Математическое моделирование / Arz_(2010)_Mathematical_&_Computer_Modelling
.pdfиз множества случайных чисел, принадлежащих распределению P(τd), P(τl) – распределение времен максимальной продолжительности жизни клеток, P(τd) – распределение времен между последовательными делениями клеток, N – линейные размеры системы.
Пусть Q0 – количество питательного вещества в ячейке в начальный момент времени; Q–, Q+ – количество питательного вещества, потребляемого клеткой из ячейки и получаемого ячейкой из внешней среды за единицу времени.
Введем функции:
0, /C(i, j) δ(i, j) = m
1, Cm(i, j)
ξ(i, j) = 1 – δ(i, j)
H (i, j, t) = ξ(i, j) Qt (i, j)
HΣ(i, j, t) =H (i–1, j, t)+H (i+1, j, t)+ +H (i, j–1, t)+H (i, j+1, t)
(2.101)
(2.102)
(2.103)
(2.104)
Уравнение (2.101) будем использовать для определения существования клетки в ячейке с индексами i и j. Тогда отсутствие клетки в ячейке с индексами i и j определяется уравнением (2.102), а количество питательного вещества в свободной ячейке определяется по уравнению (2.103). Уравнение (2.104) характеризует количество питательного вещества в ближайших к ячейке c индексами i и j четырех свободных ячейках.
Материальный баланс для питательного вещества в ячейке может быть записан в следующем виде (2.105):
i, j 0 ≤ i ≤ N; 0 ≤ j ≤ N
Qt (i, j) = Qt–1(i, j) – δ(i, j) Q– + Q+(i, j) + Qd |
(2.105) |
Qd = (Qt–1(i–1, j) + Qt–1(i+1, j) + Qt–1(i, j–1) + |
|
+Qt–1(i, j+1) – 4Qt–1(i, j)) η |
(2.106) |
где η – коэффициент диффузии, Qd – вклад в массоперенос питательного вещества за счет процессов диффузии.
120
Выражение (2.107) определяет изменение возраста клетки и времени, прошедшего с момента ее последнего деления.
(C(ik , jk ) ) |
→(C(ik , jk ) ) |
{(τ |
k |
) |
t |
=(τ |
k |
) |
t−1 |
+1; |
|
||
k |
t−1 |
k |
t |
|
|
|
|
|
(2.107) |
||||
(τk u )t =(τk u )t−1 +1}
Будем считать, что клетка погибает, если выполняются ус-
ловия (2.108) или (2.109):
(τk)t ≥ τkl C = C – {Ck} |
(2.108) |
|
Q (ik , jk ) |
≤ 0 C = C −{C } |
(2.109) |
t |
k |
|
Выражения (2.108) и (2.109) позволяют исключить клетку из множества клеток, если отведенный ей максимальный срок жизни уже истек или в соответствующей ей ячейке не осталось питательного вещества.
При делении клетки, время последнего деления материнской клетки обнуляется и определяется новое значение время деления из множества случайных чисел, соответствующих распределению P(τd):
(τ |
u ) |
≥ τ |
d (τ |
u ) |
t |
=0; τ d P(τ |
d |
). |
(2.110) |
k |
t |
k |
k |
|
k |
|
|
Если клетка, расположенная в ячейке i, j делится, то дочерняя клетка занимает одну из соседних ячеек (2.111). При этом определение параметров новой клетки происходит в соответствии с выражением (2.112).
HΣ (ik , jk ,t) > 0 C = C +{ Ch(ih , jh ) } |
(2.111) |
Ch(ih , jh ) {τhl, τhd, τh, τhu} τh = τhu = 0; τhl P(τl); τhd P(τd). (2.112)
Соседние ячейки занимаются дочерней клеткой в соответствие с вероятностями, определяемыми формулами (2.113)–(2.116).
