Математическое моделирование / Arz_(2010)_Mathematical_&_Computer_Modelling

сферах человеческой деятельности. Однако эффективное использование этого инструмента является в значительной степени искусством и требует большого опыта и интуиции.

При сравнительно небольшом объеме часов учебной нагрузки, студенты четвертого курса должны усвоить теоретические положения и получить навыки практической работы в разработке математических моделей различных объектов.

Предлагаемое вашему вниманию учебное пособие написано основе лекционного и лабораторного курсов, которые автор ведет, начиная с 1997 года на физико-математическом факультете и в Институте математики, физики и информатики (ИМФИ) Тамбовского государственного университета имени Г. Р. Державина.

При разработке пособия использовались многие оригинальные материалы: лекции академика А. А. Самарского, которые он читал на факультете ВМиК МГУ и другие источники, статьи автора, материалы вычислительных экспериментов, полученные на основе пакетов прикладных программ, изученные автором во время стажировки в МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2009 по направлению «Системы компьютерной математики». Данные источники приведены в списках литературы к соответствующим разделам.

Дисциплина «Математическое и компьютерное моделирование» читается для студентов специальностей 010501 и 010503 на четвертом курсе (7-й семестр, форма отчета – экзамен). Она опирается на целый ряд других дисциплин, которые изучались в предыдущих семестрах: «Численные методы», «Дифференциальные уравнения», «Методы оптимизации», «Теория вероятности иматематическая статистика», «Теорияпринятиярешений» идр.

Пособие предназначено для студентов специальностей 010501 – «Прикладная математика и информатика» и 010503 – «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем», но может быть использовано лицами, обучающимися по магистерской программе «Математическое моделирование» по направлению подготовки 010500.68 – «Прикладная математика и информатика», а также для самостоятельной работы, курсового и дипломного проектирования, и студентами других специальностей.

Все замечания и предложения с благодарностью будут приняты автором по электронной почте: arz_sci@mail.ru

29 мая 2009 г.

10

Введение

В настоящее время математическое моделирование стало одним из наиболее быстро прогрессирующих научных направлений, которое органично вошло во многие сферы научной и повседневной жизни. На использовании математического моделирования, как ядра интеллектуальных технологий, базируются: прогнозирование в различных сферах человеческой деятельности, управление техническими объектами и их системами, идентификация внутренней структуры объектов различной природы, оптимальное проектирование вновь создаваемых технических систем, научно-технические расчеты и др.

Сущность методологии моделирования заключается в замене реального объекта его «образом» – моделью, изучение которой для исследователя оказывается более предпочтительным, нежели изучение самого объекта. Такое предпочтение может быть вызвано следующими причинами:

–исследование реального объекта в принципе невозможно; такая ситуация имеет место, например, при прогнозировании

вбудущее или в прошлое, ведь машина времени пока еще не изобретена и «посмотреть» что будет с объектом через некоторое время или, что было с ним в прошлом возможно только с помощью модели; другой примерпроектирование новой технологии или технологического процесса; технология еще не существует в виде реальной конструкции, но на этапе ее проектирования уже необходимо просчитать основные технико-экономи- ческие и технологические параметры;

–исследование реального объекта в принципе возможно, но затруднено; такая ситуация имеет место, например, когда проведение натурных экспериментов является «дорогим удовольствием» или когда объект существует в единственном эк-

11

земпляре; такая ситуация имеет место, например, при изучении природных объектов;

–реальный объект является чрезвычайно сложным, но исследователя интересует изучение поведения или свойств некоторой его относительно независимой части; в этой ситуации вместо сложного реального объекта возможно построить относительно простую модель, касающуюся лишь этой части; именно так и поступают в естественных науках, ограничиваясь в изучении явления лишь наиболее существенными параметрами, влияющими на его характеристики;

–моделируется гипотетический (реально не существующий) объект.

