12.Числовые выражения и их знач-я. Числовые равенства и неравенства, их св-ва. Понятие уравнения с одной переменной. Теоремы о равносильных уравненях.

· Числов. выраж-е наз.: 1. любое число

2. выраж-я вида: А*В, А/В, где А и В – числов. выраж-я.

Выполнив послед-но арифметич. действия указан. выраж-й, мы получим число, кот. наз. знач-ем данного числового выраж-я.

Если числов. выраж-е не имеет числовое знач., то про него говорят, что оно не имеет смысла.

· Если два числов. выраж. А и В соединить знаком равенства, то получ. предлож. А=В, кот. наз. числовым равенством.

С т.зр. логики числов. рав-во наз. высказыванием истинным или ложным.

% 4*2-1=(1+2)*3-2 - истинно , 3*5=14-2 - ложно

Св-ва: 1⁰Если к обеим частям истинного числов. рав-ва прибавить числ. выраж-е, имеющее смысл, то получим также числовое истинное рав-во.

2⁰ Если обе части истинного числов. рав-ва умножить на одно и то же числов. выраж-е, имеющее смысл, то получ. истинное числов. выраж-е.

· Если числовые выраж-я А и В соединить знаком >(>,<,<), то получим предл-е А>В(А>В,А<В,А<В), кот. наз. числов. нерав-вом.

С логич. т.зр. нерав-во явл-ся высказ. истинным и ложным.

Св-ва: 1⁰ А>В[В<А

¨ А>В[А-В>0[-( А-В) <0[-А+В<0[В-А<0[В<А

2⁰ А>В, В>С[ А>С

А>В[А-В>0 |[ (А-В)+(В-С) >0[ А-С>0[ А>С

В>С[В-С>0 |

3⁰ А>В[А+С>В+С

¨ А>В[А-В>0[А-В+С-С>0[(А+В) - (В+С) >0[А+С>В+С

4⁰1) А>В, С>0[АС>ВС

2) А>В, С<0[АС<ВС

1) А>В[А-В>0 | [ (А-В)*С >0[ АС-ВС>0[ АС>ВС

ВС>0[С>0 |

2) А>В[А-В>0 |[ (А-В)*С<0[ АС-ВС<0[ АС<ВС

ВС<0[С<0 |

5⁰Нер-ва одного смысла можно складывать:А>В,С>D[А+С>В+D

А>В[А-В>0 |[ (А-В)+(С-D) >0[(А+С) - (В+D)[А+С>В+D

С>D[С-D>0 |

6⁰ Нер-ва противоположн. чисел можно сочетать оставляя знак первого нерав-ва: А>В,С<D[А-С>В-D

А>В[А-В>0 |[ (А-В)+(D-С) >0[(А-С) - (В-D) >0[А-С>В-D

С<D[ D>С[D-С>0 |

7⁰ А-В>0, А>В[1/А<1/В

А>В[А-В>0[В-А<0 1/А - 1/В = В-А/АВ<0[1/А<1/В

8⁰ А>В, А>0, В>0[ Аⁿ>Вⁿ

9⁰ А>В, А>0, В>0[ ⁿ А>ⁿ В

10⁰ А>В, C>D, А>0, В>0[ С>0, D>0[АС>ВD

· Два ур-я наз. равносильными, если мн-во их реш-й совпадает.

· Если реш-е ур-я f₁(х)=f₂(х) явл-ся реш-ем ур-я g₁(х)=g₂(х), то 2-е ур-е – следствие 1-го.

Процесс реш-я ур-й заключ. в след.: при помощи тождественных преобраз-й данное ур-е замен. либо послед-ю равносил. ему уравн, либо послед-ю следствий.

В 1-м случ. реш-е ур-й считается законченным, когда оно образ. совокупн. уравн., левая часть кот. состоит из одной переменной, а правая не содержит вообще.

Во 2-м случ. нельзя законч. реш-е ур-я, найдя корни следств., т.к. при замене ур-я его следств. корни ур-я не исчезнут, но м/появ-ся посторонние корни (необходима проверка)

Теор. (1) f(х)=g(х) определена на Х, h(х) – выраж-е, опред-ое на Х, тогда (2) f(х)+ h(х)=g(х)+ h(х) – равносильно первому.