121
ρ(ih=ik–1; jh=jk)= H (ik–1, jk, t)/ HΣ(ik, jk, t) |
(2.113) |
ρ(ih=ik+1; jh=jk)= H (ik+1, jk, t)/ HΣ(ik, jk, t) |
(2.114) |
ρ(ih=ik; jh=jk–1)= H (ik, jk–1, t)/ HΣ(ik, jk, t) |
(2.115) |
ρ(ih=ik; jh=jk+1)= H (ik, jk+1, t)/ HΣ(ik, jk, t) |
(2.116) |
Вероятности, определяемые этими уравнениями равны нулю, если в соответствующей ячейке находится клетка или в ней отсутствует питательное вещество.
Система уравнений (2.98)–(2.116) является замкнутой и позволяет, задавшись начальными условиями: расположением клеток, распределением питательного вещества по области распространения, а также параметрами системы: скоростью потребления и восполнения питательного вещества, распределениями максимальной продолжительности жизни и времени между делениями клеток, коэффициентом диффузии, вычислить кинетические и морфологические характеристики роста колонии.
Вычислительные эксперименты. Целью данного раздела является проведение вычислительных экспериментов по исследованию с помощью указанной модели морфологических и кинетических параметров в процессе роста колоний микроорганизмов, а также влияния на них начальных условий и недетерминированности самого объекта.
Влияние параметров роста культуры и питательной сре-
ды. Известно, что существенное влияние на кинетические и морфологические показатели роста культуры на плоскости оказывают концентрация питательного вещества, коэффициент его диффузии, зависящий от свойств среды и подложки, среднее время удвоения клеток. Количественных оценок такого влияния в настоящее время сделано недостаточно. Поэтому в этой части работы мы изучим воздействие указанных параметров на кинетику роста, морфологию популяции и фрактальную размерность ее изображения. Фрактальная размерность изображений популяций оценивались с помощью специально разработанной программы.
На рис. 2.46 и 2.47 представлены зависимости кинетики роста и фрактальной размерности изображения популяции при
122
различных средних значениях времени между делениями клеток: 10, 15, 20, 25, 30, 35 и 40 итераций. При этом использованы следующие значения параметров и начальных условий (здесь и далее приведены безразмерные значения): начальное количество питательного вещества – 100; скорость потребления питательного вещества – 1; скорость восполнения питательного вещества – 0; коэффициент диффузии – 0,05; среднее значение максимальной продолжительности жизни – 100 итераций. Начальное положение клеток – 4 ячейки, выбранные случайным образом. Начальный возраст клеток определяли исходя из равномерного распределения от 0 до среднего значения максимальной продолжительности жизни. Все вычислительные эксперименты проводили на модельной плоскости размером 100×100 ячеек.
Из рис. 2.46 видно, что кинетика развития популяции на начальном этапе зависит от времени удвоения. Этот параметр определяет ход экспоненциальной фазы развития популяции; популяции с большим временем удвоения позднее переходят в фазу постоянной скорости роста, однако этот переход происходит при меньших численностях клеток. Можно также заметить, что недетерминированность кинетических кривых заметна более на медленно растущих популяциях. Это можно объяснить тем, что их численность меньше и флуктуации сказываются на них сильнее. Необходимо отметить, что зависимость скорости роста популяции от времени удвоения – известный факт для объемных культур.
Переход в фазу с постоянной скоростью роста связан с ограничением питательного ресурса. Далее будет показано, что этот переход сопровождается образованием внутри области развития популяции пространств, где отсутствует, необходимое для развития клеток, количество питательного вещества.
Из рис. 2.47 видно, что на экспоненциальном этапе развития популяции наблюдается зависимость между фрактальной размерностью изображения и модельным временем. Данное обстоятельство показывает, что возможно использовать вычисление фрактальной размерности изображения (морфологический параметр) как один из способов оценки ростовых процессов (кинетический параметр) в пределах данной фазы.
