Ряды фурье, Преобразования фурье и Лапласа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ П1.1 (ОП1.1). Пусть функция принадлежитфункциональному пространству , где , то есть она имеет ограниченнуюабсолютную норму, иначе говоря, является интегрируемой абсолютно в том смысле, что

. (П1.1)

Тогда на интервалефункцияпредставима бесконечным дискретным рядом Фурье

, где, (П1.2)

при этом коэффициенты разложения вычисляются по правилам вычисления скалярных произведений элементовфункционального пространства в виде интегралов Эйлера – Фурье

. □(П1.3)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ П1.2 (ОП1.2). Пусть функция принадлежитфункциональному пространству , где , то есть она имеет ограниченнуюабсолютную норму. Иначе говоря, функция является интегрируемой абсолютно в том смысле, что

. (П1.4)

Тогда на интервале функцияпредставимаобратным интегралом Фурье

, (П1.5)

где ищется с помощьюпрямого интеграла Фурье

(П1.6)

Тогда интегральное преобразование именуетсяпрямым преобразованием Фурье, интегральное преобразование именуетсяобратным преобразованием Фурье. □

При этом называетсяоригиналом, а называется образом (преобразованием) Фурье интегрируемой абсолютно функции . Паруназываютвзаимными трансформантами Фурье.

Функциямнимого аргумента является комплексным сплошным частотным спектром функции , составленным из комплексных гармоникс амплитудойи фазой

УТВЕРЖДЕНИЕ П1.1 (УП1.1). Пусть функция такова, чтои при этом она не принадлежитфункциональному пространству , где в силу того, что она не имеет ограниченнуюабсолютную норму, иначе говоря, не является интегрируемой абсолютно в том смысле, что

. (П1.7)

Пусть функция такова, чтои при этом она принадлежитфункциональному пространству , где в силу того, что она при некоторомимеет ограниченнуюабсолютную норму, иначе говоря, является интегрируемой абсолютно в том смысле, что

(П1.8)

Тогда преобразование Фурье функциипорождает преобразование Лапласа, гдефункциис абсциссой сходимости□■

ОПРЕДЕЛЕНИЕ П1.3ь(ОП1.3). Прямым преобразованием Лапласа функции действительного аргументас абсциссой сходимостиназывается интегральное преобразование

□(П1.9)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ П1.4(ОП1.). Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного аргументаназывается интегральное преобразование

. □(П1.10)

В (П1.9) и (П1.10) – оригинал с абсциссой сходимости,– лапласов образ (преобразование Лапласа, изображение Лапласа) функциидействительного аргумента

ПРИМЕЧАНИЕ П1.1(ПРП1.1). Нетрудно понять, что преобразование Лапласа существует только для тех функций , абсцисса сходимости которых конечна. В этой связи существуют функции, которые не преобразуемы по Лапласу. Примером такой функции является функция