Математическое моделирование / Arz_(2010)_Mathematical_&_Computer_Modelling

саморегулирования становится равным нулю, т. е. процесс выходит из этого состояния, едва успев в него попасть (рис. 2.30, с). Такое состояние в рассматриваемом процессе наблюдается при So = 22,5 г/л. При дальнейшем уменьшении So система «не успевает» выйти на режим саморегулирования, хотя тенденция к Т* и в этих случаях имеется (рис. 2.30, d, e).

Отсюда можно сделать заключение, что поскольку саморегулирование температуры в биореакторе возможно далеко не всегда, нахождение условий существования явления представляет собой самостоятельную задачу.

Условие входа в режим саморегулирования в общем виде сформулировать довольно трудно, т. к. в этом случае сущест-

венное влияние оказывают параметры Θ, μ'0, То, So, Text. А вот выход из режима наблюдается, когда концентрации S и Х станут

такими, что будет выполняться неравенство:

где μm представляет собой эффективную удельную скоростьроста

микроорганизмов впериод саморегулирования температуры.

На рис. 2.31 показаны фазовые траектории процесса в координатах Х–S–T. Заштрихованная область в плоскости Х–S, а также все точки фазового пространства, находящиеся над ней, соответствуют невозможности саморегулирования. В других точках пространства явление возможно. Эффект саморегулирования исчезает, как только фазовая траектория проходит через границу области, определяемую уравнением (2.76): точки А, В, С на рис. 2.31. Границы области, как это следует из (2.76), являются свойством системы реакций, самого реактора и внешней среды и могут смещаться в плоскости Х–S с изменением последних.

Из уравнений (2.70) и (2.73) следует еще один важный вы-

вод. Если Тext = Т*, то dX/dt = O, т. е. ход процесса полностью прекращаeтся в результате невозможности передачи тепла через

стенку реактора.

90

Рис. 2.30. Саморегулирование температуры в периодическом режиме при различных начальных концентрациях субстрата: a) – 30 г/л; b) – 25 г/л; c) – 22.5 г/л; d) – 20 г/л; e) – 12.5 г/л; a)–c) демонстрируют область саморегулирования температуры; d) и e) – саморегулирование отсутствует

91

Т1

Рис. 2.32. Границы саморегулирования температуры

Несмотря на пользу, полученную от анализа уравнений модели (2.59)–(2.67), указанные недостатки снижает ценность результатов, полученных в данном разделе.

По этой причине далее предпринята попытка разработки математической модели, лишенной отмеченных недостатков.

Модель саморегулирования температуры в реакторе (модель 2)

Система допущений, выбор и обоснование структуры и уравнений. Моделируемый объект представляет собой биохимический реактор, в котором осуществляется рост биомассы в результате ассимиляции и окисления субстрата. Основной процесс проходит в жидкой фазе, однако необходимый для жизнедеятельности микроорганизмов и окисления субстрата кислород поступает из газовой фазы, подаваемой в реактор через диспер-

93

гирующее устройство. Реактор представляет собой емкость с хорошим перемешиванием и имеет входные и выходные патрубки для подачи исходных веществ и отвода продуктов биосинтеза, которые в периодическом режиме закрываются. Такая конструкция является типичной для процессов, проводимых в аэробных условиях.

При разработке математической модели такого объекта примем следующие основные допущения:

–внутри реактора значения концентраций и других факторов являются величинами постоянными по всему объему, т. е. он является объектом с сосредоточенными параметрами;

–рассматриваемая система является полностью закрытой по веществу и открытой по энергии для реактора периодического типа, открытой по веществу и энергии для реактора непрерывного типа;

–макрокинетика ферментативных реакций выражается зависимостью Микаэлиса-Ментен;

–повышение температуры в реакторе сверх супраоптимального значения приводит к обратимому ингибированию ферментной системы;

–в отношении факторов, оказывающих существенное влияние на максимальную удельную скорость ферментативной реакции, справедлива концепция «узкого места»;

–зависимость максимальной удельной скорости роста микроорганизмов от температуры может быть представлена в виде разности двух компонент, каждая из которых подчиняется уравнению Аррениуса;

–суммарный эффект биохимических реакций положительный;

–плотность и удельная теплоемкость среды в реакторе мало меняются в ходе процесса.

Справедливость первых двух допущений очевидна, другие приемлемы для большей части рассматриваемых процессов и обоснованы в предыдущем разделе.

