Математическое моделирование / belova

ББК 32.97 УДК 681.3

Б43

Рецензент:

Е.А. Роганов, кандидат физико-математических наук, заведующий кафедрой «Информационные системы и технологии» Московского

государственного индустриального университета

Белова И.М.

Б43 «Компьютерное моделирование» Учебно-методическое посо• бие для студентов направления «Прикладная математика и информатика» и специальности «Математическое обеспече• ние и администрирование информационных систем». — М.: МГИУ, 2007. — 81 c.

Данное пособие посвящено компьютерному моделированию — науке создания и исследования моделей при помощи компьютера. По• собие основано на материалах лекций по дисциплине «Компьютерное моделирование», читаемых в ГОУ МГИУ на кафедре «Информаци• онные системы и технологии».

Учебно–методическое пособие предназначено для студентов спе• циальности 010503 «Математическое обеспечение и администриро• вание информационных систем» и направления 010500 «Прикладная математика и информатика», а также может быть полезно студен• там экономических и ряда других специальностей, изучающим курс «Компьютерное моделирование».

РИЦ МГИУ, 115280, Москва, Автозаводская, 16

www.izdat.msiu.ru

izdat@msiu.ru

тел. 677-23-15

© И.М. Белова, 2007 © МГИУ, 2007

1. Введение

Исследование при помощи компьютера различных процессов и явле• ний прочно вошло в нашу жизнь. Задачи из самых разных областей науки и техники невозможно решить без помощи компьютера. Сложные задачи механики, архитектуры, физики, химии, биологии успешно решаются при помощи компьютерного моделирования. Большую роль компьютерное мо• делирование играет в решении экономических задач и задач управления производством.

В настоящем пособии рассматривается предмет компьютерного моде• лирования, вводится понятие модели и проводится классификация мо• делей. Подробно рассматривается статистическое моделирование (метод Монте–Карло) и различные методы решения уравнений в частных произ• водных.

го систему, интересует какая–либо одна сторона системы. Поэтому в ка• честве первого классификационного признака можно ввести деление по функциональным качествам системы, которые должны быть отраже• ны в модели. Другим общим признаком классификации является степень детализации модели или глубина изучения системы.

Если мы классифицируем модели по степени детализации, то первым, наиболее общим видом моделей являются вербальные модели, представ• ляющие словесные описания системы. Последующие классы моделей свя• зывают с дальнейшей формализацией представлений о системе.

Следующим классом моделей, относительно наполненным математиче• ским содержанием, являются концептуальные модели. Они описывают в общем виде преобразование информации в системе и процесс ее цир• куляции по каналам связи. Концептуальные модели представляют собой первый шаг в деле количественного познания системы как множества с заданными на нем отношениями.

Наконец, последний класс моделей составляют математические мо• дели. Они содержат конкретное описание законов преобразования инфор• мации в системе в виде логических, дифференциальных, интегральных раз• ностных отношений или конечных алгоритмов. Тем самым структура систе• мы, выявленная на этапе создания концептуальной модели, наполняется конкретным математическим (логическим) содержанием.

Компьютерное моделирование имеет дело, как правило, с последним из перечисленных типов моделей.

В свою очередь математические модели можно также разделить на несколько групп.

К первой группе можно отнести так называемые детерминированные модели. Это модели объектов и процессов, которые однозначно описыва• ются при помощи математических формул, уравнений или систем уравне• ний. При этом задача компьютерного моделирования сводится к решению на компьютере математических задач. В ранее изучавшихся курсах разби• рались вопросы численного решения алгебраических уравнений и систем, дифференциальных уравнений и систем, исследовались проблемы интер• поляции функций и многие другие, поэтому здесь мы остановимся только на численных методах решения уравнений в частных производных.

Вторая группа — это статистические модели. Они применяются при решении задач, связанных с обработкой большого количества данных и различного типа вероятностных задач. Для решения этих задач применяют• ся различные специальные методы. Часть этих методов будет рассмотрена ниже.

Третья группа — объектно-ориентированные модели. Эти модели применяются для компьютерного моделирования задач из самых различ•

ных областей: экономика, компьютерные игры, компьютерная графика и многих других. В данном случае речь не идет о решении каких-либо мате• матических задач, а о создании разнообразных компьютерных приложений, основанных на объектно-ориентированной парадигме программирования.

3. Статистическое моделирование

Статистическое моделирование — численный метод решения мате• матических задач, при котором искомые величины представляют вероят• ностными характеристиками какого-либо случайного явления, это явление моделируется, после чего нужные характеристики приближённо определя• ют путём статистической обработки «наблюдений» модели.

Статистическое моделирование — молодое и перспективное научное направление, получившее развитие в середине двадцатого века в связи с ростом возможностей вычислительной техники. Рассматриваемое научное направление имеет массу приложений в разных областях знания (биология, химия, физика, экономика и др.) [1]

3.1 Схема проведения вычислений в статистическом моделировании

Статистическое моделирование предполагает следующую схему вы• числения (оценивания) искомой величины. Так, искомую величину пред• ставляют математическим ожиданием числовой функции f от случайного исхода w некоторого явления:

т.е. интегралом по вероятностной мере Р.

