Теор. При данной ед-це измер-я мера величины сущ. И опред-ся однозначно.

Сущ. Пусть e – ед-ца измер-я величин а, тогда по аксиоме Евклида Е n ЄN│а< ne.

Из мн-ва всех таких чисел выберем наименьшее. (n-1)•e≤а< ne в противном случае число n не будет наименьшим. Если а=(n-1)e, то m_eа=n-1 и сущест-е меры очевидно.

Если а>(n-1)e (n-1=n₁), то по аксиоме 7 найдётся величина в ЄG, такая, что а=n₁е+в, при этом в<е (в противном случае, если в>е, то в=е+d, тогда а=n₁е+в=n₁е+(е+d)=(n₁+1)е+d= nе+d[а>nе, что противоречит условию.

По аксиоме 8 для величины е и числа 10 найдётся такая величина е₁, что е=10е₁

Очевидно, что переход ед-цы измерения е₁ означает переход к ед-це в 10 раз меньше. Т.к. в < е, то в<10е₁. Применим аксиому Евклида для величин в и е₁ и найдём наименьшее число m такое, что в<mе₁, m₁<10

(m-1)е₁≤в<mе₁ прибавим n₁е ко всем частям n₁е+(m-1)е₁≤ n₁е+в< n₁е+mе₁

учитывая, n₁е+в=а и n₁=n-1, получим (n-1)е+(m-1)е₁≤а<(n-1)е+mе₁ Учтём, что е=10е₁,

получим (n-1)10е₁+(m-1)е₁≤а<(n-1)10е₁+mе₁ [(10n+m-11)е₁≤ а<(10n+m-10)е₁

Если в>(m-1)е₁, то по аксиоме 7 найдётся величина сЄG, что в=(m-1)е₁+с далее аналог.

Для величины с проведём рассужд-я аналог-ые тем, к-ые были проведены для величины в. Продолжая этот процесс будем получать цепочку нерав-в аналог-х нерав-вам … и …, причём каждое следующее из этих неарав-в более точно оценивает величину а ,чем предыдущие. Разность величин, оценивающих а в нерав-ве … =е. Аналог-ая разность для нерав-ва …=е₁.

Если рассмотреть левые и правые части этих нерав-в, то мы получим послед-ть величин, к-ая упомин-ся в аксиоме 10 опред-я ПСВ. Согласно этой аксиоме а-ед-ая величина, для к-ой справедливы все эти нерав-ва. При этом левые и правые части нерав-в представляют собой приближ-е по недостатку и избытку соответ-ной меры величины а с некот-ой степенью точности. При этом (Е!LЄR₊), к-ое опред-ся всеми этими приближениями.Т.о. данный процесс обеспеч-ет наличие меры у данной величины а при ед-це измерения е.

Ед-ть. Вытекает из аксиом опред-я, обеспеч-щих однозначность данного процесса.

11.Площадь фигуры, её основные св-ва. Способы измерения площадей фигур. Единицы измеренияя площади.

При рассмотрении таких величин как S-площадь и V-oбъем наиболее приемлемой явл-ся система аксиом, предложенная Виленкиным.

Пусть Ω некот-ое мн-во объектов, на к-ом задано отнош-е эквивал-ти L~ß и отнош-е L=βӨγ (L состоит из β и γ)

¨ Говорят,что на мн-ве Ω опрeд-на операция измерения, если сущ-ет взаимооднозн-ое соответ-е m: Ω→R₊, к-ое каждому эл-ту LЄΩ сопоставляет число m(L)–меру L и при этом выпол-ет условие:

1. (VL,βЄΩ) (L~β[m(L)=m(β)),т.е. экв-ые эл-ты имеют = меры.

2. . (VL,β,γЄΩ) (L=βӨγ[m(L)=m(β)+m(γ)), т.е. если объект L состоит из объектов β и γ, то мера L = сумме мер β и γ.

¨ Ω наз. полем опред-я величины, если на нём задана операция измерения и 2 различные операции измерения m и m₁ м. отличаться др.от др. лишь постоянным множителем, т.е.

Е сЄR, что (m(L)=сm₁(L) (VLЄΩ)

Примером поля опред-я величины м. служить мн-во всех отрезков. В этом случае L~ß означает, что отр. L и ß равны;

Не трудно убедиться, что длина отр. удовл-ет опред-ю операции измерения и опред-ю поля опред-я величины. В этом случае каждому отр. ставится в соответ-ие число, равное его длине и любые 2 операции измер-я дают рез-ты, отличающиеся др.от др. лишь постоянным множ-лем.

¨ Говорят, эл-т LЄΩ равносилен эл-ту βЄΩ, если m(L)=m(β)

Теор. Отнош-е равновеликости, заданное в поле опред-я величины явл-ся отнош-ем эквивал-ти.

1. (VLЄΩ) m(L)= m(L)[эл-т L равновелик сам себе, т.е. отнош-е равновел-ти рефлек-но.

2. Пусть эл-т L равновелик эл-ту β[ m(L)=m(β)[m(β)=m(L)[ эл-т β равновелик эл-ту L, т.е. отнош. равновел-ти симметрично

3. Пусть эл. L равновелик эл-ту β, а эл-т β равновелик эл-ту γ [ m(L)=m(β), а m(β)= m(γ) [ m(L) равновелико m(γ)[ эл.L равновелик эл-ту γ [ отнош-е равновел-ти транзитивно.

Из 1-3 [отнош-е равновеликости явл-ся отнош-ем эквивал-ти.

Т.к. отнош-е равновел-ти явл-ся отнош-ем эквивал-ти, то оно разбивает мн-во Ω на классы эквивал-ти.

¨ Каждый класс эквивал-ти равновеликих др.другу объектов назовём величиной.