35782

координат точки, времени наблюдения. Например, на рис.14.4 показано изменение температуры в двух точках некоей системы тел

Рисю14.4. Изменение температуры в точках 1 и 2 системы тел с неравномерным стационарным полем температур.

Сплошные линии отражают действительное изменение температуры во времени в точках 1 и 2 системы, а штриховые – значения приближённо вычисленных температур в различные моменты времени в этих точках. Возможность применения теории регулярного режима для приближённых расчётов температурных полей требует в каждом конкретном случае специального теоретического или экспериментального обоснования.

Выбор изоляционной оболочки объекта. Объект произвольной формы окружён со всех сторон изоляцией, и вся система находится в кожухе. Требуется так подобрать физические и геометрические параметры изоляции и кожуха, чтобы объект, имеющий начальный перегрев над средою ( t1 − tc ), изменил его величину до ( t2 − tc ) за время τ12 .

Рассматриваемый объект совпадает с системой тел, изображённой на рис.14.2,в. Будем называть объект «ядром», изоляцию – «зазором», а кожух – «оболочкой». По условию задачи известны геометрические параметры оболочки и её теплофизические свойства, а также коэффициент теплообмена со средой α ; требуется найти геометрические и физические параметры зазора и оболочки σ2 , C3 , S3 , при которых будут выполняться

поставленные условия.

Задача может быть решена следующим способом. По формуле (14.33) вычисляем темп, который должна иметь система, чтобы выполнялись поставленные условия:

151

Далее из соображений технического и технологического характера подбирается материал зазора, его толщина, а также материал и толщина оболочки. После этого по формуле (14.13) рассчитывается m′. Если окажется, что m′ ≠ m , то несколько изменяются параметры зазора и оболочки и снова рассчитывается m′. Эта операция подбора размеров изоляционной оболочки (зазор и оболочка) объекта продолжается до тех пор, пока m′ будет несущественно отличаться от m.

14.4. Длительность дорегулярного теплового режима

Применение теории регулярного режима и основанных на ней приближенных зависимостей правомерно при условии вступления температурного поля тела или системы тел в стадию регулярного режима. Длительность дорегулярного (иррегулярного) теплового режима можно оценить экспериментально или аналитически.

При экспериментальном исследовании температурного поля тела или системы тел критерием наступления стадии регулярного режима является выполнение условий (13.7) или (13.8). Построенная в полулогарифмических координатах зависимость избыточной относительной температуры от времени (рис.13.1,б) позволяет оценить длительность дорегулярного режима в различных точках системы.

При математическом исследовании температурного поля тела определение регулярного режима связано с быстротой сходимости рядов (13.4) или (14.27). Напомним, что регулярным режимом называется температурный режим тела, при котором пространственно-временное изменение температурного поля с удовлетворительной точностью описывается первым членом ряда (13.4) (источники энергии отсутствуют) или (14.27) (тело с источниками энергии). В связи с этим вопрос о сходимости этих рядов приобретает важное значение.

В литературе изложены результаты исследований сходимости рядов типа (13.4) для некоторых частных случаев и приведены для них иногда удачные, иногда менее удачные способы оценки длительности дорегулярного режима тел простой конфигурации. Однако в настоящее время нет общих способов простой оценки длительности дорегулярного режима, справедливых для тел различной конфигурации при разнообразных начальных температурных полях и значениях критерия Био. Попытаемся качественно определить, как влияет форма тела, значение критерия Био, начальное распределение температур и расположение источников энергии на сходимость рядов типа (13.4) и (14.27).

Тела без источников энергии. Допустим, что начальное температурное поле f (x, y, z) подобно l-й собственной функции, т.е.

152

где численный коэффициент K=const имеет размерность температуры. Используем (14.41) для определения An в формуле (13.4). Приняв во

внимание ортогональность собственных функций, найдем

т.е. все члены ряда (13.4), кроме l-го, будут равны нулю и температурное поле будет изменяться, начиная с τ=0, по закону экспоненты с показателем ml . Если l=1, то (14.43) примет вид

где индексы «1» при U и m опущены.

Итак, если начальное температурное поле подобно первой собственной функции, то стадия регулярного режима наступает сразу с τ=0. Очевидно, что если начальное поле температур не подобно первой собственной функции, но близко к такому подобию, то ряд (13.4) будет быстро сходиться и через короткое время наступит регуляризация температурного поля. Эти выводы служат в дальнейшем руководящей идеей при исследовании длительности дорегулярного режима.

Аналогичные рассуждения можно провести и для случая, когда l ≠1. При этом регулярный тепловой режим никогда не наступит.

Рис. 14.5. Первые три собственные функции для пластины при значении критерия а) Bi=0.01; б) Bi=10; в) Bi=∞.