Таким образом, для того, чтобы оценить некоторое значение, необхо• димо подобрать случайную величину так, чтобы ее математическое ожи• дание равнялось искомому значению. После этого можно пронаблюдать случайную величину и оценить по выборке ее математическое ожидание. Полученный результат можно считать оценкой искомого значения.

Рассмотрим оценку математического ожидания случайной величины

где ω1, . . . , ωN — исходы, состоявшиеся в результате наблюдений. Оценку (3.2) можно рассматривать как квадратурную формулу для ука•

занного интеграла со случайными узлами ωk и случайной погрешностью

RN .

Таким образом, рассматриваемая схема состоит в проведении серии экспериментов. Каждый i-ый эксперимент представляет собой получе• ние случайного исхода ωi и вычисление функции f(ωi). После этого про• изводятся вычисления по формуле (3.2) и полученный результат считается

оценкой искомой величины.

Случайный выбор на каждом этапе проводится с помощью случай• ных чисел, которые необходимо генерировать тем или иным образом. Так, они могут генерироваться каким-либо физическим датчиком или имити• роваться при помощи вычислительной техники по некоторому алгоритму, обеспечивающему заданное распределение (псевдослучайные числа). .

3.2 Области применения статистического моделирования

Статистическое моделирование широко применяется для решения за• дач из различных областей человеческого знания. Среди них такие актуаль• ные области как биология, химия, физика, экономика и другие. Например:

численное интегрирование,

расчеты в системах массового обслуживания,

расчеты качества и надежности изделий,

расчеты прохождения нейтронов сквозь пластину,

передача сообщений при наличии помех,

задачи теории игр,

задачи динамики разреженного газа,

задачи дискретной оптимизации,

задачи финансовой математики (оценивание опционов и др.)

Часть этих задач имеют очевидную вероятностную природу (что ха• рактерно, например, для систем массового обслуживания или финансовой математики), а часть являют собой пример применения идей статистическо• го моделирования для исследования математических моделей объектов, не имеющих таковой (например, вычисление определенного интеграла).

3.3 Метод статистических испытаний (методы Монте–Карло)

История метода

Говоря о статистическом моделировании, люди часто подразумевают, что речь идет о так называемом методе статистических испытаний (методах Монте–Карло).

Метод статистических испытаний — метод вычислительной и при• кладной математики, основанный на моделировании случайных величин и построении статистических оценок для искомых величин; то же, что мето• ды Монте–Карло. Принято считать, что метод статистических испытаний

возник в 1944 году, когда в связи с работами по созданию атомных реак• торов американские учёные Дж. фон Нейман и С. Улам начали широко применять аппарат теории вероятностей для решения прикладных задач

спомощью ЭВМ. Первоначально метод использовался главным образом для решения сложных задач теории переноса излучения и нейтронной фи• зики, где традиционные численные методы оказались малопригодными. За• тем его влияние распространилось на больший класс задач статистической физики, очень разных по своему содержанию. Метод применяется для ре• шения задач теории игр, теории массового обслуживания и математической экономики, задач теории передачи сообщений при наличии помех и т.д.

Итак, таинственное название «Методы Монте–Карло». Откуда оно взялось и что стоит за этим звучным наименованием? Попробуем разо• браться, для чего обратимся к истории.

Некоторые эксперименты по использованию метода статистических ис• пытаний проводились достаточно давно. Так, еще французский естествоис• пытатель Бюффон выполнял эксперименты по вычислению числа π путем подбрасывания иглы и вычисления частоты пересечения иглы одной из па• раллельных прямых. В 1930 году Э. Ферми использовал то, что сейчас носит название методов Монте–Карло, в исследовании нейтронных пото• ков. Позже, он разработал «Fermiac», механическое устройство, которое использовалось в вычислениях в задачах ядерной физики. Настоящее рас• пространение идей, связанных с подобными методами, стало реальностью

сначалом эры вычислительной техники, которая позволила проводить ком• пьютерные эксперименты, в том числе и по получению случайных чисел.

Пионерами методов Монте–Карло принято считать американских математиков Стэнли Улама, Джона фон Неймана и Николаса Метро• полиса. В сороковых годах XX века Джон фон Нейман заложил основу методов Монте–Карло, создав математический базис для функций плотно• сти вероятности, интегральных функций обратного распределения и гене• раторов псевдослучайных чисел. Исследования выполнялись в тесном со• трудничестве со Стэнли Уламом; считается, что именно он первым осознал и продвинул в массы идею о необходимости компьютера для выполнения вычислений по методам Монте–Карло.

Происхождение названия методов связано с одноименным городом в княжестве Монако, в котором расположены одни из самых известных ка• зино в мире. Дело в том, что случайные числа и их генерация составляют «сердце» методов Монте–Карло. Рулетка казино — один из наиболее простых приборов для генерации случайных чисел. Именно это и яви• лось наводящим соображением для названия. Как писал Стэнли Улам в автобиографии «Приключения математика», метод был назван в честь его дяди, который был заядлым игроком, по совету Метрополиса.