19.2 Способы прямого решения линейных матричных уравнений

Под прямым решением уравнений (19.13) и (19.14) понимается решение этих матричных уравнений относительно матрицы соответственно в формах

. (19.16)

Первым аналитическим способом решения матричного уравнения вида (19.13) является способ, основанный на сведении матричного уравнения к векторно – матричному с использованием кронекеровской суммы матриц , в результате чего становится справедливой запись

, (19.17)

где , (19.18)

- символы кронекеровских суммы и произведения матриц,мерные векторыимеют структуру

,, (19.19)

– i-й столбец соответственно матриц M и U, .Решение уравнения (19.17) находится стандартным способом в форме

. (19.20)

Из столбца формируется искомая матрица.

Примечание19.3(У19.3). Ключевым моментом реализуемости предлагаемого способа решения является обратимость матрицы размерности, которая, являясь кронекеровской суммой матриц , имеет своими собственными значениями попарные суммы собственных значений матриц.Таким образом обратимость матрицы будет обеспечена, если алгебраические спектры собственных значений матрицине будут пересекаться, то есть будет выполняться соотношениеØ.

Следует также заметить, что предложенный способ не гарантирует невырожденности матрицы , так как она «собирается» из элементов вектора

В связи с отмеченным выше прежде, чем продолжить рассмотрение способов прямого решения матричных уравнений вида (19.13) и (19.14) сформулируем условие существования единственного невырожденного решения этих уравнений, опираясь на представление (19.14) с декомпозированной правой частью, ограничившись случаем матриц простой структуры.

Утверждение 19.5(У9.5). Линейное матричное уравнение вида (19.14) имеет единственное невырожденное решение, если матричные компоненты этого уравнения удовлетворяют условиям:

- непересекаемость алгебраических спектров собственных значений матриц и, то есть выполнение соотношенияØ;

- управляемость пары матриц ;

- наблюдаемость пары матриц .

Доказательство. Необходимость выполнения условия непересекаемости алгебраических спектров собственных значений матриц идоказана при рассмотрениипервого способа решения матричных уравнений вида (19.14).Тем не менее, осуществим еще раз доказательство необходимости выполнения этого условия в контексте подготовки новых способов решения матричного уравнения (19.14).

Для этих целей предположим, что матрица задана в диагональной форметак, что уравнение (19.14) принимает вид .Запишем последнее матричное уравнение в виде системы векторно – матричных уравнений вида

(19.21)

Столбец имеет видподстановка которого в векторно – матричное уравнение (19.21) дает,

откуда для матрицы получим представление

. (19.22)

Решение матричного уравнения (19.14) в форме (19.22) возможно только при обратимости матрицы , что возможно только при выполнении условияØ.

Покажем теперь справедливость требования управляемости пары матриц . Для этих целей воспользуемся разложением Фаддеева – Леверье матрицы , в соответствии с которым получаем развернутое по степеням матрицыпредставление

(19.23)

где

. (19.24)

Введем обозначения

(19.25)

В результате для получаем запись . (19.26)

Подстановка (19.26) в (19.22) дает для матрицы

. (19.27)

Из (19.27) следует, что матрица оказывается невырожденной, то есть , если , то есть если пара матриц управляема.

Для целей дальнейших исследований транспонируем матричное уравнение (19.14), тогда получим

. (19.28)

Теперь сделаем предположение, что матрица задана в диагональной форметак, что уравнение (19.28) принимает вид.

Запишем последнее матричное уравнение в виде системы векторно – матричных уравнений вида

. (19.29)

Столбец имеет видподстановка которого в векторно – матричное уравнение (19.29) дает,откуда для матрицыполучим представление

. (19.30)

Решение матричного уравнения (19.14) в форме (19.30) возможно только при обратимости матрицы , что возможно только при выполнении условияØ.

Покажем теперь справедливость требования наблюдаемости пары матриц . Для этих целей воспользуемся разложением Фаддеева – Леверье матрицы , в соответствии с которым получаем развернутое по степеням матрицыпредставление

где

. (19.31)

Введем обозначения

(19.32)

В результате для получаем запись (19.33)

Подстановка (19.33) в (19.30) дает для матрицы

. (19.34)

Из (19.34) следует, что матрица оказывается невырожденной, то есть , если , то есть если пара матриц наблюдаема. ■

Примечание19.4(У19.4).В процессе доказательства утверждения 19.5 сформированы два аналитических способа решения матричного уравнения (19.14), представленных соотношениями (19.22) и (19.30), которые соответственно названы вторым и третьим.

Четвертый (поэлементный) способ решения уравнений (19.13), (19.14).

При этом способе решения уравнения (19.13) строятся скалярных соотношений вида

, (19.35)

где -е строки матрицыM и R, -е столбцы матриц S и M , -ый элемент матрицы . В результате приведения подобных членов получается система содержащаяусловий длянеизвестныхматрицыM, которая решается стандартными методами линейной алгебры.

Пятый способ (с использованием итеративной процедуры)

Рассмотрим матрицу , определяемую решением дифференциального матричного уравнения

. (19.36)

Прямой подстановкой в выражение (19.36) нетрудно убедиться, что решение уравнения имеет вид .

Если , то очевидно, что

. (19.37)

Построим суммарное приближение интегрального выражения (19.37) в виде

. (19.38)

Если для матричных экспонент использовать аппроксимацию Е. Девисона:

то получим

.

Для суммарного представления интеграла можно записать

.

Введем в рассмотрение частичную сумму

На базе частичной суммы нетрудно построить рекуррентную процедуру

(19.39)

Тогда искомая матрица M найдется в результате предельного перехода