35782

(13.16). Теорема доказана.

13.3. Метод разделения переменных (метод Фурье) для задач теплопроводности

Приведём точное классическое решение простейшей задачи для неограниченной пластины, температурное поле которой будет зависеть от времени и координаты. Температурное поле тела описывается дифференциальным уравнением теплопроводности

Используем для его решения разделение переменных (метод Фурье). Частные решения представляются в виде произведения функций θ(τ) U (x) , каждая из которых зависит только от одной переменной

Это отношение должно равняться постоянной величине D.

Из выражения (13.23) получим два дифференциальных уравнения

Обсудим свойства постоянной величины D. Эта величина не может быть положительной, в противном случае из решения (13.24а) получим при устремлении τ → ∞, возрастание θ до бесконечности, а следовательно в силу (13.22) и температура тела примет бесконечное значение, а это противоречит физическому смыслу задачи. Величина D не может быть равна нулю D ≠ 0 , т.к. при D = 0 из (13.24а) следует, что θ не зависит от времени, т.е. нет нестационарных процессов, что также противоречит физическому смыслу задачи. Остается одна возможность, а именно: D<0 и она может быть вещественной или мнимой. При D вещественной описываются обычные процессы нагрева и охлаждения тел, при D мнимой

– периодические процессы.

131

Обозначим

и приведем решение уравнения (13.24а).

Уравнение (13.24а) можно проинтегрировать и тогда получим

Решение уравнения (13.27) определяется геометрической формой тела и условиями теплообмена тела с окружающей средой. Пусть все эти условия известны и найдено решение U (x, y, z) уравнения (13.27). Тогда частное решение уравнения теплопроводности (13.21) можно записать так

Уравнение (13.28) является частным решением уравнения (13.21), т.е. давая постоянным C и γ различные значения, получим бесконечное множество частных решений. Общее решение равно сумме частных решений. Постоянные γ определяются граничными условиями, а постоянные C - из начальных условий.

13.4. Нагревание неограниченной пластины при граничных условиях третьего рода

Постановка задачи и ее решение. Дана неограниченная пластина, толщиной 2R. Начальное распределение температуры задается функцией ϑ = (x,0) = f (x) . В начальный момент времени пластина помещена в среду с постоянной температурой tc < t(x,0) . Между поверхностями пластины и

окружающей средой происходит теплообмен по закону Ньютона. Требуется найти распределение температуры по толщине пластины.

Запишем математическую формулировку этой задачи.

132

где x=R.

Собственными функциями краевой задачи называются нетривиальные (т.е. ненулевые) решения задачи (13.29). Собственными числами задачи называются те значения γ, при которых существуют нетривиальные решения (13.27) и (13.32). Для ограниченных областей спектр собственных чисел дискретный и образует счетное множество, поэтому собственные функции и числа записываются с индексом γn .

γ1 < γ2 < ... < γn < ...

Одним из основных свойств собственных функций является их ортогональность, т.е.

Частное решение уравнения (13.29) при условии (13.32) имеет вид

Удовлетворим решение (13.34) условию (13.31), которое для новой переменной примет вид

Сократим (13.36) на Ae−γ 2 aτ , тогда получим тригонометрическое уравнение для определения постоянной γ

Величина hR = αλ R = Bi есть критерий Био.

Обозначим γR=μ, из анализа уравнения (13.37) видно, что μ имеет бесчисленное множество значений. Наиболее просто можно определить корни уравнения (13.37) графическим путем. Если левую часть уравнения

ctg μ обозначить через y1 , т.е. y1 = ctg μ, а правую часть – через y2 = Biμ , то

пересечение котангенсоиды y1 с прямой y2 (рис.13.2) даст значение корней μ. Из рисунка видно, что имеется

μ1 < μ2 < ... < μn < ...

чем больше n, тем ближе μn к числу (n-1)π. Тангенс угла наклона прямой yz равен Bi1 .

133

13.5. Применение теории регулярного теплового режима к анализу температурного поля тел различной формы

Пластина. Дана неограниченная пластина толщиной 2R, свободно охлаждающаяся в среде с постоянной температурой. Требуется найти параметры m∞ , Ψ , K.

Запишем уравнение (13.38) для определения собственных чисел

Обозначив μ∞ = lim μn , из выражения (13.43) определим μ∞ :

Bi→∞

μ∞tgμ∞ = ∞, tgμ∞ = ∞, μ∞ =π / 2 ;

Можно показать, что для коэффициента формы тела справедлива общая зависимость

где L – определяющий размер тела (в данном случае половина толщины пластины).

Для отыскания коэффициента Ψ преобразуем зависимость (13.11) к следующему виду:

откуда

135

Ψ = μ12Vλ = V μ12 .