123
Рис. 2.46. Зависимость количества живых клеток в популяции от модельного времени для 21 популяции при Q0 = 100; Q– = 1; Q+ = 0; η = 0,05; τl = 100. 1 – τd = 10; 2 – τd = 15; 3 – τd = 20; 4 – τd = 25; 5 – τd = 30; 6 – τd = 35; 7 – τd = 40
Рис. 2.47. Зависимость фрактальной размерности изображения популяции от модельного времени для 21 популяции при Q0 = 100; Q– = 1; Q+ = 0; η = 0,05;
τl = 100. 1 – τd = 10; 2 – τd = 15; 3 – τd = 20; 4 – τd = 25; 5 – τd = 30; 6 – τd = 35; 7 – τd = 40
124
При дальнейшем развитии популяции фрактальная размерность практически не изменяется (рис. 2.47), поэтому ее использование для анализа кинетических характеристик в этой фазе роста невозможно. Отметим также, что максимумы фрактальной размерности соответствуют переходу от экспоненциальной фазы к фазе с постоянной скоростью роста (рис. 2.46, 2.47).
Значительная неопределенность вычисления фрактальной размерности в начале процесса (рис. 2.47) вызвана тем, что число клеток в этой фазе роста невелико и даже небольшие флуктуации их численности и расположения существенным образом влияют на морфологические параметры популяции в целом.
На рис. 2.48 и 2.49 представлены зависимости кинетики роста и фрактальной размерности изображения популяции при различных начальных количествах питательного вещества: 500; 400; 300; 200; 100. При этом скорость потребления питательного вещества выбиралась равной 1; скорость восполнения питательного вещества – 0; коэффициент диффузии – 0,05; среднее значение максимальной продолжительности жизни – 100; среднее значение времени между делениями микроорганизма – 10. В начале процесса клетки занимали четыре случайные ячейки. Начальный возраст клеток также как и в предыдущем вычислительном эксперименте, определяли исходя из равномерного распределения от нуля до среднего значения максимальной продолжительности жизни.
Из рис. 2.48 видно, что развитие популяции на начальном этапе не зависит от количества питательно вещества. Такая ситуация наблюдается до тех пор пока не возникнет ограничения питательным ресурсом. Поэтому максимум численности популяции достигается на общей линии развития. При этом падение численности, связанное с истощением питательного ресурса и ограниченным временем жизни каждой клетки, для каждой популяции индивидуально. На графиках (рис. 2.48) видны также существенные флуктуации кинетических кривых для одинаковых начальных условий, что объясняется недетерминированным характером объекта и его модели.
Площадь под графиком кинетической кривой N(t) пропорциональна количеству потребленного питательного вещества.
125
Рис. 2.48. Зависимость количества живых клеток в популяции от модельного времени для 15 популяций при Q– = 1; Q+ = 0; η = 0,05; τl = 100; τd =10 и началь-
ныхусловиях: 1 – Q0 = 500; 2 – Q0 = 400; 3 – Q0 = 300; 4 – Q0 = 200; 5 – Q0 = 100
Рис. 2.49. Зависимость фрактальной размерности изображения популяции от модельного времени для 15 популяций при Q– = 1; Q+ = 0; η = 0,05; τl = 100;
τd =10 и начальных условиях: 1 – Q0 = 500; 2 – Q0 = 400; 3 – Q0 = 300; 4 – Q0 = 200; 5 – Q0 = 100
126
Учитывая, что в процессе развития популяция потребляет практически все питательное вещество, можно сделать заключение, что площадь под кривой N(t) также пропорциональна его начальному количеству.
Из рис. 2.48 и 2.49 видно, что временные зависимости роста
ифрактальной размерности неотличимы пока популяции не сталкиваются с ограничением питательного ресурса. Из сравнения рис. 2.48 и 2.49 видно также, что фрактальную размерность можно использовать для идентификации кинетических параметров популяции в экспоненциальной фазе ее развития.
