- •1. Соответствия между мн-вами. Граф и график соответствия. Взаимооднозначное отображение на мн-во. Равномощные мн-ва.
- •2.Аксиоматика множества целых неотрицательных чисел. Арифметические операции над целыми неотрицательными числами, их основные свойства.
- •3. Теоретико-множественный подход к сложению целых неотрицательных чисел. Существование и единственность суммы. Законы сложения.
- •4.Теоретико-множественный подход к умножению целых неотриц.Чисел. Существование и единственность умножения. Законы умноженияя.
- •1. Правило деления суммы на число.
- •2. Деление произведение на число
- •3. Деление разности на число
- •5.Натуральное число как результат измерения величины. Арифметические действия над числами как мерами отрезков.
- •6.Система счисления - сс. Запись целых неотриц-х чисел в позиционных сс. Алгоритм ариф-х действий над целыми неотриц-ыми числами в дсс.
- •7.Простые и составные числа.
- •8.Определение рационального числа. Арифметические операции над рациональными числами. Законы этих операций. Свойства множества рациональных чисел.
- •9.Множество действительных чисел, его свойства и геометрическая интерпретация.
- •Операции в r.
- •10.Длина отрезка. Св-ва этой величины. Измерение длниы отрезка. Еденицы длины
- •Длина отрезка.
- •Теор. При данной ед-це измер-я мера величины сущ. И опред-ся однозначно.
- •11.Площадь фигуры, её основные св-ва. Способы измерения площадей фигур. Единицы измеренияя площади.
- •Принцип измерения площади (s).
- •12.Числовые выражения и их знач-я. Числовые равенства и неравенства, их св-ва. Понятие уравнения с одной переменной. Теоремы о равносильных уравненях.
Принцип измерения площади (s).
Выберем на плоскости 2 взаимно┴ прямые m,l и единич-й отр.е. Пусть в начале Ω – это мн-во всевозмож-х прямоуг-ков, стороны к-х ║выбранным прмямым m,l. При этом L~β означает, что прямоуг-ки L и β при наложении совпадают L=β и L=βӨγ означает, что прямоу.L состоит из прямоуг-ков β и γ ЄΩ
Пусть длины сторон прямоуг. L=а,в. Измеpим S прямоуг. L единич-ым квадратом.
1. Если а,в ЄN, то единич-й квадрат уложится в данном прямоуг-ке ав раз и [ S прямоуг-ка= ав
2. а,в ЄQ, а,в /ЄN, то разобьём единич-й отр. на 10n равных частей[единич-й квадрат разобьём на 102n мелких квадратов. Т.к. а,вЄQ, т.е. представлены в виде десятич.дробей, то стороны прямоуг-ка в новой ед-це измерения м. выразить числами: а/10 n и в/10 n, а S=ав/10 2n
3. Если хотя бы одно из чисел а или в иррац-ое (бесконечн. десятич. периодич. дробь), то S есть число, разделяющее мн-во чисел {аn·вn} и {аn'·вn'}, где аn,вn –десятич-ые приближения чисел а,в по недостатку, а аn',вn'- десятичн. приближения по избытку.
Т.о. S со сторонами а,в выраж-ся числом а·в. Причём, если измен-ся ед.измер-я, то меняются и числа, выражающие длины сторон прямоуг-ка и его S, но при этом все эти числа получают один и тот же множитель.
Не трудно убедиться, что в этом случае выпол-ся все условия определений операции измерения и поля опред-я величины.
Определив т.о. S, расширим мн-во Ω , добавив сначала ступенчатые фигуры (к-ые м. разбить на прямоуг-ке) и постепенно расширяя это мн-во рассмотрим мн-во всевозмож-х фигур плоскости. Сеточный способ измер-я S
Пусть Ω –мн-во всех фигур плоскости. Условие Ф1(фи)~ Ф2 означает, что фигуру Ф2 м. переместить на плоскости так, что она совпадёт с фигурой Ф1. Пусть на плоскости задана мелкая сетка. Измерим S некот-ой фигуры Ф в этой сетке. Посчитаем кол-во целых клеток сетки, содержащихся в Ф. Пусть их число = n. Далее посчитаем кол-во клеток сетки, пересекающихся с Ф (нецелых). Пусть их кол-во = m. Рассмотрим сумму n+m/2, округлим полученное число и обозначим его Р и назовём площадью данной фигуры. S(Ф)=Р
Данный способ измерения S явл-ся приближённым, но его м. сделать более точным, уменьшив ячейки клетки.
Этот принцип измерения S плоских фигур лежит в основе сеточного метода нахожд-я S. Удобно использовать палетку. О понятии равносоставленности.
¨ Фигуры Ф1 и Ф2 наз. равносоставленными, если каждую из них м. разрезать на части так, чтобы части фигуры Ф1 были равны соответ-щим частям фигуры Ф2.
Теор. Равносоставленные фигуры равновелики. (Больяй-Гервина)
В силу этой теоремы любой многоуг-к разрезанием и перекладыванием частей м. превратить в равновеликий ему квадрат. Понятие равносост-ти лежит в основе метода разбиения, к-ый примен-ся для вычисл-я S. При этом парал-мм сводят к равновеликому ему прямоуг-ку, треуг-к к парал-мму, трапецию к треуг-ку и т.д.
Эквивал-ым понятием равносост-ти явл-ся понятие равнодополяемости, к-ое лежит в основе метода дополнения при нахождении S фигур. В этом случае две фигуры допол-ся равными частями так, чтобы после такого допол-я получившиеся фигуры были равны.