом без нарушения существа интервальных вычислений они могут быть модифицированы допущением.

Приведем несколько способов вычисления коэффициентов ИХП интервальной матрицы [A].

Способ 1. Способ основан на обобщенной теореме Ф. Виета. Пусть спектр собственных значений интервальной матрицы [A]

(П3.43)

известен, тогда ИХП (П.42) представим в форме

, (П3.44)

где

Обобщенная теорема Виета устанавливает связь собственных значений с коэффициентамив форме

, (П3.45)

, (П3.46)

(П3.47)

(П3.48)

. (П3.49)

Способ 2. Способ Г. Крамера главных миноров:

, (П3.50)

, (П3.51)

где алгебраическое дополнение (ii)–го элемента [A_ii] матрицы [A];

. (П3.52)

Способ 3. Способ У.Ж.Ж. Леверье:

;(П3.53)

Способ 4. Способ Д.К. Фадеева:

, (П3.54)

где

(П3.55)

В силу выше изложенного (П3.32), (П3.33), (П3.34) допустимо следующее определение

Определение П3.18. Интервальный матричный компонент

, (П3.56)

может быть охарактеризован показателем абсолютной интервальности,

. (П3.57)

Нетрудно видеть, что в силу структуры интервального матричного компонента Фробениусова, а также индуцированные с индексами р=1 и р=∞ нормы всех угловых реализаций этого компонента оказываются фиксированными так, что становится справедливым равенство

. (П3.58)

Это же положение оказывается справедливым для индуцированной нормы с индексом р=2 (спектральной нормы) в силу справедливости соотношения для ее оценки через нормы с индексами р=1 и р=∞.

Определение П3.19. Интервальный матричный компонент представленный в форме (П3.56) может быть охарактеризован показателемотносительной интервальности задаваемым соотношением

. (П3.59)

Последние два определения по существу содержат доказательства следующего утверждения

Утверждение П3.7. Оценки абсолютной и относительной интервальности интервальных компонентов исходного интервального объекта (числа, вектора, матрицы) не являются интервальными числами. ■

В заключении необходимо отметить, что формализм правил интервальной арифметики в процессе приведенных выше преобразований математических выражений содержащих интервальные числа, векторы и матрицы, может наблюдаться заметный рост нормы интервальной части интервального компонента. Этот рост в основном определяется операциями вычитания и деления скалярного интервального элемента соответственного самого из себя и самого на себя, не приводящими соответственно к нулевому и единичному результатам. Тем не менее, параметризованная параметром q форма (П3.2) интервального скалярного элемента при любых значениях q в перечисленных выше операциях дает нулевой и единичный результаты, в том числе и при граничных значениях q=0 и q=1. В этой связи при построении интервальных модельных представлений авторы использовали модифицированную версию интервальных вычислений в которых сделаны допущения о справедливости выполнения равенств и, что не нарушает существа интервальных вычислений

Необходимо отметить также проблемы объема вычислений при формировании ИХП интервальной матрицысистемы. Если размерность матрицысоставляет, тогда максимальная мощность множестваугловых реализаций матрицысоставляет, минимальная мощность этого множества составляет, что имеет место при использовании таких канонических представлений матрицы как диагональное и фробениусово. Независимо от базиса представления мощность множестваугловых реализаций может быть зафиксирована на уровне, где– число исходных интервальных физических параметров. Таким образом целесообразно интервальные вычисления производить не на угловых системных реализациях с накопленной интервальностью, а на угловых реализациях исходных физических параметров. Мощность множества угловых реализаций может быть, кроме того, заметно сокращена, если разработчик проведет предварительное ранжирование первичных физических параметров.

304