R2αS S RBi

Для пластины V/S=R,

Неограниченный цилиндр. Рассуждая аналогично, выпишем значения m∞ , Ψ , K для задачи о свободном охлаждении (нагрева) цилиндра радиусом R в среде с постоянной температурой:

Здесь I0 и I1 , - бесселевы функции нулевого и первого порядков.

Шар. Аналогичной по постановке задаче для шара радиусом R соответствуют значения

Ограниченный цилиндр длиной 2l и радиусом R, охлаждающийся (нагревающийся) в среде с постоянной температурой.

Первое собственное число задачи γ1,1

где μ1 и ν1 определяются соотношениями (13.43) и (13.48). Для предельного случая

Bi1,2 = ∞ (Bi1 =αl / λ ; Bi2 =αR / λ)

Коэффициент неравномерности Ψ определим из соотношения, аналогичного (13.46):

136

Аналогично находятся выражения К и Ψ для других тел. Следует обратить внимание на громоздкость выражений для Ψ, который во многих случаях вообще не представляется возможным определить аналитически. Поэтому рассмотрим другой метод решения этой задачи.

13.6. Обобщенная зависимость между темпом охлаждения и теплоотдачей тела

Критерии М и Н. Из соотношения (13.11) следует, что темп охлаждения (нагревания) тела растёт с ростом коэффициента теплоотдачи и стремится к асимптотическому значению m∞ при бесконечно больших величинах этого коэффициента (3.16). Найдём из (3.11) и (3.16) отношение

Био.

На рис.13.3,а показан вид зависимости (13.11) в координатах m=m(α): это выпуклая кривая с асимптотой, параллельной оси абсцисс и находящейся от неё на расстоянии m∞ . Так как зависимость (13.11) связывает размерные

физические (α,С) и геометрические (S) параметры тела, то каждому набору этих параметров будет соответствовать своя кривая. Поэтому представленная в графическом виде зависимость (13.11) носит иллюстративный характер и не может служить основой для численных расчётов. Практические расчёты по формуле (13.11) также затруднены, так как неизвестен критерий Ψ. Для группы простейших тел (шар, цилиндр, пластина и некоторые другие) вид этого критерия найден, но для более сложных тел отыскание структуры критерия Ψ является сложной самостоятельной задачей. Однако можно обобщить зависимость (13.11), что позволит избежать трудностей, связанных с расчётом темпа охлаждения тел.

В уравнении (13.53) фигурируют только безразмерные величины, поэтому оно является обобщением уравнения (13.11).

137

а)

б)

Рис.13.3. Зависимость темпа охлаждения от коэффициента теплоотдачи а) в обычных и б) обобщённых координатах

Структура критерия М такова, что независимо от конфигурации тела при Н=0 темп охлаждения m=0 и М=0, а при H = ∞ темп охлаждения m= m∞ и M=1. Если теперь зависимость (13.53) изобразить графически для тел различной конфигурации (1 – пластина, 2 – цилиндр, 3 – шар), то все кривые начинаются из одной точки, и при устремлении Н к бесконечности стремятся к единой асимптоте М=1 (рис.13.3,б).

Исследования показали, что для тел разной конфигурации кривые М=М(Н) при значениях 0 ≤ H < ∞ настолько близко располагаются друг к другу, что практически всё многообразие их можно заменить одной осреднённой кривой. Приближённое аналитическое выражение для критерия Ψ, соответствующее этой кривой, имеет вид […]

Уравнение (13.54) значительно упростило математический аппарат теории регулярного режима и открыло перспективу решения задачи о

138

температурных полях тел сложных очертаний в стадии регулярного режима.

Коэффициент формы тела. При практическом использовании зависимости (13.54) неясно, как находить коэффициент формы К для тел различной конфигурации. Для некоторых тел, температурное поле которых можно определить аналитически, известны выражения для К. Для тел сложных очертаний коэффициент формы можно найти опытным путём.

Идея метода состоит в следующим. Из эталонного вещества, т.е. материала с известными теплофизическими свойствами, изготовляется модель, копирующая в выбранном масштабе данное тело. Охлаждая модель таким способом, чтобы было обеспечено условие Bi → ∞, определяют из опыта темп регулярного охлаждения m∞ и по формуле

(13.16) вычисляют коэффициент формы Kмод модели. После этого

если модель по линейным размерам в n раз меньше объекта.

Обосновать эту формулу нетрудно на основании соотношения (13.46). Вместо коэффициента формы К удобно ввести безразмерный коэффициент

класс шара

E3 = K / Kш , Kш = R2 /π2.

Введением Е удалось освободиться от влияния размеров сравниваемых форм; коэффициент Е, определяемый только формой тела и одинаковый только для геометрически подобных тел, можно назвать относительным коэффициентом формы.

Для изготовления моделей тел в качестве эталонного вещества удобно использовать натуральный необработанный пчелиный воск, температуропроводность a которого при температуре 0,5oC равна

139