Исторически моделирование как способ познания мира использовалось человечеством с давних времен. Такие точные науки как математика и физика впервые появились как способ моделирования человеком различных сторон и явлений окружающего мира. По всей видимости, именно с этим может быть связан тот факт, что многие методы, используемые в математическом моделировании носят имена выдающихся математиков и физиков, таких как Ньютон, Лагранж, Эйлер, Гаусс, АльХорезми и др. Однако истинное рождение математического моделирования можно отнести к середине прошлого века. Именно

вэто время появились первые вычислительные машины, на которых были решены многие фундаментальные проблемы, такие как моделирование ядерных реакций и космических полетов. В настоящее время, в связи с появлением компьютеров с высокой производительностью, математическое моделирование стало одним из самых мощных и излюбленных методов исследования

вразличных науках.

Сама постановка вопроса о математическом моделировании какого-либо объекта порождает четкий план действий, который условно можно разбить на три этапа: математическая модель – алгоритм – компьютерная программа. Данная методология предложена научной школой академика А. А. Самарского. Схематично этот процесс показан на рис. 0.1.

На первом этапе строится математическая модель – некий эквивалент реального объекта, отражающий в математической

12

форме его основные свойства. Основные методологические вопросы математического моделирования, которые, как правило, приходится использовать на первом этапе будут раскрыты в данном учебном пособии. В наиболее простых случаях возможно аналитическое исследование свойств модели, однако гораздо чаще возникают ситуации, когда математическая модель не может быть проанализирована никакими аналитическими методами. В этом случае прибегают к помощи вычислительной математики и численных методов.

На втором этапе выбирается подходящий вычислительный алгоритм для реализации модели. В качестве основных требований к такому алгоритму обычно выступают точность вычислений и возможность осуществления вычислительного процесса за отведенное для исследований время. Следует отметить, что многие проблемно-ориентированные языки программирования, предназначенные для компьютерного моделирования, содержат большие библиотеки уже готовых алгоритмов и вычислительных методов. Поэтому задача исследователя на втором этапе часто сводится к выбору подходящего уже готового метода для решения своей проблемы.

Рис. 0.1. Компьютерная модель реального объекта может быть представлена в виде совокупности математического описания процессов и явлений, характерных для этого объекта (математическая модель), алгоритмов численного решения уравнений и компьютерной программы, предназначенной для реализации этих алгоритмов

13

На третьем этапе выбранный алгоритм (или алгоритмы) реализуются в виде программы на каком-либо языке программирования. Выбор подходящего языка программирования является сложной проблемой. Часто для создания одной компьютерной модели используется сразу несколько языков программирования, поскольку для реализации отдельных ее частей в большей степени подходят разные языки.

14

Литература для самостоятельного изучения

1.Ашихмин В. Н. и др. Введение в математическое моделирование. – М.: Изд-во «Университетская книга», 2007. – 440 c.

2.Вабищевич П. Н. Численное моделирование. – М.:

Изд-во МГУ, 1993. – 152 с.

3.Воробьев Е. М. Введение в систему «Математика». – М.: Финансы и статистика, 1998. – 262 с. (На кафедре компьютерного и математического моделирования имеется PDF файл этой книги).

4.Гурский Д. А., Турбина Е. С. Вычисления в MathCAD 12. – СПб.: Питер, 2006. – 544 с. (На кафедре компьютерного и математического моделирования имеется PDF файл этой книги).

5.Журнал «Математическое моделирование». Издается Институтом математического моделирования РАН. Отдельные статьи могут быть получены с сайта журнала http://www. imamod.ru/magazin/ в формате PDF.

6.Краснощеков П. С., Петров А. А. Принципы построения моделей. – М.: Изд-во МГУ, 1983. – 264 с.

7.Мышкис А. Д. Элементы теории математических моделей. – М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. – 192 c.

8.Савотченко С. Е., Кузьмичева Т. Г. Методы решения математических задач в Maple: Учебное пособие. – Белгород: Изд-во Белаудит, 2001. – 116 с. (На кафедре компьютерного и математического моделирования имеется PDF файл этой книги).

