Математическое моделирование / Arz_(2010)_Mathematical_&_Computer_Modelling

Рис. 1.8. Функции плотностираспределения ираспределенияслучайныхвеличин

Рис. 1.9. Объект представляет собой некоторую емкость с объемом V, входным потоком вещества с объемным расходом Q и концентрацией инертного трассера с0 и выходным потоком вещества Q и концентрацией инертного трассера с. Таким объектом могут быть: озеро, река, ванна с водой, участок воздушного бассейна, химический реактор (гидродинамика), живая клетка и т. д.

Если внутреннее устройство объекта, показанного на рис. 1.9 таково, что в результате внутренних процессов (например, интенсивного перемешивания) обеспечивается постоянство интересующего нас свойства по всему объему, то можно использовать математическую модель с сосредоточенными параметрами, схема представления для которой показана на рис. 1.10.

30

Таблица 1.2

Различные модели, используемые для представления объекта

32

Другие способы представления объекта (рис. 1.9), учитывающие распределение инертного трассера в различных направлениях и их реакции на стандартные возмущения показаны в табл. 1.2.

Непрерывные и дискретные модели. Непрерывные моде-

ли имеют независимую переменную времени t R. При отсутствии других независимых переменных описываются системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Наличие других независимых переменных (как правило, тоже непрерывных) приводит к уравнениям более сложного вида (уравнения с частными производными, уравнения с отклоняющимся аргументом, интегро-дифференциальные уравнения).

Дискретные модели имеют независимую переменную времени t Z. Описываются разностными уравнениями. Предпочтительны при наличии жесткой временной периодизации (сезонность, непересекающиеся поколения и т. п.)

В зависимости от неизменности внутренней структуры объекта во времени, математические модели могут быть стацио-

нарными, нестационарными и квазистационарными.

Приведенная здесь классификация упрощает выбор подходящего математического аппарата. Например, для детерминированного объекта с сосредоточенными параметрами в случае статики (1.1) будет представлено системой алгебраических уравнений, а в случае динамики системой обыкновенных дифференциальных уравнений, которая переходит в модель статики, если приравнять все производные к нулю. В этих же случаях, для объекта с распределенными параметрами модель обычно возможно записать в виде дифференциальных уравнений в частных производных и т. д.

1.5. Методы разработки математических моделей

Математические модели различных объектов могут быть построены посредством теоретического, эмпирического (статистического) и комбинированного подходов.

33

При теоретическом подходе подразумевается, что исследователю не требуется никаких дополнительных экспериментальных сведений об объекте, сверх уже известных ему из естественных наук законов и правил. Разумеется, что таким образом можно построить модели лишь для относительно простых объектов. Однако несомненное достоинство метода состоит в общности полученных закономерностей для большого класса аналогичных явлений.

При статистическом подходе объект рассматривается как черный ящик. После проведения экспериментальных исследований на нем исследователь обычно пытается установить его внутреннюю структуру (структурная идентификация) и с помощью какого-либо стандартного формального приема получить уравнения связи вида (1.1) и их коэффициенты (параметрическая идентификация). Достоинством такого метода является стандартизация приемов получения математической модели. Существенный недостаток – математическая модель, разработанная статистическим методом, пригодна для описания только данного объекта или явления и не может быть распространена даже на классы близких к ней по свойствам объектов.

Наконец, комбинированный метод, сочетает в себе достоинства первых двух: при таком подходе сама математическая модель записывается в общем виде, исходя из теоретических предпосылок (законов), а ее коэффициенты определяются из эксперимента в ходе параметрической идентификации.

На рис. 1.11 показан процесс работы над типовой математической моделью.

На первом этапе необходимо понять себе цели моделирования выбранного объекта. На этом и втором этапах важно определиться в том, что представляют собой вектора X, U и Y (см. рис. 1.1). И, если в случае с векторами U и Y все более или менее ясно, т. к. они представляют собой воздействия пользователя на объект и свойства самого объекта, выраженные в математической форме, то с вектором Х не все обстоит так просто. Напомним, что он представляет собой реакцию «внешнего мира» направленную на моделируемый объект или явление. Происхождение этого вектора имеет следующий смысл. При моде-

34

лировании какого-либо объекта и явления исследователь должен обязательно «вырезать» его (возможно вместе с непосредственным окружением) из окружающего мира, т. к. в противном случае сложность модели превысит реальные возможности исследователя. Проблема состоит в том, что на этапе, когда математической модели еще нет, никто не может точно определить места «надрезов», которые обеспечат в дальнейшем приемлемость математической модели для исследований. Практически во всех случаях разработчики моделей на этом этапе руководствуются интуицией, от которой во многом зависит положительный исход всех процессов, представленных на рис. 1.11.

