Математическое моделирование / Arz_(2010)_Mathematical_&_Computer_Modelling
.pdf
Рис. 2.13. Представление термофлотатора в виде ячеечной модели
Рис. 2.14. Информационная модель процессов термофлотации. Взаимодействие модулей математической модели
60
Флотация частиц органического материала возможна лишь пузырьками газа, имеющими размеры от rmin до rmax. Уравнения (2.21), (2.22) представляют модуль флотируемости.
|
|
|
3σr2p |
0.25 |
(2.21) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
rmin =γ1 |
2ρl g |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
rmax |
= |
|
3σ γ2 |
|
|
(2.22) |
2 r p ρp g |
|
|||||
|
|
|
||||
Уравнения, полученные на основе закона Генри – (2.23)– (2.33) используются для определения растворимости газовой смеси в жидкости:
P =m y |
(2.23) |
||
y j = |
p j |
(2.24) |
|
m j |
|||
|
|
||
где индексы соответствуют: 1 – CO2, 2 – O2, 3 – N2.
p |
|
|
= r k |
|
P |
|
|
|
|
(2.25) |
|||||
|
|
|
f j |
|
|
|
|
||||||||
|
j |
|
j |
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|||
k = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.26) |
|||
3 |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
∑ |
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
m |
j |
= a |
|
|
+a |
T +a |
T 2 |
+a |
T3 |
(2.27) |
|||||
|
|
|
0 j |
|
|
|
1 j |
2 j |
|
3 j |
|
|
|||
61
Yj = |
|
|
y j |
|
|
|
|
(2.28) |
||
|
|
3 |
|
|
|
|
||||
|
1− ∑y j |
|
||||||||
|
|
|
|
j=1 |
|
|||||
Ymj = |
f j |
y j |
|
(2.29) |
||||||
msr |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f0 + ∑ f j Yj |
|
|||||
msr = |
|
|
j=1 |
(2.30) |
||||||
|
|
3 |
|
|
||||||
|
|
|
|
1 + ∑Yj |
|
|||||
|
|
|
|
|
j=1 |
|
||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
M t = ∑Ymj 1000 |
(2.31) |
|||||||||
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
||
3 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
∑ f jYmj |
(2.32) |
|||||||
M = |
j=1 |
|
|
|
|
|||||
3 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
∑Ymj |
|
||||||
j=1
Количество газовой смеси можно определить из соотношения:
C(T ) = Mt 22,4 (T + 273,15) 100 293,15 P M
Уравнения (2.34)–(2.37) вспомогательные.
V1 = V2= … VN = Va/N h = Ha/N
hi dn = h (i–1), i=1,.., N hi up = h i, i=1,.., N
(2.33)
(2.34)
(2.35)
(2.36)
(2.37)
62
Уравнения (2.38)–(2.39) позволяют вычислить изменение радиуса газового пузыря по мере его транспорта от нижних слоев к верхним слоям термофлотатора.