9.Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование. – М.: Физматлит, 2002. – 320 с. (На кафедре компьютерного и математического моделирования имеется PDF файл этой книги).

10.Тарасевич Ю. Ю. Математическое и компьютерное моделирование. – М.: Эдиториал УРСС, 2004. – 152 c.

15

11.Титов К. В. Решение задач математической физики в среде MathCAD. – М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2006. – 40 с. (На кафедре компьютерного и математического моделирования имеется PDF файл этой книги).

12.Эдвардс Ч. Г., Пенни Д. Э. Дифференциальные уравнения и краевые задачи: моделирование и вычисления с помощью

Mathematica, Maple и MATLAB. – М.: ООО «И. Д. Вильямс», 2008. – 1104 с. (На кафедре компьютерного и математического моделирования имеется PDF файл этой книги).

16

тят изобразить некоторую область явлений с помощью другой, более хорошо изученной, легче понимаемой.

Таким образом, в этих двух случаях под моделью понимается либо конкретный образ изучаемого объекта, в котором отображаются реальные или предполагаемые свойства, строение и т. д., либо другой объект, реально существующий наряду с изучаемым и сходный с ним в отношении некоторых определенных свойств или структурных особенностей. В этом смысле модель – не теория, а то, что описывается данной теорией – своеобразный предмет данной теории.

Приведем определения основных терминов нашего курса из современной литературы.

Модель (model, simulator) – материальный объект, система математических зависимостей или программа, имитирующая структуру или функционирование исследуемого объекта1.

Моделирование, симуляция (simulation) – это имитация поведения некоторых существующих или предполагаемых систем или некоторых аспектов этого поведения. Представление различных характеристик поведения физической или абстрактной системы с помощью другой системы.

Математическое моделирование (mathematical modeling) –

метод исследования процессов и явлений на их математических моделях. Используется в тех случаях, когда эксперимент невозможен, затруднен или нецелесообразен.

Дадим определение математической модели исходя из самых общих представлений моделируемого объекта (рис. 1.1). Такое представление необходимо и удобно, например, при решении задач, связанных с исследованием самого объекта или управлением им. Вектор X представляет собой вектор входных координат объекта – это значения тех параметров и переменных, влияние которых на поведение объекта происходит вне желания пользователя; можно считать, что вектор X представляет реакцию на объект со стороны внешнего мира. Вектор U, который часто называют вектором управлений, это те переменные объек-

1 Толковый словарь по вычислительным системам / Под ред. В. Иллингуорта и др. – М.: Машиностроение, 1990. – 560 с.; Першинов В. И., Савинков В. М. Толковый словарь по информатике. – М.: Финансы и статистика, 1991. – 543 с.

18

та, посредством которых пользователь может влиять на его поведение. Вектор Y представляет собой интересующие пользователя свойства объекта, вектор P – параметры модели, с помощью которой она может быть приближена к реальному объекту. Оператор F, связывающий вектор Y с X, U и P вида

и представляет собой математическую модель объекта. Поскольку, математические модели обычно разрабатывают-

ся для исследования объектов, то кажется очевидным потребовать чтобы модель в определенной степени отображала свойства этого объекта. Такое соответствие называется адекватностью модели и объекта.

Адекватность (adequacy) – соответствие, тождественность.

Адекватность моделирования (модели) – полнота и точ-

ность перевода информации с естественного языка на семантический. Зависит от возможностей семантического языка, разработанности правил перевода, точности соотнесения единиц двух языков.

Для проверки адекватности математических моделей обычно используются:

– визуальное сравнение результатов расчетов по модели с эмпирическими данными (рис. 1.2, А); при этом обращают внимание на максимальное различие между этими показателями, а также на способность модели к воспроизведению сложных форм зависимостей между переменными;

Рис. 1.1. К понятию «математическая модель»

19