Длина отрезка.

Рассмотрим мн-во всех отр-ков плоскости. На этом мн-ве введём отнош-е обычного рав-ва отр-ков. Данное отнош-е явл-ся отнош-ем эквивл-ти, т.к. оно рефлексивно (каждый эл-т мн-ва наход-ся в отнош-ии сам с собой, т.е. каждый отр-ок равен самому себе), симметрично (а=в[ в=а), транзитивно (если а=в и в=с[а=с). Т.к. отнош-е рав-ва отр-ков явл-ся отнош-ем эквивал-ти, то оно разбивает мн-во всех отр-ов плоскости на классы равных отр-ков.

Будем обозначать классы отр-ов равных отр.а Ка, а мн-во всех таких классов {Ка}.

¨ Будем говорить, что отр.а разбит на отрезки а₁, а₂, …,а_n (или состоит из этих отр.), если отр.а представляет собой объед-е этих отр-ов. Причём никакие 2 из них не имеют общих внутренних точек (не налегают др.на др.), хотя могут иметь общие концы. При этом отр.а наз-ся суммой отр-ков а₁, а₂, …,а_n :а=а₁+а₂+…+а_n=∑ⁿ _k-1 а_k

¨ Суммой классов Ка, Кв наз-ся класс Кс равных отр-ку с отр-ков, такому, что а=в+с, т.е. Ка+Кв = Кс ↔ а+в=с

Предложение: Сумма любых двух мн-в Ка, Кв сущ-ет и ед-на.

Из опред-я суммы отр-ов[что(Vа,в) (Ес=а+в) [(ЕКс=Ка+Кв)

Очевидно, что а+в=с однозначно определяет класс равных отр-ков Кс.

Некот-ые св-ва слож-я во мн-ве {Ка}.

1⁰. (V Ка,Кв)( Ка+Кв = Кв+Ка)

Из коммуникат-ти объед-я мн-в[коммут-ть слож-я отр-ов, т.е. а+в = с=в+а Тогда

учитывая рав-во … Ка+Кв =Кс, Кс= Кв+Ка │[ Ка+Кв = Кв+Ка

2⁰. (V Ка,Кв,Кс)( Ка+(Кв+Кс)= (Ка +Кв)+Кс) – док-ся аналог.

¨ Будем говорить,что отр.а>в, если найдётся такой отр.с, что а+в=с.

¨ Будем говорить, что Ка>Кв, если аналог-ыми равенствами выпол-ся для отр. а и в, т.е. Ка> Кв↔ а>в

Св-ва отнош-й сравнения во мн-ве {Ка}.

1⁰. (V Ка,Кв)( Ка<Кв V Ка=Кв V Ка>Кв) - связанности

[из последнего опред-я и из того, что св-во связанности справедливо для отр-ков.

2⁰. (V Ка) (Ка<Кв) –антирефлекивности [из того, что (V Ка)(а<а)

3⁰. (V Ка,Кв)( Ка<Кв[ Кв<Ка) ассиметричности

Пусть Ка<Кв[а<в[(Ес│а=в+с)

Предположим,что Кв<Ка [ в<а[(Еd│в=а+d)[в=(в+d)+с –неверное нерав-во[предполож-е неверно и, если Ка<Кв, то неверно, что Кв<Ка.

4⁰. (V Ка,Кв,Кс)( Ка<Кв Λ Кв<Кс) – транзитивности

Справедливость[из тог, что отнош-е "<" транзитивно на мн-ве отр-ков.

Из всех св-в [, что отнош-е "<", заданное на мн-ве классов равных отр-ков явл-ся отнош-ем строгого линейного порядка.

Для того,чтобы показать, что длина отр.явл-ся ПСВ, надо убедиться в том, что она удовл-ет всем 10 аксиомам опред-я ПСВ.Из доказанного Предложения и рассмотренных св-в операций слож-я и сравнения [, что первые 5 аксиом опред-я выполняются. Проверим выполнимость остальных:

А.6. (VКа,Кв Є G) (Ка<Ка+Кв)

Из опред-я отнош-я "<", заданного на мн-ве классов равных отр-ов[, что Ка<Ка+Кв↔а<а+в. Последнее нерав-во верно, т.к. найдётся отр-к в, что а+в=в+а[аксиома выпол.

А.7. (VКа,КвЄG) (Ка<Кв[E!КсЄG│Ка=Кв+Кс) выполн-ть[из опред-я отнош-й срав-я

А.8. (V Ка ЄG) (V n ЄN) (E Кв ЄG │Ка=nКв)

Предположим,что эта аксиома не выпол-ся. Это значит, что (VКа,Кв) (V nЄN) (Ка<nКв V Ка>nКв) n может принимать различные N-ые значения, в т.ч. м.б. n=1

получаем: (VКа,Кв) (Ка<Кв V Ка>Кв)

Однако мн-во отр-ов обладает св-вом связанности, т.е. (Vа) на плоскости (E в│а=в) [ Ка=Кв, что противоречит условиям … и …[выпол-ся А.8.

А.9. (VКа,Кв Є G) (En ЄN) (Ка<nКв) выпол-ть [из выполнимости её во мн-ве отр-ков.

А.10. применим без док-ва.

Т.о. длина отр-ка явл-ся ПСВ, т.к.удовл-ет всем аксиомам опрде-я ПСВ.

Назовём каждый класс {Ка} длиной отр-ка а. О любых двух отр-ax а и в Є одному классу будем говорить, что они имеют равные длины. Во мн-ве всех отр-ов выберем некоторый отр-ок е и назовём его ед-ым отр-ом или ед-цей измер-я длины.

¨ Число L наз-ся мерой отр. а , единич-ым отр-ом е или длиной отр-ка а при единице длины е, если а=Le [m _еа=L.

Стандартной ед-цей длины явл-ся 1 м. В нач.шк. использ-ся некот-ые ед-цы длины являющ-ся производными от метра.