На рис. 2.50 и 2.51 представлены зависимости кинетики роста
ифрактальной размерности изображения популяции при различ-
ных коэффициентах диффузии – 0,01; 0,03; 0,05; 0,1; 0,15; 0,2.
При этом использованы следующие значения параметров и начальных условий: начальное количество питательного вещества – 100; скорость потребления питательного вещества – 1; скорость восполнения питательного вещества равной – 0; среднее значение максимальной продолжительности жизни – 100; среднее значение времени между делениями микроорганизма – 10, начальные положения клеток – 4 случайные ячейки. Начальный возраст клеток определяли исходя из равномерного распределения от 0 до среднего значения максимальной продолжительности жизни.
Несмотря на то, что коэффициент диффузии должен оказывать существенное влияние на рост популяции, в данном эксперименте этого не наблюдается (см. рис. 2.50, 2.51). Объяснением этому может служить то обстоятельство, что потребление питательного вещества происходит в значительной степени за счет свободных ресурсов, а не за счет диффузионных процессов. Исходя из результатов эксперимента можно сказать, что коэффициент диффузии в пределах от 0,01 до 0,2 не оказывает существенное влияния на рост популяции, а рост популяции проходит в кинетической области.
Влияние начального положения клеток. Известно, что результаты кинетических экспериментов для микробиологических популяций отличаются плохой воспроизводимостью. Объяснением этого в случае объемных культур может служить фазовая гетерогенность популяций. Для популяций, растущих на
127
Рис. 2.50. Зависимость количества живых клеток в популяции от модельного времени для 18 популяций при Q0 = 100; Q– = 1; Q+ = 0; τl = 100; τd =10;
η = 0,01; 0,03; 0,05; 0,1; 0,15; 0,2
Рис. 2.51. Зависимость фрактальной размерности изображения популяции от модельного времени для 18 популяций при Q0 = 100; Q– = 1; Q+ = 0; τl = 100;
τd =10; η = 0,01; 0,03; 0,05; 0,1; 0,15; 0,2
128
плоскости, возможными причинами значительных флуктуаций кинетических кривых N(t), по нашему мнению, могут быть различия в начальных положениях и возрасте клеток.
Целью данного раздела работы является оценка влияния начального положения клеток на кинетические и морфологические показатели роста популяции. Вычислительные эксперименты этой серии были проведены при одинаковых начальных условиях. Одинаковые начальные условия в данном случае подразумевают то, что некоторые параметры популяции принадлежат одному статистическому распределению.
На рис. 2.52. показано семейство кинетических кривых, а на рис. 2.53 соответствующие им зависимости фрактальной размерности изображения от модельного времени для 636 вычислительных экспериментов, отличающихся начальным расположением клеток (4 случайные ячейки) и их возрастом (равномерное распределение от 0 до среднего значения максимальной продолжительности жизни). Другие параметры и начальные условия модели: начальное количество питательного вещества – 100; скорость потребления питательного вещества – 1; скорость восполнения питательного вещества – 0; коэффициент диффузии – 0,05; среднее значение максимальной продолжительности жизни – 100; среднее значение времени между делениями микроорганизма – 10.
Из рис. 2.52, 2.53 видно, что кинетические зависимости N (t) различаются весьма существенно, в то время как графики зависимостей морфологических параметров от модельного времени имеют близкую форму. Различные формы кинетических кривых объясняются тем, что происходит взаимодействие отдельных развивающихся центров популяции. Кинетические кривые только в самом начале ведут себя одинаково, в последствии форма кинетической кривой определяется в значительной степени морфологией отдельной популяции. Поскольку при проведении реальных экспериментов по кинетике роста популяции на плоскости ни положение клеток, ни их начальный возраст не являются хорошо контролируемыми факторами, это может быть причинной большого разброса наблюдаемых кинетических кривых (в нашем случае до 350 %).
129