Математическая модель объекта, построенная с учетом приведенных допущений имеет следующий вид:

94

Уравнения (2.77)–(2.80) аналогичны, соответствующим уравнениям математической модели, представленной в предыдущем разделе. Дополнительно к ним введено уравнение:

Эти уравнения описывают динамику изменения температуры внутри реактора (2.77), концентрации биомассы (2.78), субстрата (2.79) и растворенного кислорода (2.81). Уравнение (2.80) характеризует инерционность ферментной системы. Решать систему (2.77)-(2.81) необходимо с начальными условиями:

T (0) = T0, X (0) = X0, S (0) = S0, μ'm(0)= μ'm0, C (0) = C0. Парамет-

ры уравнений (2.77) – (2.81) можно рассчитать по следующим соотношениям:

95

представляет собой действительную удельную скорость роста биомассы,

удельное потребление кислорода в эндогенном и экзогенном процессах,

температурные зависимости для максимальной удельной скорости роста микроорганизмов, экономического коэффициента и концентрации насыщения растворенного кислорода в жидкой фазе. Уравнения (2.85)–(2.86) являются эмпирическими и получены нами в результате аппроксимации экспериментальных данных. Однако характер этих зависимостей мало меняется для различных объектов. Для непрерывного процесса притоки и стоки компонент уравнений (2.77)–(2.79) и (2.81) можно рассчитать по выражениям:

96

Уравнения (2.77)–(2.90) представляют собой замкнутую систему и позволяют проводить расчет временных профилей изменения температуры, концентраций биомассы, субстрата и растворенного кислорода при заданных кинетических и технологических параметрах модели и начальных условиях.

Идентификация математической модели и проверка ее адекватности экспериментальным данным. Параметрическая идентификация модели (2.77)–(2.90) проводилась на основе данных для роста Candida tropicalis на н-алканах. Данные получены из экспериментальных работ других авторов. Модель реализована в виде программы на языке Borland Pascal. Решение системы дифференциальных уравнений (2.77)–(2.81) проводили методом Рунге-Кутта четвертого порядка с постоянным шагом, который выбирали методом двойного пересчета по всей числовой выборке, полученной в расчете. В итоге величина шага была выбрана 0,0002 ч, при максимальной длине временной шкалы в 80 ч. В процессе идентификации использовались поисковые процедуры, написанные автором на языках Borland Pascal, Basic и Eureka Solver, а также встроенные средства систем Eureka Solver и MatLab. Исходная математическая модель именно на этом этапе была дополнена эмпирическими уравнениями (2.85)– (2.86), которые выражают реально имеющиеся, но не являющиеся предметом рассмотрения в данной работе факты: наличие температурных зависимостей экономического коэффициента для биосинтеза и концентрации насыщения для газа, растворенного в жидкости. Указанные действия позволили получить хорошее соответствие расчетов, выполненных по модели и эксперимента. В табл. 2.9 содержатся значения параметров модели (2.77)–(2.90), полученных в результате решения задачи идентификации.

На рис. 2.33, 2.34 показаны временные зависимости важнейших параметров процесса в условиях принудительного термостатирования на уровне 33°С (т. е. без саморегулирования температуры) и с саморегулированием на уровне 41°С. Из графиков видно, что математическая модель отражает основные тенденции процесса в реакторе, наблюдаемые экспериментально.

97

Так, на рис. 2.33 модель демонстрирует адекватное описание не только роста концентрации биомассы, но и весьма своеобразной временной зависимости для концентрации растворенного кислорода. Действительно, во время наиболее интенсивного роста биомассы, эта концентрация должна снижаться из-за интенсивного потребления кислорода из жидкой фазы на эндогенное и экзогенное дыхание.

Рис. 2.33. Проверка адекватности модели для условий работы реактора при T = 33°C. 1 – концентрация биомассы; 2 – концентрация растворенного кислорода в % от насыщения; 3 – концентрация субстрата; 4 – удельная действительная скорость роста микроорганизмов; 5 – температура. Результаты расчета показаны тонкой линией, экспериментальные данные – жирной штриховой и непрерывной линиями

98

Рис. 2.34 показывает, что в случае с саморегулированием температуры модель также показывает хорошее описание экспериментальных данных. Она адекватно отражает характерные моменты и интервалы времени: момент входа в режим саморегулирования и его длительность, моменты характерного снижения концентрации растворенного кислорода (при t = 5 ч) и его увеличения при выходе из режима саморегулирования. Кроме этого модель удачно отражает уровни всех переменных и тенденции их роста или снижения. Она адекватно отражает основной феномен явления – линейный (отличный от логистической кривой) рост концентрации биомассы.

Максимальные относительные погрешности описания экспериментальных данных рис. 2.33, 2.34 с помощью модели составляют: для концентраций биомассы – 9,4 %; для температуры – 1 %; для растворенного кислорода – до 20 % (в большинстве случаев не превышают 5–6 %).

Рис. 2.34. Проверка адекватности модели для условий работы реактора с саморегулированием температуры. 1 – концентрация биомассы; 2 – концентрация растворенного кислорода в % от насыщения; 3 – концентрация субстрата; 4 – удельная действительная скорость роста микроорганизмов; 5 – температура. Результаты расчета показаны тонкой линией, экспериментальные данные – жирной непрерывной линией

99