9.Множество действительных чисел, его свойства и геометрическая интерпретация.

· Мн-во длин отрезков при заданном единичном отрезке наз. мн-вом положит-х действит-х чисел (R₊). Это мн-во д. удовле. аксиомам:

1. Q₊ э R₊;

2. Операц.(+)и(*)во R₊ д. совпадать с аналогичными операц. для рац. чисел Q₊;

3. R₊ д.б. выполнено извлечение корня n-степени из Q₊ч;

4. R₊ д.б. минимальным мн-вом, удовл. усл. 1-3.

Теор. Результат измерения любого отрезка м.б. выражен бесконеч. дес. дробью.

¨ Пусть выбран единич. отр.е , а – произвольный отр. Тогда либо а<е, либо а >е.

Если а >е, то такое n эN, что nе < а <( n+1)е

· В этом случае число n (или 0, если а <е)наз. целой частью длины отр.а.

Если а = nе, то длина отр.а выраж-ся n эN.

Если а >nе, то а м. представить как а = nе+ а₁ , а₁ >е. Тогда сущ-ет число n₁, принимающее одно из значений 0-9 такое, что (n₁/10) е < а₁ <(n₁+1 /10)е [

nе+(n₁/10)е<nе+а₁<nе+(n₁+1/10)е[(n+n₁/10)е<а<(n+(n₁+1/10))е[(n,n₁)е<а<(n,n₁+ 1/10)е

Продолжая процесс измерения далее будем получать числа n₂n₃… n_k…,принимающие одно из знач. 0-9 такие, что любое k

(n, n₁n₂… n_k)е < а <(n, n₁n₂… n_k+(1/10)n)е

В этом случае рез-т измерения отрезка м.б. выражен бесконеч. дес. дробью n, n₁n₂… n_k…Причём, если в этой дроби отбросить все цифры, начиная с некоторой, то получ. число меньшее длины отр.а; если к последней цифре полученного числа +1 , то получ. число большее длины отр. а m_е а= n, n₁n₂… n_k…

n, n₁n₂… n_k…< m_е а < n, n₁n₂… n_k +1/10^k , любое k эN.

Замечание: при измерении отр. никогда не получ. бесконеч. дес. дробь с 9 в периоде, т.к. не сущ. такого числа х, к-ое бы удовл. след. нерав-вам:

% 0,4(9) 0,49< х <0,50 если же эти 0,49< х <0,50

0,499< х <0,500 …. нерав-ва запис-ть 0,499< х <0,500 ….

0,499…9< х <0,500…0 в виде 0,499…9< х <0,500…0

то всем этим нерав-вам одновременно удовл. число 0,5. Значит 0,4(9) и 0,5 – это записи одного и того же числа: 0,49=(49-4)/90=45/90=0,5

Теор. Мн-во бесконеч. дес. дробей отличных от дроби 0,00…0 и незаканчив-ся бесконечной послед-тью 9, явл. мн-вом положит-х действ. чисел R₊ (следует из опред. R₊ и Теоремы)

· Пусть n, n₁n₂… n_k…= х э R. Число х_k= n, n₁n₂… n_k… наз. десятичным приближением числа х по недостатку ,

· а х_k’= n, n₁n₂… n_k + 1/10^k наз. числом по избытку с точностью 1/10^k

Очевидно, что х_k< х< х_k’

% х=2, 31785204 2,3< х<2,4[ 2,3+1=2,4 – до дес.

2,31< х< 2,32 - до сот. 2,317< х< 2,318 – до тыс. и т.д.

Отнош-е порядка в R₊

· Пусть х, уэ R₊ , х = n, n₁n₂… n_k…, у = m₁m₂ …m_k …

Говорят, что число х<у, если выпол-ся одно из условий: 1. n< m

2. n=m, n₁<m₁ 3. n=m, n₁=m₁ n₂=m₂… n_k-1=m_k-1 n_k< m_k

Предложение 1. (х<у)n(сущ. S эN)( х_S’<у_S)

¨ х<у[ n=m, n₁= m₁… n_k-1=m_k-1 n_k< m_k

S= k+1[ х_S’= х_k+1’= n, n₁n₂… n_k+1 + 1/10^k+1 у_S= у_k+1’= m, m ₁m₂ …m_km_k+1

если n_k+1+1<9[ n_k< m_k[ х_S’<у_S ; если n_k+1+1=10[ n_k’< m_k[ х_S’<у_S обратно

избыт. х_S’<у_S[ n_S’<m_S[ х<у

Св-ва отнош-й меньше во мн-ве R₊:

1⁰ Отнош. меньше во R₊ явл. отнош-ем строгого линейного порядка

2⁰ Во мн-ве R₊ нет наибольшего элемента

3⁰ Во мн-ве R₊ нет наименьшего элемента

4⁰ R₊ платно,т.е. м/д люб. двумя числами из R₊ сущ. бесконечно много др.чисел из R₊.

Этими св-вами обладает и мн-во Q₊. Св-во, к-ым не обладает Q₊:

5⁰ мн-во R₊ непрерывно

· Числовым мн-вом наз. любое подмн-во мн-ва R₊

· Говорят, что мн-во Х располаг-ся слева от мн-ва У, если (люб. х э Х) (люб. у эУ)(х<у) % [2;7], [10;20] ,{1,2,3,10},{15,17}

· Пусть мн-во Х располаг. слева от мн-ва У. Число наз. разделяющим мн-ва Х и У, если (люб. х э Х) (люб. у эУ)(х<с<у).

Предложение 2. Если число с явл. разделяющим для мн-в Х и У , то мн-во Х располаг. слева от мн-ва У.

· М наз. непрерывным, если для любых его подмн-в Х и У,к-ое располаг-ся слева от другого, сущ-ет хотя бы одно разделяющее число.

Если числовое мн-во Х располаг-ся слева от числового мн-ва У, то сущ-ет хотя бы одно число, разделяющее эти мн-ва.

% М= R₊\{5} х=(0,5) , у=(5; &)

Для мн-в Х и У в М не сущ-ет ни одного разделительного числа[М не явл. непрерывным.