153

температурного поля в теле простейшей конфигурации (например, в пластине), долго не наступает или даже вообще принципиально никогда не наступает (например, если f = KU 2 ). В то же время возможны и такие случаи, когда в теле более сложной конфигурации (например, в клине) регуляризация температурного поля будет иметь место практически с момента его охлаждения (если, например, f = KU1 ).

3. Данные выше признаки регуляризации температурного поля следует дополнить, а именно: избыточная температура различных точек тела в процессе ее изменения в регулярной стадии сохраняет один и тот же знак.

При практическом решении вопроса о длительности дорегулярной стадии следует сопоставлять характер начального поля температур и вид первой собственной функции для данного тела для конкретного значения критерия Био.

Для таких часто встречающихся на практике тел, как шар, неограниченные цилиндр и пластина, ограниченный цилиндр, параллелепипед, и для тел, приближающихся по своей конфигурации к перечисленным, вид первой собственной функции по отдельным осям близок к симметричной параболе (условия охлаждения также симметричны). Если условия охлаждения на противоположных плоскостях тела различны, то вид U1 (x, y, z) близок к несимметричной параболе.

При значении критерия Био, стремящемся к нулю, первая

собственная функция стремится к единице, т.е. lim U1 (x, y, z) =1. При

Bi→0

наибольшем значении критерия Био ( Bi = ∞) вид первой собственной функции близок к параболе с максимумом центральных частях тела и нулевым значением на поверхности (рис. 14.5, 14.6).

Для тел более сложной конфигурации вид первой собственной функции следует отыскивать особо, прибегая к решению краевых задач математической физики. Сопоставление вида первой собственной функции (рис. 14.5,а,б,в и 14.6,а,б,в) и характера начального поля температур позволит вынести суждение о длительности дорегулярной стадии и целесообразности применения теории регулярного режима.

Заметим также, что аппарат теории регулярного режима иногда можно использовать и в тех случаях, когда регуляризация температурного поля наступила не во всем теле, а только в отдельных его частях.

Во всех более сложных и сомнительных случаях обоснование применения методов регулярного режима для анализа нестационарных температурных полей следует проводить экспериментально.

Тела с источниками энергии. Рассмотрим теперь регуляризацию температурного поля тела, нагреваемого внутренними источниками энергии, произвольно распределенными в теле. Для того, чтобы дать качественную оценку быстроты сходимости ряда (14.2) и сделать выводы о

156

длительности дорегулярного режима, используем тот же прием, что и в предыдущем разделе.

Из выражения (14.28) для амплитуд An и ортогональности собственных функций U n следует, что при

V

Если разность между предельным и начальным значением температур подобна первой (l=1) собственной функции, то регуляризация температурного поля наступает сразу с момента времени τ=0. Следовательно, длительность дорегулярной стадии определяется конфигурацией тела, значением критерия Био, начальным полем температур и распределением источников в теле, т.е. задача еще более усложняется, чем в случае простого охлаждения тела. Все выводы, сделанные ранее, остаются в силе, только прибавляется дополнительное условие о характере распределения источников энергии. Анализ отдельных частных случаев и экспериментальные исследования показывают, что при равномерном распределении источников энергии в теле и симметричных условиях охлаждения на его противоположных плоскостях регуляризация температурного поля наступает быстро. Этот результат легко объяснить с помощью изложенного метода.

Рассмотрим, например, параллелепипед с равномерным распределением источников энергии и постоянным коэффициентом теплоотдачи на границах. Стационарное температурное поле такого тела может быть приближенно описано с помощью параболических симметричных функций. Если начальное поле температур равномерно, то условие (14.45) выполняется для первой собственной функции (l=1), т.к. первые собственные функции также приближенно могут быть представлены с помощью симметричных парабол. При выполнении условия (14.45) регуляризация температурного поля наступает быстро.

Рассмотрим теперь иное распределение источников энергии в системе, а именно: большая часть энергии вырабатывается в центральных частях тела и меньшая – на периферии. В этом случае стационарное температурное поле так же будет описываться зависимостью, близкой к параболе, и условие (14.43) приближенно может выполняться, т.е. следует ожидать быстрого вступления поля температур в стадию регулярного режима. Если значительная доля энергии будет сосредоточена в центральных частях тела, а на периферии источники энергии практически будут отсутствовать (рис.14.8,а), то характер стационарного поля

157

температур уже будет подобен параболической зависимости (рис.14.8,б). Подобие в какой-то степени еще будет соблюдаться в центральной части тела, т.е. для центральных частей тела следует ожидать сравнительно быструю регуляризацию температурного поля, а на периферии регулярный режим может наступить через длительное время после начала процесса.