Рис. 1.11. Процесс разработки математической модели. Пунктирной линией показана группа трудноформализуемых шагов (этапов) в решении общей задачи

35

Таким образом, мы столкнулись с тем, что наука, оперирующая со строго установленным знанием (истиной?) и часто обращающаяся к математическому моделированию, как к методу познания, сама вынуждена руководствоваться интуицией в выборе исходных посылок, мест «надрезов», ограничивающих рассматриваемый объект от остального мира. Очевидно, что эта черта унаследована от искусства.

Далее, следуя рис. 1.11, исследователь должен определиться со структурой будущей математической модели. Оказывается и на этом этапе многие шаги не удается формализовать. На этапе 3 необходимо решить не менее сложный вопрос об уровне рассмотрения объекта или явления. В большинстве случаев более просто рассматривать его сверху, так, что видны только интересующие нас вектора X, U и Y. Однако, исследователь рискует при таком подходе разработать лишь внешнее, поверхностное описание явления, что не позволит ему в дальнейшем разобраться с механизмами происходящего. С другой стороны, при чрезмерной детализации (взгляд изнутри, с позиции микроуровня) исследователь всегда рискует «завязнуть» в трясине интегрирования большого числа явлений микроуровня при расчете наблюдаемых свойств макроуровня. Таким образом, и здесь выбор исследователя в большой степени субъективен и произволен.

На этапе 3 часто приходится сталкиваться со следующей проблемой. При определении структуры модели бывает необходимо разбить сложную задачу на группу мелких. И хотя в настоящее время методы декомпозиции хорошо разработаны в теории больших систем, использование этого знания крайне проблематично, т. к. на этапе 3 математическая модель явления еще не создана, поэтому нет и объекта декомпозиции. Поэтому и в решении этой задачи снова приходится руководствоваться интуицией.

Прочитав такие рассуждения, читатель по всей видимости будет удивлен. Конечно же, он наверняка заинтересуется тем, какова же научная значимость результатов, полученных в ходе использования такой математической модели, если при ее создании так много интуитивного!

36

Однако, на самом деле все обстоит не так уж и плохо, если продолжить рассматривать процесс работы над моделью.

Вслед за «интуитивными» этапами 1–3 исследователь должен произвести идентификацию («озвучивание») структуры модели с помощью известных в естественных науках законов, правил и т. д. (этап 4). За этим, как правило следует разработка алгоритмов для работы с математической моделью и ее компьютерная реализация (этапы 5–7). Эти шаги, хотя и несут определенные технические трудности, но как правило не несут трудностей принципиального характера.

А вот на этапе 8, где происходит идентификация математической модели и проверка ее адекватности реальному процессу и объекту, как правило становится ясно, какова была интуиция исследователя на этапах 1–4, каково было его искусство в деле моделирования различных явлений!

Математическая модель может принести какую-либо пользу только в том случае, если она адекватна объекту исследования. Под адекватностью обычно понимают сходность (близость) отклика модели отклику реального объекта на одинаковое воздействие. Можно оценивать адекватность модели величиной относительной или абсолютной погрешности. Обычно стремятся к тому, чтобы минимизировать такую погрешность. В некоторых случаях вовсе не обязательно стремиться к точному соответствию откликов, достаточно лишь, чтобы модель правильно работала на качественном уровне.

Однако, в любом случае, если в ходе проверки модели на этапах 8,9 она оказывается неадекватной исследуемому объекту, необходимо снова возвращаться к этапам 2–4 и проходить весь путь заново! Причем количество итераций (возвращений) будет тем больше, чем меньше интуиция исследователя.

Таким образом, мы пришли к выводу, что математическое моделирование, используемое в качестве метода познания в естественных науках, имеет ярко выраженные черты, характерные для искусства!

Таким образом, в данной части показаны общие подходы и принципы, используемые при создании математических моде-

37

лей реальных объектов. Некоторые примеры разработки таких моделей будут приведены в следующей части.

Литература к части 1

1.Ашихмин В. Н. и др. Введение в математическое моделирование. – М.: Изд-во «Университетская книга», 2007. – 440 c.

2.Мышкис А. Д. Элементы теории математических моделей. – М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. – 192 c.

3.Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование. – М.: Физматлит, 2002. – 320 с. (На кафедре компьютерного и математического моделирования имеется PDF файл этой книги).

4.Тарасевич Ю. Ю. Математическое и компьютерное моделирование. – М.: Эдиториал УРСС, 2004. – 152 c.

38