Основные свойства преобразования Лапласа

Таблица П1.1.

Свойство преобразования Лапласа(ПЛ)	Оригинал	Изображение
1. Линейность ПЛ	, константы
2. Правило вычисление ПЛ от производной от оригинала по времени	а) б) ,	а) б)
3. Правило вычисление ПЛ от интеграла от оригинала по времени	а)= б)–кратный интеграл	a) б)
4.Правило изменения масштаба	, ()
5. Правило вычисление ПЛ от оригинала со сдвинутым аргументом	,
6. Правило формирование изображения со сдвинутым комплексным аргументом
7. Теорема о начальном значении оригинала	=?	=
8. Теорема о конечном значении оригинала	=?	=
9. Правило формирование изображения от свертки оригиналов
10. Правило формирования изображения в форме свертки изображений сепаратных оригиналов		=
11. Правило формирование изображения производной и интеграла оригинала по параметру , независящему от аргументови	а) б)	а) б)

Изображения Лапласа оригиналов - типовых воздействий

Таблица П.1.2.

№	Оригинал	Изображение
1.	=– дельта функция	=1
2.	=1 – единичное воздействие	=
3.	=– степенное воздействие	=
4.	=– экспоненциальное воздействие	=
5.	=экспоненциально степенное воздействие	=
6.	=- синусоидальное гармоническое воздействие	=
7.	=– косинусдальное гармоническое воздействие	=
8.	=– затухающее синусоидальное воздействие	=
9.	=– затухающее косинусоидальное воздействие	=
10.	– синусоидально-модулированное воздействие
11.	– косинусоидально-модулированное воздействие
12.	–демодулированное воздействие

Приложение 2

Z – Преобразование (Преобразование Лорана)

КОНЦЕПЦИЯ П2.1(КП2.1). Прежде чем вводить Z – преобразование и изучать его свойства, подойдем к этой проблеме, опираясь на некоторую аппаратную техническую среду и преобразование Лапласа.

Пусть непрерывный сигнал , преобразуемый по Лапласу, в некоторойаппаратной технической среде претерпевает двухфазное преобразование. Первая фаза преобразования состоит в том, что с интервалом дискретности длительности из сигналаформируетсядискретная выборка

(П2.1)

со значениями , компактная форма записи которой имеет вид

, (П2.2)

где дискретное время, выраженное в числе тактов (интервалов дискретности) длительности, так что непрерывное и дискретное время связаны соотношением, при этомвида (П2.2) именуетсядискретной последовательностью, порожденной парой .

Вторая фаза преобразования состоит в формировании из дискретной последовательности (П2.2), наблюдаемой на выходе фиксатора (запоминающего элемента) нулевого порядка, кусочно – постоянного сигнала

:. (П2.3)

Сигнал преобразуем по Лапласу в силу преобразуемости по Лапласу сигнала, тогда для него можно записать

(П2.4)

Если в (П2.4) учесть, что передаточная функция фиксатора нулевого порядка, то тогда для лапласова образа дискретной последовательности (П2.2) имеем

(П2.5)

Введем обозначение

, (П2.6)

и введем в рассмотрение Z – преобразование дискретных последовательностей с помощью следующих определений.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ П2.1(ОП2.1). Прямым Z – преобразованием (преобразованием Лорана) дискретной последовательностивида (П2.2) называется бесконечная сумма

, (П2.7)

если она сходится. □

именуетсяZ – образом дискретной последовательности , аименуется оригиналомZ – преобразования.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ П2.2 (ОП2.2). Если воспользоваться выражениями для коэффициентов ряда Лорана, то обратное Z – преобразование , ставящееZ – образу в соответствие его оригинал, задается интегральным преобразованием вида

□(П2.8)

ПРИМЕЧАНИЕ П2.1(ПРП2.1). При решении практических задач исследования дискретных систем, связанных с восстановлением дискретной последовательности по ее Z – образу в большинстве случаев интегральное преобразование (П2.8) не используется. Используются в основном два способа. Первый способ основан на таблице Z – образов наиболее употребительных дискретных последовательностей, второй – на представлении Z – образа в виде бесконечной последовательности по отрицательным степеням аргумента путем деления полинома числителя на полином знаменателяZ – образа.