Рис. 14.8. а) Энергия сосредоточена в центральной части тела б) Распределение температуры

Этот вывод хорошо подтверждается многочисленными экспериментами, которые позволяют сформулировать следующую закономерность: если в теле имеются дискретные источники энергии, то раньше всего температурное поле регуляризуется в тех областях тела, где расположены источники.

Системы тел. В заключение рассмотрим вопрос о регуляризации температурного поля системы тел. Аналитический метод определения длительности дорегулярного режима системы тел еще более затруднителен, чем для однородных тел и практически отсутствует в литературе. Для системы тел целесообразно использовать экспериментальный признак наступления регулярности – параллельность полулогарифмических кривых охлаждения, построенных для отдельных наиболее существенных областей исследуемой системы.

Изучение нестационарных температурных полей некоторых систем тел показывает, что наступление дорегулярного режима зависит от интенсивности кондуктивного теплообмена между отдельными частями системы, которая определяется качеством тепловой связи между отдельными частями системы, и начальным распределением температурного поля в системе тел. Если площади соприкосновения отдельных частей системы невелики по сравнению с поверхностями этих частей, материал перемычек между частями системы обладает малой теплопроводностью, то тепловая связь между этими частями системы слаба, в противном случае будем говорить о сильных тепловых связях.

158

В случае слабых тепловых связей и при начальном равномерном поле температур интенсивность теплообмена между отдельными частями системы мала, эти части ведут себя практически как независимые тела, и регуляризация температурного поля всей системы наступает либо очень нескоро, либо в предельных случаях может вообще не наступить, хотя в отдельных местах системы регуляризация температурного поля может наступать и довольно быстро. В случае сильных тепловых связей и при благоприятном начальном распределении температур, способствующем более интенсивному теплообмену между отдельными частями системы, регуляризация температурного поля может наступать сравнительно быстро.

Многолетний опыт работы различных научно-исследовательских учреждений показывает, что метод регулярного режима является эффективным средством решения инженерных задач, в том числе задач, связанных с приближенными расчетами нестационарных температурных полей и тепловых потоков. Надежность решения во многом зависит от того, насколько точно выполняются основные предпосылки метода регулярного режима.

Глава 15. Излучение

15.1.Законы лучистого теплообмена

15.1.1.Основные определения

Известно, что излучение переносится со скоростью света. По электромагнитной теории это – скорость электромагнитных волн, по квантовой теории – скорость фотонов.

Вводим следующие обозначения: n – показатель преломления, C0 -

скорость света в вакууме, С – скорость света в среде. В табл. 15.1 даны некоторые зависимости, которые в дальнейшем будут использованы.

Таблица 15.1

Если на пути теплового излучения встречается вещество, то тепловая энергия частично поглощается, частично отражается и частично проходит сквозь тело. Обозначим количество падающей в единицу времени на тело энергии через Ф (поток излучения), поглощённой - Фa , отражённой - Фr и

прошедшей через вещество - Фd . Тогда на основании закона сохранения

159

Первый член равенства (15.2) называется поглощательной способностью тела и обозначается через a, второй r – отражательной способностью тела, третий d – пропускательной способностью тела. Следовательно,

a+r+d=1 (15.3)

Каждая из величин a, r, d изменяется в пределах от нуля до единицы. В зависимости от этих величин различают три крайних случая.

1)a=1, r=0, d=0, т.е. падающая лучистая энергия полностью поглощается телом; такие тела называются абсолютно чёрными.

2)r=1, a=0, d=0, т.е. падающая лучистая энергия полностью отражается; при диффузном отражении такие тела называются абсолютно белыми. Если при этом тело отражает по законам геометрической оптики, то поверхность называется зеркальной.

3)d =1, a=0, r =0, т.е. падающая энергия полностью проходит через тело; такие тела называются абсолютно прозрачными.

Вприроде такие крайние случаи не встречаются, т.е. величины a, r,d не принимают значений, равных нулю или единице. Однако анализ таких случаев позволил найти путь для установления законов изучения реальных тел.

Различают монохроматическое и интегральное (или полное) излучение. Если излучение происходит в узком интервале длин волн от λ до dλ, то оно называется монохроматическим, и у параметров, характеризующих монохроматическое излучение, ставится индекс λ или ν. Интегральным (или полным) называется суммарное излучение во всем диапазоне длин волн от λ = 0 до λ = ∞ . Таким образом, в отличие от других механизмов теплообмена, энергия излучения имеет не только количественную, но и качественную (спектральную) характеристику.

15.1.2. Закон Планка

Энергию, излучаемую абсолютно черным телом (АЧТ) в единицу времени с единицы поверхности (плотность потока излучения) в диапазоне

160