|
dVb |
|
|
|
|
|
|
Ρ0 +ρl g(Ha −h0 ) |
|
23 |
|
|||
|
|
= K |
P V |
|
|
|
|
(2.38) |
||||||
|
dt |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
b Ρ +ρ g(H |
a |
−h − w(t −t )) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
||
V |
(t |
) =V |
; |
R |
|
3 V |
|
13 |
|
|
(2.39) |
|||
= |
b |
|
|
|
|
|||||||||
|
b |
0 |
0 |
|
|
b |
|
4π |
|
|
|
|||
Если суспензия нагрета от Tin до Tf, то произойдет выделение газа в виде пузырьков. Общий объем газа, произведенного в единицу времени:
V = Finψ( |
C) = Finψ[C (Tin)–C (Tf)] |
(2.40) |
где ψ( ) – функция, обеспечивающая положительность: |
|
|
|
ξ, ξ ≥ 0 |
(2.41) |
ψ(ξ) = |
0, ξ < 0 |
|
|
|
|
Пусть известен закон распределения ϕ(rb ) образовавшихся
пузырьков по размерам. Тогда общее количество пузырьков, образовавшихся в единицу времени, можно определить:
nt |
= |
|
|
|
|
|
V |
|
|
= |
Fin ψ[C(T in) −C(T f )]γ3 |
(2.42) |
|||||
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
4 |
|
∞ |
|
|
|
||||
|
4 |
|
∫ |
3 |
|
|
|
|
|
∫ |
3 |
|
|
||||
|
|
|
|
π |
r |
ϕ |
(r |
)dr |
|
|
|
π |
r |
ϕ (r )dr |
|
||
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
b |
1 |
b |
b |
|
|
|
|
|
b |
1 b b |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
Эффективное количество пузырьков вычислим по формуле:
|
Fin ψ[C(T in) −C(T f )] γ3 |
rmax |
|
||||||
|
∫ϕi (rb )drb |
|
|||||||
neff i = |
|
|
|
|
|
|
|
rmin |
, i=1,.., N–1 (2.43) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∞ |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
3 |
∫ |
r3ϕ |
(r )dr |
∫ |
ϕ |
(r )dr |
|
||
|
4 π |
|
|
|
|||||
|
|
|
b i |
b b |
|
i |
|
b b |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
63
Определенное число пузырьков в процессе подъема вырастают настолько, что теряют способность удерживать твердую
частицу, т. е. rb < rmin или rb > rmax . Рассчитать количество пузырьков, утративших флотационную способность в i-ой ячейке, можно по формуле
ndni = |
Fin ψ[C(Tin) −C(T f )]γ3 |
× |
|
||||
|
∞ |
∞ |
|
|
|||
|
|
4 |
π∫rb3ϕi (rb )drb ∫ |
ϕi (rb )drb |
, i=2,.., N |
(2.44) |
|
|
|
3 |
0 |
0 |
|
||
rmin |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
∫ ϕi (rb )drb + |
|
|
|
|
||
|
∫ϕi (rb )drb |
|
|
||||
|
0 |
|
|
rmax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кинетическая составляющая переноса твердой фазы из i-ой в i+1-ую ячейку может быть найдена как:
|
k1Vineff i , |
xi ≥ x |
* |
|
|||||
|
|
|
|||||||
Qi,i+1 = |
k V n |
|
x , |
0 ≤ x |
|
< x |
* , i=1,.., N-1 (2.45) |
||
|
eff i |
i |
|
||||||
2 i |
|
i |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где k1=k2x* |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.46) |
Qi+1,i = k3Vi+1ndn |
i+1 , i=2,.., N |
|
|
|
(2.47) |
||||
Уравнения материального баланса согласно рис. 2.13 выглядят следующим образом:
F12=F23=…=FN–1, N=Fup=Fin–Fdn |
(2.48) |
64
F x |
− |
(F |
|
+ F )x |
−Q |
|
+Q |
21 |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
in |
in |
|
|
|
12 |
dn |
|
1 |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
F12 x1 − F23 x2 +Q12 −Q23 −Q21 +Q32 = 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.49) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Fi−1,i xi−1 |
− Fi,i+1xi +Qi−1,i −Qi,i+1 −Qi,i−1 +Qi+1,i = 0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
− F |
|
|
|
x |
|
|
+Q |
|
|
|
|
−Q |
|
−Q |
|
+Q |
|
= 0 |
||||
F |
−2,N −1 |
N |
−2 |
|
−1,N |
N −1 |
N |
−2,N −1 |
N −1,N |
N −1,N −2 |
N ,N −1 |
||||||||||||||||||
|
N |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
F |
−1,N |
x |
N −1 |
− F x |
N |
+Q |
N −1,N |
−Q |
N ,N −1 |
= 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
N |
|
|
up |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Система уравнений (2.21)–(2.49) является замкнутой и позволяет найти концентрацию биомассы в каждой ячейке термофлотатора. Перечень параметров и их числовые значения показаны в табл. 2.6, 2.7.
