8.Определение рационального числа. Арифметические операции над рациональными числами. Законы этих операций. Свойства множества рациональных чисел.

На м-ве не всегда выпол-ся опер-ия деления. Это создает необ-ть в расширении до м-ва рацио-ых чисел.

Опре-ие: м-ом рацион-ых чисел наз-ся мн-во удовлет-щее след-щим условиям:

· м-во Q содержит Z (ZcQ)

· слож-ие, умнож-ие, вычи-ие, отнош-ие порядка на Z совпа-ет с одноименной операцией и отноше-ем над теми же числами на м-ве Q

· на м-ве Q всегда выпол-ся опер-ия деления, кроме деления на 0

· м-во Q линейное, в кот-ом выпол-ся треб-ия 1-3 элементами Q наз-ся рациональные числа.

Чтобы док-ть сущес-ие этого м-ва нужно построить м-во, явл-щееся интерпретацией данного опред-ния. Рас-м м-во

Z*(Z\ {0}={<a,b> | a,b εZ, b≠0})=Q

Введем на м-ве Q бинарное отно-ние p <a,b>p <c,d> óad=bc

Докажием, что отнош-ие p отнош-ие эквивалентно:

1. рефлек-ть

V(<a,b> εQ) <a,b>p<a,b> (ab=ba)

2. симметричность

V <a,b>, <c,d>εQ

<a,b>p<c,d> => <c,d>p<a,b> (cb=da)

<a,b>p<c,d>=> ad=bc => cb=da, a,b,c,d εZ

3. транзитивность

V <a,b>,<c,d>,<m,n>εQ

<a,b>p<c,d> <c,d>p<m,n>=> <a,b>p<m,n> (an=bm)

<a,b>p<c,d> => ad=bc

<c,d> p<m,n> => cn=dm

(ad) (cn)=(bc) (dm)

(an) (dc)=(bm) (dc) an=bm

Вывод: p- отнош-ие эквивалентности на Q <a,b> ~<c,d> óad=bc

Отно-ие эквив-ти порождает на Q разбиение на классы эквивал-ти. Каждый класс будем называть рациональным числом.

L=[<a,b>] a,b εZ, b≠0

L←<a,b>

<a,b>→L

Обозначим м-во классов эквивал-ти {[<a,b>]}=Q

Покажем, что Q явл-ся интерпрета-ей опред-ия м-ва Q

Замечание: т.к. класс эквивал-ти вполне опред-ся любым своим представителем, то все эквивален-ые пары опред-ся одно и тоже рацион-ое число, а не эквивал-ые пары опред-ся различ-ые рацион-ые пары.

Два рацион-ых числа равны óкогда пары их определяющие эквивалентны.

Опре-ие: сумма 2х рацион-ых чисел L←<a,b>, B←<c,d> назыв-ся число L+B←<ad+bc, bd>, при этом пару <ad+bc, bd> называют сумма = <ab>+ <cd>

Т1Сумма рацион-ых чисел сущест-ет и един-на

Д-во: сущест-ние

L← <a,b> L+B←<ad+bc, bd>, bd≠0

B←<c,d>

Т.к. сумма рацион-ых чисел сводится к нахождению суммы и произведению целых чисел, то сущест-ние суммы рацио-ых чисел следует из сущест-ия произ-ия и суммы целых чисел =>сущест-ие доказано.

Единственность.

ПустьL←<a,b>~<a₁,b₁> b, bc≠0

B←<c,d>~<c_1,d₁> d, d₁≠ 0

=> <a,b>+<c,d>~<a₁,b₁>~+<c₁,d₁>

(<ad+bc,bd>~<a₁d₁+b₁c_1,b₁d₁> (ad+bc)*b₁d₁=bd (a₁d₁+b₁c₁))

<a,b>~<a₁,b₁>=> ab₁=ba₁ (*dd₁)

<c,d>~ <c_1,d₁> => cd₁=dc₁ (*bb₁)

(ab₁)*(dd₁)=(ba₁)*(dd₁)

(cd)*(bb₁)=(dc₁)*(bb₁)

(ad)(b₁d₁)=(bd)(a₁d₁)

(bc)(b₁d₁)=(bd)(b₁c₁)

(ad)(b₁d₁)+ (bc)(b₁d₁)=(bd)(a₁d₁) + (bd)(b₁c₁)

(ad+bc)*b₁d₁=bd (a₁d₁+b₁c₁)

В силу того, что сумма рацио-ых чисел не зависит от выбора пар их порождающих. Делаем вывод, что суммма рацио-ых чисел един-на.

Т2Сложение рацио-ых чисел коммунитативна и ассоциативна.

Т3(Œ0εỖ) (VLεỖ)L+0=L

Т4(VLεỖ) (Œ-LεỖ)L+(-L)=0

Опре-ие: разностью L,B ε Q назыв-ся рацио-ое число γ=L-B

L=B+γ= B+(L-B)

Т5Разность рацио-ых чисел сущест-ет и един-на

Сущест-ие

L-B=L+(-B)

B+(L-B)=B+(L=(-B))=B+(-B+L=(L+(-B))+L=0+L=L

L+(-B)=L-B

Един-сть вытекает из един-ти суммы рацио-ых чисел

Опре-ие: произ-ие L←<a,b>, b≠0

B←<c,d>, d≠0 назы-ются LB←<ac,bd>, при этом <ac,bd> =<a,b><c,d>

Т6Произ-ие рацион-ых чисел сущест-ет и един-но

Док-во: Сущест-ие. Т.к. умнож-ие рацио-ых чисел сводится к нахождению произ-ия целых чисел, кот-ое по док-ому сущест-ет, то существует и произ-ние рацио-ых чисел.

Един-сть.

L←<a,b>~<a₁,b₁> b,b_1,d,d₁ ≠0

B←<c,d>~<c_1,d₁>

=><a,b><c,d>~<a_1,b₁><c_1,d₁>

<ac,bd>~<a₁c_1,b₁d₁> ó (ac)(b₁d₁)= (bd)(a₁c₁)

<a,b>~<a₁,b₁> => ab₁=ba₁

<c,d>~<c_1,d₁>=> cd₁=dc₁

(ab₁)(cd₁)=(ba₁)(dc₁)

(ac)(b₁d₁)=(bd)(a₁c₁) => <ac, bd>~<a₁c_1, b ₁d₁> => <a,b><c,d>~<a₁,b₁><c_1, d₁>

Свой-ва умножения.

· Умно-ие рацио-ых чисел коммунитативно, асоциа-но, дистриб-но, т.е. для любых L, B, γεQ

-L*B=B*L

-L(Bγ)=(LB)γ

-(L+B)γ=Lγ+Bγ

· На м-ве рацио-ых чисел существует единица такая, что для

(Œ1ε Ỗ) (VLεỖ) L*1=L

· На м-ве рацио-ых чисел для любого элемента

(VLεỖ, L≠0) (ŒL ^–1 ε Ỗ) L*L^-1 =1

Опре-ие: частным рацио-ого числа L и рацио-ого числа B отличного от 0, назыв-ся рацио-ое число L такое, что L=Bγ

Т 7Частное рацио-ых чисел сущест-ет кроме деления на 0 и единст-но

Док-во:сущест-иею Покажем, что L:B=L*B^-1

B(L:B)= B(L*B^-1) = L(B*B^-1) = L*1=L

По опре-ию L*B^-1 = L:B =>сущест-ие частного

Един-ть часного следует из един-ти произ-ия рацион-ых чисел.