19. Линейные матричные уравнения, способы их решения

Метод пространства состояний позволил свести основные задачи управления и наблюдения к проблемам матричного формализма, опирающегося на решение матричных уравнений Сильвестра, Ляпунова и Риккати

Так, с помощью уравнения Сильвестра (УС) решаются задачи регулирования (перевода) в модальной постановке, слежения за конечномерным экзогенным задающим воздействием, а также динамического (асимптотического) наблюдения состояния объекта управления и конечномерного источника экзогенного воздействия.

Спектр проблем, решаемых с помощью уравнения Ляпунова (УЛ) представлен следующими задачами анализа многомерных систем управления. Это, в первую очередь, задача анализа структурных свойств: управляемости и наблюдаемости, опирающееся на системные грамианы «вход-состояние» и «состояние-выход» ОУ. Это анализ асимптотической устойчивости многомерных систем, а в случае постановки задачи качественной экспоненциальной асимптотической устойчивости – оценка темпа сходимости асимптотически устойчивых процессов по множеству начальных состояний. К решению УЛ сводится анализ качества многомерной системы по стохастическим составляющим состояния, выхода и ошибки, возбуждаемой стохастическими стационарными в широком смысле внешними(экзогенными) воздействиями типа «белого» и «окрашенного» шумов.

К уравнению Риккати (УР) сводятся задачи управления и наблюдения, сформулированные в оптимальной в смысле квадратичного интегрального функционала постановке .

Матричные уравнения Сильвестра, Ляпунова, Риккати имеют различную проблемную направленность. Так, уравнения Сильвестра и Риккати обслуживают в основном задачи синтеза, а уравнение Ляпунова – задачи анализа.

19.1 Связь матричных уравнений Сильвестра, Ляпунова, Риккати

Установление связи между матричными уравнениями Сильвестра, Ляпунова и Риккати, решающих задачи управления и динамического наблюдения, в рассмотренных в предыдущих разделах постановках, преследует следующие цели. Первая цель – системологическая, вторая – пользовательская, ставящая задачу унификации алгоритмического и программного обеспечения решений матричных уравнений.

Проблему связи между матричными уравнениями Сильвестра, Ляпунова и Риккати сформулируем в виде системы утверждений.

Утверждение 19.1(У19.1). Введем в рассмотрение обобщенное уравнение Риккати

, (19.1)

где ,.

Тогда уравнение Ляпунова

(19.2)

с матрицами и, где, совпадает с матричным уравнением Риккати (19.1) при. □

Доказательство. Для доказательства У19.1 достаточно в (19.1) положить , в (19.2) подставитьи, и убедиться в совпадении левых и правых частей (19.1) и (19.2).■

Утверждение 19.2(У19.2). Если уравнение Риккати используется для синтеза закона управления, доставляющего системе качественную экспоненциальную устойчивость, так, что оно записывается в виде

, (19.3)

то оно может быть сведено к уравнению Ляпунова вида

. □ (19.4)

Доказательство. Умножим уравнение Риккати (19.3) слева и справа на матрицу , тогда получим

В полученном матричном уравнении относительно матрицы все члены ее содержащие разместим в левой части уравнения, а не содержащие ее – в правой, тогда получим (19.4). ■

Утверждение 19.3(У9.3). Матрицы и:,;,вида

, , (19.5)

где матрицы иудовлетворяют матричному уравнению Сильвестра

(19.6)

удовлетворяют матричному уравнению Ляпунова (19.2). □

Доказательство. Пусть матрица обратной связи найдена в результате решения задачи модального управления так, что, где– решение уравнения Сильвестра (19.6).

Тогда подстановка в (19.6) приводит к уравнению подобия

, (19.7)

которое позволяет записать

, . (19.8)

Подстановка в (19.2) матриц ивида (19.5), а такжеивида (19.8) дает

, (19.9)

что доказывает справедливость утверждения 19.3. ■

Примечание 19.1(ПР19.1). Необходимо заметить, что матрица , в которой матрицаимеют спектр собственных значенийс отрицательными вещественными частями, не в любом базисе ее представления является положительно определенной. Эта матрица является гарантировано положительно определенной, если матрицаявляется диагональнойили блочно – диагональной.Действительно в этом случае имеет место представление

Утверждение 19.4(У19.4). Матрицы ивида

, , (19.10)

где матрицы ,,иудовлетворяют модифицированному УС

, , (19.11)

в котором – управляема,– наблюдаема, а такжеØ, удовлетворяют обобщенному уравнению Риккати (19.1) при. □

Доказательство. Для доказательства У9.4 сконструируем на основании (19.11) представления матриц и

(19.12)

Тогда подстановка в (19.1) , а также представленийи(19.12) дает

что доказывает справедливость сформулированного утверждения. ■

Примечание19.2(У19.2). Управление , гдеявляетсямодальным управлением, оптимальным в смысле квадратичного функционала качества (15.17). Это управление доставляет матрице состояния системы структуру мод, носителем которой является матрица, и минимизирует функционал (15.17) с матрицамиивида (19.10) на траекториях системы.

Таким образом, наличие установленных связей между матричными уравнениями Сильвестра, Ляпунова и Риккати обнаруживает полезную однотипность матричного формализма в задачах управления в их многовариантной содержательной постановке, тем не менее в зависимости от решаемой задачи алгоритмически сводящихся к решению линейного матричного уравнения вида

(19.13)

или

, (19.14)

в которых соблюдаются соотношения размерностей матричных компонентов

. (19.15)