|
Параметры математической модели |
Таблица 2.6 |
|
|
|
||
|
|
Единица |
|
Параметр |
Описание |
||
измерения |
|||
|
|
||
a0, a1, |
Коэффициенты аппроксимации |
Па, Па/ºС, |
|
a2, a3 |
|
Па/ ºС2, Па/ ºС3 |
|
C |
Количество газовой смеси |
м3/м3 |
|
fj |
Молекулярная масса компонента j |
– |
|
F |
Массовый расход суспензии |
м3/ч |
|
g |
Ускорение свободного падения |
м/с2 |
|
k1, k2 |
Коэффициенты пропорциональности |
кг/(м3 ·ч), 1/ч |
|
k(P −P* ) |
Движущая сила массопередачи |
м/с |
|
mj |
Константа фазового равновесия компонента j |
Па |
|
Nt |
Общее количество пузырьков |
– |
|
Neff |
Эффективное количество пузырьков |
– |
|
Ndn |
Количество пузырьков, утратившие способ- |
– |
|
|
ность к флотации |
– |
|
N |
Количество ячеек |
||
h |
Высота одной ячейки |
м |
|
Ha |
Высота термофлотатора |
м |
|
P |
Давление компонента над раствором |
Па |
|
P0 |
Нормальное атмосферное давление |
Па |
QКинетическая составляющая переноса тверкг/ч дой фазы между ячейками
rp |
Радиус частицы |
м |
65
Параметр |
|
|
Описание |
|
Единица |
|||||||
|
|
|
измерения |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rmin |
|
|
|
|
Минимальный радиус пузырька, участвую- |
м |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
щий во флотации |
|
м |
|||
rmax |
|
|
|
|
Максимальный радиус пузырька, участвую- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
щий во флотации |
|
м |
|||
r |
|
|
|
|
|
|
Радиус пузырька |
|
||||
T |
|
|
|
|
|
|
Температура жидкой фазы |
|
ºС |
|||
t |
|
|
|
|
|
|
Время процесса |
|
с |
|||
V |
|
|
|
|
|
|
Объем ячейки |
|
|
|
м3 |
|
Va |
|
|
|
|
|
Объем термофлотатора |
|
м3 |
||||
Vb |
|
|
|
|
|
Объем пузырька |
|
м3 |
||||
V0 |
|
|
|
|
|
Начальный объем пузырька |
|
м3 |
||||
x |
|
|
|
|
|
|
Концентрация биомассы |
|
кг/м3 |
|||
y |
|
|
|
|
|
|
Мольная доля компонента в растворе |
|
моль/моль |
|||
Y |
|
|
|
|
|
|
Относительная мольная доля компонент |
моль/моль |
||||
ρp |
|
|
|
|
|
Плотность материальной частицы |
|
кг/м3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кг/м3 |
||
ρl |
|
|
|
|
|
Плотность жидкости |
|
|||||
γ |
1 |
, γ |
2 |
, |
γ |
3 |
Поправочные |
коэффициенты, учитывающие |
– |
|||
|
|
|
отклонение от сферической формы |
|
Н/м |
|||||||
σ |
|
|
|
|
|
|
Коэффициент поверхностного натяжения |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.7 |
|
|
|
|
|
|
Значения параметров математической модели |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Параметр |
|
Значение |
|
Единица измерения |
||||
|
|
|
|
|
|
Fin |
|
|
3,09 |
|
м3/ч |
|
|
|
|
|
|
|
Fup |
|
|
1,5 |
|
м3/ч |
|
|
|
|
|
|
|
Va |
|
|
4,8 |
|
м3 |
|
|
|
|
|
|
|
xin |
|
|
42,2 |
|
кг/м3 |
|
|
|
|
|
|
|
Tin |
|
|
20–28 |
|
ºС |
|
|
|
|
|
|
|
Tf |
|
|
80-95 |
|
ºС |
|
|
|
|
|
|
|
x* |
|
|
1.1 |
|
кг/м3 |
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
40,97.10-3 |
|
Н/м |
|
|
|
|
|
|
|
ρp |
|
|
1090 |
|
кг/м3 |
|
|
|
|
|
|
|
ρl |
|
|
999,52 |
|
кг/м3 |
|
|
|
|
|
|
|
γ1 |
|
|
1 |
|
– |
|
|
|
|
|
|
|
γ2 |
|
|
0,24 |
|
– |
|
|
|
|
|
|
|
k1 |
|
|
0,22.10–11 |
|
кг/(м3·ч) |
|
|
|
|
|
|
|
k2 |
|
|
0,2.10–11 |
|
1/ч |
|
66
Алгоритм расчета уравнений математической модели приведен на рис. 2.15.