¨ Чтобы док-ть равносильн. ур-я нужно пок-ть, что мн-во реш-й совпадает.

1) Пусть Т₁ – мн-во реш-й ур-я (1); Т₂ – мн-во реш-й ур-я (2) ; а – произвольн. руш-е ур-я (1), т.е. а э Т₁ , тогда а обращает ур-е (1) в истинное числовое рав-во f(а)=g(а).

Прибавим к обеим частям последн. рав-ва число h(а).

Полученное при этом рав-во f(а)+ h(а)=g(а)+ h(а) – явл. истин.

Из этого следует, что а – корень ур-я (2), т.е. а э Т₂

Т.к. а – произв. корень[ Т₁ С Т₂

2) Пусть а – корень ур-я (2)[ а э Т₂[ а обращает ур-е (2) в истинное числов. рав-во f(а)+ h(а)=g(а)+ h(а).

Прибавим к обеим частям числов. выр-я -h(а). Получим [ f(а)=g(а) – также истин. рав-во по св-ву числовых рав-в[ а э Т₁ [ а э Т₂[ Т₁ С Т₂, Т₂ С Т₁[ Т₁ =Т₂ т.е. мн-во реш-й ур-я (1) и (2) совпадает [ ур-я равносильны.

Следствия:1) Если к обеим частям ур-я прибавить одно и то же число, то получ. ур-е равносильное данному.

2) Если какое-л. слагаемое (числов. выр-е или выр-е с переменной)перенести из одной части ур-я в др., поменяв знак слагаемого на противополож-й, получим ур-е равносильное данному.

Теор. Пусть f(х)=g(х) – ур-е с обл. опред. Х, h(х) – выр-е, определённое на мн-ве Х и не обращающееся на этом мн-ве в 0, тогда ур-е f(х)h(х)=g(х)h(х) – равносильно первому. (док-во аналогично)

Следствие: Если обе части ур-я умножить или разделить на одно и то же нерав-ое 0 число, получ-ое ур-е равносильно данному.

Т. Пусть f₁(х), f₂(х),…., f_n(х) –выраж-я с переменной, определённые на Х. Ур-е f₁(х)*f₂(х)*….* f_n(х)=0 – равносильно на мн-ве Х совокупности ур-й f₁(х)=0 V f₂(х)=0 V …. V f_n(х)=0

· Пусть f(х), g(х) выраж-я опред. на мн-ве Х. Одноместный предикат f(х)=g(х) наз. уравн. с одной переменной, а мн-во Х – обл. опред. урав-я.

· Знач-е переменной х, при кот. уравн. f(х)=g(х) обращ. в истинное рав-во наз. корнем уравн. или его решением.

Решить ур-е значит найти мн-во всех его корней или найти мн-во истинности соответств. предиката. Классиф-ция:

1. Уравнение наз. алгебраическим, если над переменными не соверш-ся иных действий кроме «+», «-», «/», «*», «возвед-е в степень».

В противном случае уравн. наз трасцендентным. К таким уравн. относ-ся логарифмы, тригометр. ур-я и т.д.

Алгебраич. ур-я делят на типы:

а) целое алгебраич. ур-е – ур-е, в кот. выраж. с переменной явл. целым по отнош. с переменной.

б) дробно-рац. ур-е – ур-е, содержащее выраж-е с переменной по знаку корня.

в)иррациональные ур-я –ур-я, содерж. выраж-е с переменной по знаку корня.

2. По числу переменных ур-я бывают с одной, двумя т.д. переменными.

3. Целые алгебраич. ур-я с одной переменной всегда м/ представ. в виде

a_n xⁿ + a_{n – 1} x^{n – 1} +…+ a₁ x+x₀ =0

Степень ур-я равна степени многочлена, стоящего в левой части ур-я:

1-ой степ. – линейные; 2-ой – квадратные; 3 – кубичные.