Начало |
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задать значения |
|
Fin, Tin, Fup, Tf, состав |
|
|
|
|
|||
|
|
|
Рассчитать neff i, ndn i |
||||||
газовой фазы, конструкционные па- |
|
по уравнениям (2.43)–(2.44) |
|||||||
раметры флотатора, физико- |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||
химические параметры фаз, число |
|
|
|
|
|
||||
|
|
Задать начальные приближения |
|||||||
ячеек N, погрешность расчетов ε |
|
||||||||
|
хi0 i = 1, ..., N (например, хi0 = хin) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассчитать rmin |
|
и rmax (условия |
|
|
Вычислить Q |
i,i+1, Qi+1,I, Fi,i+1 |
|||
флотируемости по уравнениям |
|
|
|
|
по уравнениям (2.45)–(2.47) |
||||
(2.21)–(2.22) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассчитать C( |
Tin) и C(Tf) по |
|
|
|
|
Вычислить хi1, i = 1, .., N |
|||
уравнениям (2.23)–(2.33) |
|
|
|
|
по уравнению (2.49) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
методом итерации |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассчитать Vi, hi dn, hi up, i = 1, ..., N по уравнениям
(2.34)–(2.37)
Задать нормальное распределение φ1(r1) в ячейке 1
Рассчитать φ2(r2) i = 2, ..., N
по уравнениям (2.38)–(2.39)
методом Рунге-Кутта
1
Задать новый
вектор хi0 нет х0 − х1 < ε i = 1, ..., N
да
Вывести значения концентраций твердой фазы в ячейках
Конец
Рис. 2.15. Алгоритм расчета уравнений математической модели
Адекватность модуля абсорбции проверяли на основе экспериментальных данных по растворимости чистых газов и их смеси (рис. 2.16). Точки на графиках соответствуют экспериментальным данным, а линии – расчет по модели. Средняя абсолютная погрешность составила для CO2 – 6 %, для O2 – 6 %, для N2 – 3.5 %.
Для проверки адекватности всей математической модели использовали коэффициент разделения α = X up / X in . Данный ко-
эффициент показывает отношение концентрации на выходе термофлотатора (Xup) к входной концентрации (Xin) суспензии. На основе экспериментальных данных и данных, полученных по модели, проведенкачественныйанализ. Результатыпоказанынарис. 2.17.
67
А)
м3/м3
Б)
м3/м3
В)
м3/м3
Рис. 2.16. Проверка адекватности процесса абсорбции газовой смеси: А) для
CO2; Б) для O2; В) для N2
68
А)
α |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
разделения |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициент |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
|
|
|
|
Концентрация X_in, кг/м3 |
|
|
|
||
Б)
α |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
разделения |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициент |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
|
|
|
|
Концентрация X_in, кг/м3 |
|
|
|
||
В) |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
разделения |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициент |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
|
|
|
|
Концентрация X_in, кг/м3 |
|
|
|
||
Рис. 2.17. Зависимость коэффициента α от входной концентрации xin при раз- |
|||||||||
личных температурах термофлотации А) 75–79 ºC; Б) 80–84 ºC; В) 85–87 ºC |
|||||||||
69